王雅琪 綦春霞

(1.北京教育考試院 100083 2.北京師范大學(xué)教育學(xué)部 100875)

2019年高考數(shù)學(xué)北京卷(以下簡(jiǎn)稱北京卷)，在繼承“大氣、平和，首都風(fēng)范”特點(diǎn)的基礎(chǔ)上，突出新時(shí)代的氣息和特色．堅(jiān)持“以人為本，學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展為核心”的綠色命題理念，以立德樹(shù)人為立足點(diǎn)，著力于數(shù)學(xué)知識(shí)和思想、數(shù)學(xué)應(yīng)用和文化，以真實(shí)自然的試題材料、突出數(shù)學(xué)本質(zhì)的試題內(nèi)容、新穎的試題呈現(xiàn)方式考查學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)．

1 立足“立德樹(shù)人”根本任務(wù)，貫徹“五育并舉”教育方針

習(xí)近平總書(shū)記在全國(guó)教育大會(huì)上強(qiáng)調(diào)，要堅(jiān)持中國(guó)特色社會(huì)主義教育發(fā)展道路，培養(yǎng)德智體美勞全面發(fā)展的社會(huì)主義建設(shè)者和接班人．北京卷以立德樹(shù)人為立足點(diǎn)，全面考查德智體美勞幾個(gè)方面．?dāng)?shù)學(xué)的美體現(xiàn)在簡(jiǎn)潔、對(duì)稱、周期、和諧．例如，北京卷理科第8題關(guān)注了數(shù)學(xué)美的考查，而文理科第14題關(guān)注了對(duì)勞動(dòng)教育的考查．

例1(2019年高考數(shù)學(xué)北京卷理科第8題)

數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線C:x2+y2=1+|x|y就是其中之一(如圖)．給出下列三個(gè)結(jié)論：

①曲線C恰好經(jīng)過(guò)6個(gè)整點(diǎn)(即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn))；

③ 曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3．

其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是

(A)① (B)②

(C)① ② (D)① ② ③

本題以心形線為載體設(shè)計(jì)．心形線由數(shù)學(xué)家笛卡爾首次繪制而成，傳達(dá)愛(ài)意、象征愛(ài)心，數(shù)學(xué)史上還流傳著一個(gè)關(guān)于心形線的美麗故事．繪制心形線的方法靈活多樣，可以使用極坐標(biāo)，也可以通過(guò)隱式曲線的方式等，繪制過(guò)程融入了諸多的數(shù)學(xué)知識(shí)．心形線的背景使學(xué)生在做題的過(guò)程中潛移默化地受到了美的熏陶．

例2(2019年高考數(shù)學(xué)北京卷文理科第14題)

李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營(yíng)一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價(jià)格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．為增加銷量，李明對(duì)這四種水果進(jìn)行促銷：一次購(gòu)買(mǎi)水果的總價(jià)達(dá)到120元，顧客就少付x元．每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后，李明會(huì)得到支付款的80%．

① 當(dāng)x=10時(shí)，顧客一次購(gòu)買(mǎi)草莓和西瓜各1盒，需要支付________元；

②在促銷活動(dòng)中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價(jià)的七折，則x的最大值為_(kāi)_______．

本題以大學(xué)生自主創(chuàng)業(yè)為背景，讓學(xué)生感受到美好的生活不僅需要智慧，更要靠勞動(dòng)來(lái)創(chuàng)造. 引導(dǎo)學(xué)生崇尚勞動(dòng)、尊重勞動(dòng)、懂得勞動(dòng)最光榮的道理，助力培養(yǎng)德智體美勞全面發(fā)展的社會(huì)主義接班人．

