◎謝平華
抽屜原理是德國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克雷最早發(fā)現(xiàn)并應(yīng)用于數(shù)論研究的。后人為了紀(jì)念他,就把抽屜原理叫作狄利克雷重疊原理。即把多于n+1個(gè)的蘋果放進(jìn)n個(gè)抽屜里,那么,至少有一個(gè)抽屜里有兩個(gè)或兩個(gè)以上的蘋果。如果把蘋果換成鴿子,把抽屜換成籠子,同樣有類似的結(jié)論,所以有時(shí)也把抽屜原理叫作鴿巢原理。不要小看這個(gè)原理,利用它可以解決一些表面看來似乎很難的數(shù)學(xué)問題。
例1:在1米長(zhǎng)的線段上隨意點(diǎn)上5個(gè)點(diǎn),說明至少有兩個(gè)點(diǎn)之間的距離不大于25厘米。
分析與解:把1米長(zhǎng)的線段平均分成四段,每段長(zhǎng)25厘米。把每一段看作一個(gè)抽屜,把5個(gè)點(diǎn)看作5個(gè)蘋果,5個(gè)蘋果放入4個(gè)抽屜,總有一個(gè)抽屜里至少放入兩個(gè)蘋果,也就是有一段里至少有兩個(gè)點(diǎn),這兩個(gè)點(diǎn)之間的距離一定不大于25 厘米,所以結(jié)論是成立的。
例2:有5 個(gè)小朋友,每人都從裝有許多黑白棋子的布袋中任意摸出3 枚棋子。請(qǐng)你證明,這5個(gè)人中至少有兩個(gè)小朋友摸出的棋子顏色配組是一樣的。
分析與解:首先要確定3 枚棋子可以有多少種不同的配組情況,可以有“3黑、2黑1白、1黑2白、3白”共4種,即4個(gè)抽屜。把每人的3枚棋子作為一組當(dāng)作一個(gè)蘋果,即有5 個(gè)蘋果,比抽屜個(gè)數(shù)多,所以根據(jù)抽屜原理,至少有兩個(gè)蘋果在同一個(gè)抽屜里,也就是至少有兩個(gè)小朋友摸出的棋子顏色配組是一樣的。
例3:上衣和褲子分別有紅、黃、藍(lán)3種顏色,同學(xué)們可以任意選擇上衣和褲子穿上。至少要有幾名學(xué)生,才能保證有兩名學(xué)生穿的上衣和褲子顏色相同?
分析與解:本題中,我們把上衣和褲子的幾種搭配情況看作抽屜,問題就可解決。3種顏色的上衣和褲子的搭配情況有以下9種:紅上衣紅褲子、紅上衣黃褲子、紅上衣藍(lán)褲子、黃上衣紅褲子、黃上衣黃褲子、黃上衣藍(lán)褲子、藍(lán)上衣紅褲子、藍(lán)上衣黃褲子、藍(lán)上衣藍(lán)褲子。把每一種搭配看作一個(gè)抽屜,共9 個(gè)抽屜。要保證有兩名學(xué)生穿的上衣、褲子顏色都相同,即要保證有一個(gè)抽屜至少放兩個(gè)蘋果,所以至少要9+1=10(個(gè))蘋果,也就是說至少要有10名學(xué)生,才能保證有兩名學(xué)生穿的上衣和褲子的顏色相同。
小學(xué)生學(xué)習(xí)指導(dǎo)(高年級(jí))2019年4期