■江蘇省泰興市第一高級(jí)中學(xué) 張 震

在極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程的應(yīng)用中，由于“忽略互化的條件、混淆參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義和借助極徑探究最值缺少極角取值范圍的限制”，有些同學(xué)常常出現(xiàn)下列思維誤區(qū)：

誤區(qū)1——參數(shù)方程與普通方程的互化中忽略“等價(jià)變形”

例1 在直角坐標(biāo)系x O y中，曲線M的參數(shù)方程為x=sinθ+c o sθ，(θ為參數(shù))，｛y=s i n2θ若以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線N的極坐標(biāo)方程為求曲線M上的點(diǎn)與曲線N上的點(diǎn)的最小距離。

錯(cuò)解：由曲線M的參數(shù)方程(θ為參數(shù))，消參得1+y=x2，即y=x2—1。不妨設(shè)曲線M上一點(diǎn)為P(x0—1)，由曲線N的極坐標(biāo)方程得曲線N的直角坐標(biāo)方程為x+y+2=0，則點(diǎn)P到曲線N的距離，所以當(dāng)時(shí)

剖析：錯(cuò)解中y=x2—1非曲線M的參數(shù)方程的等價(jià)變形，應(yīng)考慮到x=sinθ+，故x∈［ —］，所以曲線M的直角坐標(biāo)方程為y=x2—1，x∈［—，］，于是曲線M上一點(diǎn)P(x0—1)，其中x0∈ ［—，］，則點(diǎn)P到曲線N的距離，所以當(dāng)時(shí)，

又易知曲線M上的點(diǎn)與曲線N上的點(diǎn)的最小距離等于曲線M上的點(diǎn)與曲線N的距離的最小值，故所求最小距離為

警示：參數(shù)方程化普通方程，既要消參得到橫、縱坐標(biāo)所滿足的關(guān)系式，又要探究橫、縱坐標(biāo)對(duì)參數(shù)的值域，這個(gè)值域和橫、縱坐標(biāo)所滿足的關(guān)系式才與原參數(shù)方程等價(jià)。本題中x∈[—，]，y∈[—1，1]和函數(shù)關(guān)系y=x2—1可省略隱含條件y∈[—1，1]，這里有一個(gè)重要的技巧：消參后若得到是非閉合曲線(如拋物線、雙曲線)，務(wù)必要注意考察x的取值范圍。同學(xué)們?cè)谟龅綑E圓或圓的最值問題時(shí)往往能夠考慮到將普通方程化為參數(shù)方程，再運(yùn)用三角函數(shù)求最值，而本題卻是拋物線的最值問題，那該怎么辦呢?本題給了我們一個(gè)重要經(jīng)驗(yàn)：與拋物線上的點(diǎn)相關(guān)的最值問題往往可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)進(jìn)行求解。

誤區(qū)2——橢圓參數(shù)方程中對(duì)角參數(shù)的含義理解不清

例2 設(shè)M為橢圓(α為參數(shù))上一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且∠x OM=，求點(diǎn)M的坐標(biāo)。

錯(cuò)解：將∠x OM=代入橢圓的方程，得=3，所以點(diǎn)M(2，3)。

剖析：錯(cuò)解中把點(diǎn)M與原點(diǎn)連線的傾斜角誤認(rèn)為是過該點(diǎn)的橢圓參數(shù)中所對(duì)應(yīng)的角參數(shù)α，這是錯(cuò)誤的，這個(gè)角是離心角，現(xiàn)階段的教材不研究其幾何意義。借助點(diǎn)M與原點(diǎn)連線的傾斜角和三角知識(shí)分類溝通關(guān)系求解。

設(shè)點(diǎn)M(4 c o sα，2sinα)。

(1)當(dāng)點(diǎn)M在第一象限時(shí)，有kOM=，所以t a nα=2，從而c o sα=，sinα=，所以點(diǎn)(2)當(dāng)點(diǎn)M在第四象限時(shí)，有kOM=，所以t a nα=—2，從而c o sα=，sinα=—，所以點(diǎn)

警示：把握所求角為交點(diǎn)與原點(diǎn)連線的傾斜角，運(yùn)用點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系確定傾斜角的正切值，依據(jù)傾斜角的意義和范圍合理分類求解，避免了橢圓參數(shù)中角參數(shù)幾何意義的理解，這符合課標(biāo)和教材的要求。

誤區(qū)3——借助極徑探究線段長(zhǎng)的最值時(shí)忽略極角的范圍

例3 在直角坐標(biāo)系x O y中，曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為(為參數(shù))，在t以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線m：θ=β(ρ＞0)，設(shè)點(diǎn)A是m與C的一個(gè)交點(diǎn)(異于原點(diǎn))，點(diǎn)B是m與l的交點(diǎn)，求的最大值。

錯(cuò)解：(為參數(shù))，平方消α參得C的普通方程為(x—1)2+y2=1，由可得(ρc o sθ—1)2+(ρsinθ)2=1，化簡(jiǎn)得C的極坐標(biāo)方程為ρ=2 c o sθ。直線的普通方程為x+y—4=0，其極坐標(biāo)方程為ρc o sθ+ρsinθ—4=0，所 以

設(shè)A(ρ1，β)，B(ρ2，β)，則，故其最大值為

剖析：錯(cuò)解凸顯了借助極坐標(biāo)系中極徑探究線段長(zhǎng)度的最值的思維方法，湊巧求得其最值，但忽略了射線與圓相交的條件，即忽略了極角的取值范圍。應(yīng)補(bǔ)充：由射線m與C相交，則不妨設(shè)，則而，所以當(dāng)，即時(shí)，取最大值，此時(shí)的最大值為

警示：在極坐標(biāo)系中，以O(shè)為起點(diǎn)的線段均可寫成ρ的形式，這正是極徑ρ的幾何意義，極坐標(biāo)方程實(shí)質(zhì)是極徑關(guān)于極角的函數(shù)表達(dá)式，于是求解線段長(zhǎng)的最值問題，常選用極坐標(biāo)方程，此時(shí)應(yīng)特別注意相交的條件即極角范圍的探究。始終注意一個(gè)原則，函數(shù)的問題，定義域優(yōu)先。