2 著力數(shù)學(xué)知識(shí)和思想，考查數(shù)學(xué)文化和應(yīng)用

2.1 突出對(duì)主干知識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法的考查

北京卷以《考試說(shuō)明》[1]為依據(jù)，突出考查主干知識(shí)內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)通性通法．如對(duì)集合、復(fù)數(shù)、函數(shù)、向量、算法、三視圖、三角函數(shù)、線性規(guī)劃、空間線面的位置關(guān)系、圓錐曲線的基本概念等基礎(chǔ)內(nèi)容都進(jìn)行了有效考查．對(duì)數(shù)列、解三角形、立體幾何、圓錐曲線、統(tǒng)計(jì)與概率、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等構(gòu)成學(xué)科主體的主干內(nèi)容進(jìn)行重點(diǎn)考查，充分體現(xiàn)了對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)考查的基礎(chǔ)性、全面性和綜合性．

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂，是形成良好認(rèn)知結(jié)構(gòu)的紐帶．掌握了數(shù)學(xué)思想方法，就能透徹地理解數(shù)學(xué)知識(shí)，有助于創(chuàng)造能力的形成．北京卷從學(xué)科整體意義和思想價(jià)值的高度立意，考查了數(shù)學(xué)中的分析法、綜合法、歸納法、分類討論、數(shù)形結(jié)合、反證法、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想方法．

例3(2019年高考數(shù)學(xué)北京卷理科第13題)

設(shè)函數(shù)f(x)=ex+ae-x(a為常數(shù))．若f(x)為奇函數(shù)，則a=________；若f(x)是R上的增函數(shù)，則a的取值范圍是________．

本題第一空考查的是函數(shù)的奇偶性，要求學(xué)生能夠利用奇函數(shù)的定義求出a的值或者利用奇函數(shù)的性質(zhì)，得到a的可能取值并驗(yàn)證．本題第二空考查的是函數(shù)的單調(diào)性及指數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)．要求學(xué)生能夠利用單調(diào)性的定義或者導(dǎo)數(shù)工具，求出a的取值范圍或利用指數(shù)函數(shù)圖象的幾何特征求出a的取值范圍．本題考查了函數(shù)與方程的思想方法．

例4(2019年高考數(shù)學(xué)北京卷文科第10題)

本題考查的是簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題．利用二元一次不等式組所表達(dá)的平面區(qū)域，以及線性目標(biāo)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的直線，探索目標(biāo)直線掃過(guò)可行域時(shí)，目標(biāo)函數(shù)的取值，尋找取得最值的相應(yīng)位置．要求學(xué)生能夠建立數(shù)與形的聯(lián)系，構(gòu)建最值問(wèn)題的直觀模型，探索解決問(wèn)題的方式．本題考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法．

2.2 突出對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用和數(shù)學(xué)文化的考查

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》中指出“命題時(shí)應(yīng)有一定數(shù)量的應(yīng)用問(wèn)題”，“融入數(shù)學(xué)文化”[2]．北京卷通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用與數(shù)學(xué)文化的考查，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的價(jià)值，提升學(xué)生的科學(xué)精神、應(yīng)用意識(shí)和人文素養(yǎng)．

例5(2019年高考數(shù)學(xué)北京卷理科第6題，文科第7題)

(A)10101(B)10.1

(C)lg10.1 (D)10-10.1

本題以天文學(xué)中如何刻畫(huà)天體的明暗程度為背景來(lái)設(shè)計(jì)，融合了數(shù)學(xué)知識(shí)、地理知識(shí)和物理知識(shí)，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)是自然科學(xué)、技術(shù)科學(xué)等科學(xué)的基礎(chǔ)，以及其在經(jīng)濟(jì)科學(xué)、社會(huì)科學(xué)、人文科學(xué)的發(fā)展中發(fā)揮的巨大作用．

2017年、2018年北京卷的數(shù)學(xué)文化題聚焦中國(guó)傳統(tǒng)文化，今年的數(shù)學(xué)文化題引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注世界，學(xué)習(xí)全世界輝煌燦爛的數(shù)學(xué)文化，同時(shí)教育學(xué)生立足中國(guó)，放眼世界．

例6(2019年高考數(shù)學(xué)北京卷文科第17題)

改革開(kāi)放以來(lái)，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變．近年來(lái)，移動(dòng)支付已成為主要支付方式之一．為了解某校學(xué)生上個(gè)月A,B兩種移動(dòng)支付方式的使用情況，從全校所有的1000名學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中A,B兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用A和僅使用B的學(xué)生的支付金額分布情況如下：

支付金額支付方式 不大于2000元大于2000元使用A27人3人使用B24人1

(Ⅰ)估計(jì)該校學(xué)生中上個(gè)月A,B兩種支付方式都使用的人數(shù)；

(Ⅱ)從樣本僅使用B的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，求該學(xué)生上個(gè)月支付金額大于2000元的概率；

(Ⅲ)已知上個(gè)月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒(méi)有變化．現(xiàn)從樣本僅使用B的學(xué)生中隨機(jī)抽查1人，發(fā)現(xiàn)他本月的支付金額大于2000元．結(jié)合(Ⅱ)的結(jié)果，能否認(rèn)為樣本僅使用B的學(xué)生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化？說(shuō)明理由．

本題以改革開(kāi)放以來(lái)支付方式發(fā)生的變化，以及相關(guān)調(diào)查與研究為背景進(jìn)行設(shè)置，考查概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)在數(shù)學(xué)和生活中的應(yīng)用，使學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)與現(xiàn)實(shí)生活的息息相關(guān)．隨著大數(shù)據(jù)和信息技術(shù)的快速發(fā)展，基于抽樣調(diào)查的統(tǒng)計(jì)分析和決策對(duì)企業(yè)乃至國(guó)家經(jīng)濟(jì)的發(fā)展和社會(huì)的進(jìn)步起著至關(guān)重要的作用．試題關(guān)注社會(huì)發(fā)展，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)統(tǒng)計(jì)中的決策思想在生活中的作用．

高考是學(xué)生基礎(chǔ)教育階段的最后一堂課，也是人生歷程的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)科的命題，不僅注重選拔人才，還注重激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，引導(dǎo)學(xué)生去探索，去領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，為他們步入社會(huì)提供基礎(chǔ)．

3 創(chuàng)設(shè)真實(shí)情境，創(chuàng)新試題呈現(xiàn)方式，考查學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)

綠色數(shù)學(xué)高考秉承綠色教育的理念，倡導(dǎo)“以人為本，學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展”為核心的命題理念，在試題素材選取、試題內(nèi)容設(shè)計(jì)、試題設(shè)問(wèn)方式等方面都進(jìn)行了積極探索，打造高考數(shù)學(xué)命題的創(chuàng)作之源．

3.1 試題素材選取源于社會(huì)實(shí)際，反映學(xué)生生活

試題的素材選取源于社會(huì)實(shí)際和學(xué)生生活，真實(shí)、自然、合理．如前面提到的理科第6題(文科第7題)，關(guān)注數(shù)學(xué)在人類文明中的貢獻(xiàn)，通過(guò)星等與亮度關(guān)系的描述，體現(xiàn)數(shù)學(xué)對(duì)于天文學(xué)的貢獻(xiàn)，讓學(xué)生通過(guò)新情境獲取信息，進(jìn)行思考，感悟數(shù)學(xué)對(duì)于人類文明的價(jià)值．再如前面提到的文理科第14題選取網(wǎng)店為情境設(shè)計(jì)問(wèn)題，材料源于社會(huì)、源于真實(shí)情境，考查學(xué)生分析和解決具有實(shí)際意義問(wèn)題的能力，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值．

3.2 試題呈現(xiàn)方式開(kāi)放、創(chuàng)新，體現(xiàn)學(xué)生個(gè)性

新時(shí)代的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是高考的新目的、新要求，北京卷在試題的呈現(xiàn)方式上進(jìn)行創(chuàng)新，體現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查要求．

第一，設(shè)置開(kāi)放型試題，體現(xiàn)探究性．

北京卷設(shè)計(jì)條件或結(jié)論開(kāi)放、解題方法多樣、答案不唯一的試題，增強(qiáng)試題的開(kāi)放性和探究性，學(xué)生需要根據(jù)已有的信息進(jìn)行“猜想、推理、探究”，從而得出結(jié)論．

例7(2019年高考數(shù)學(xué)北京卷理科第12題，文科第13題)

已知l,m是平面α外的兩條不同直線．給出下列三個(gè)論斷：

l⊥m； ②m∥α； ③l⊥α．

以其中的兩個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫(xiě)出一個(gè)正確的命題：________．

本題是一道開(kāi)放性問(wèn)題，考查的是線、面平行或垂直的性質(zhì)與判定．要求學(xué)生能夠根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)將題目給出的三個(gè)論斷組合，判斷形成命題是否為真命題．要求學(xué)生能從不同的角度思考同一個(gè)問(wèn)題．這類結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題讓學(xué)生從標(biāo)準(zhǔn)答案中解放出來(lái)，發(fā)展他們的創(chuàng)造性思維．

再如前面提到的文科第17題的第(Ⅲ)問(wèn)，要求學(xué)生能夠在前面概率計(jì)算的基礎(chǔ)上，依據(jù)對(duì)概率思想的理解對(duì)要求的問(wèn)題作出決策，本問(wèn)答案不唯一，考查學(xué)生對(duì)概率思想的正確理解和認(rèn)識(shí)，以及運(yùn)用概率思想對(duì)實(shí)際生活中遇到的問(wèn)題作出決策的科學(xué)素養(yǎng)．

第二，創(chuàng)新試題的呈現(xiàn)方式，體現(xiàn)綜合性．

試題的設(shè)計(jì)力求呈現(xiàn)方式的多樣化，在傳統(tǒng)的數(shù)字、符號(hào)、公式的基礎(chǔ)上，增加具有綜合性和形式新穎的信息，體現(xiàn)了綜合性的考查要求．

例8(2019年高考數(shù)學(xué)北京卷文科第8題)

如圖，A,B是半徑為2的圓周上的定點(diǎn)，P為圓周上的動(dòng)點(diǎn)，∠APB是銳角，大小為β．圖中陰影區(qū)域的面積的最大值為

(A)4β+4cosβ(B)4β+4sinβ

(C)2β+2cosβ(D)2β+2sinβ

本題通過(guò)給定一個(gè)圓周角的圖示，要求學(xué)生讀懂圖中的信息，探索并嘗試表示特殊位置時(shí)陰影面積的值．在運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程中尋找變與不變，以此來(lái)考查學(xué)生運(yùn)用圖形描述、分析解決問(wèn)題的直觀想象和邏輯推理的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．

在新時(shí)代背景下，北京高考數(shù)學(xué)開(kāi)啟了高考改革的新征程．試卷以立德樹(shù)人為立足點(diǎn)，著力于數(shù)學(xué)知識(shí)和方法，數(shù)學(xué)文化和應(yīng)用的考查，回歸學(xué)生發(fā)展，回歸數(shù)學(xué)本質(zhì)，回歸教育規(guī)律，導(dǎo)向中學(xué)對(duì)“具備自覺(jué)的數(shù)量觀念的人”、“具備嚴(yán)密推理邏輯的人”、“具備高度抽象概括的人”、“具備一絲不茍、精益求精作風(fēng)的人”的“四具備”人才的培養(yǎng)，引導(dǎo)教學(xué)在核心概念和主干知識(shí)的掌握、數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)的理解、知識(shí)聯(lián)系和知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的建構(gòu)、數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)悟、數(shù)學(xué)模型的建立和問(wèn)題解決能力的培養(yǎng)、數(shù)學(xué)素養(yǎng)的達(dá)成等六個(gè)方面下功夫，用立德樹(shù)人鑄魂，熔鑄于理性思維和人文精神，努力打造綠色高考新形態(tài)．