■史宇軒(導師：李發(fā)明)

1.導數(shù)的物理意義和幾何意義

數(shù)學和物理中都提到導數(shù)的概念，兩者提到的導數(shù)一個側重計算，一個側重實際應用。為了更深入研究導數(shù)的物理意義和幾何意義，我翻閱了同濟大學的高等數(shù)學，從網上查閱了資料，得出：導數(shù)(Derivative)是微積分中的重要基礎概念，當函數(shù)y=f(x)的自變量x在一點x0上產生一個增量Δx時，函數(shù)輸出值的增量Δy與自變量增量Δx的比值在Δx趨于0時的極限a如果存在，a即為在x0處的導數(shù)，記作f'(x0)或df/dx(x0)。

無論該函數(shù)圖像是直線還是曲線，導數(shù)都是函數(shù)在一個點的斜率或者說是瞬時變化率。對于直線求某點的導數(shù)即求該點的斜率，有多種常規(guī)求解方法。對于曲線需要采用局部先行逼近。常規(guī)的求解方法是根據定義：(1)求y的增量Δy=f(x+Δx)-f(x)。(2)計算y的增量和x增量的比值。(3)求極限。例如，常數(shù)的導數(shù)是0，即y=9，y'=0，可知y=9的直線的變化率為0。可以通過上述三步求得。

導數(shù)的本質是通過極限的概念對函數(shù)進行局部的線性逼近。因此，導數(shù)是函數(shù)的局部性質。一個函數(shù)在某一點的導數(shù)描述了這個函數(shù)在這一點的變化率。如果函數(shù)的自變量和取值都是實數(shù)的話，函數(shù)在某一點的導數(shù)就是該函數(shù)所代表的曲線在這一點上的切線斜率。例如，在運動學中，物體的位移對于時間的導數(shù)就是物體的瞬時速度。

2.導數(shù)的實際應用

例如，一輛汽車在10h內走了600km，那么它的平均速度是60km/h。但在實際行駛過程中，是有快慢變化的，不一定都是60km/h。為了更好地反映汽車在行駛過程中的快慢變化情況，可以縮短時間間隔，設汽車所在位置s與時間t的關系為s=f(t)，那么汽車在由時刻t0變到t1這段時間內的平均速度是。當t1無限趨近于t0時，汽車行駛的快慢變化就不會很大，平均速度就近似等于t0時刻的瞬時速度，因而就把此時的極限作為汽車在時刻t0的瞬時速度，即，這就是通常所說的速度。這實際上是由平均速度類比到瞬時速度的過程(如我們駕駛時的限“速”指瞬時速度)。

結論：(1)查看了文件并借閱了同濟大學的高等數(shù)學1，通過查閱文獻得知，函數(shù)在一點處的導數(shù)的幾何意義為曲線在該點處的切線的斜率。

(2)函數(shù)在一點處的導數(shù)的物理意義：一階導數(shù)的物理意義隨不同物理量而不同，但都是該量變化的快慢函數(shù)，既該量的變化率，是函數(shù)的切線。如對位移求導就是速度，速度求導就是加速度(即對位移求2次導數(shù))，對功求導就是功的改變率等?；蛘哒f一階導數(shù)是自變量的變換率，二階導數(shù)是一階導數(shù)的變換率。一階導數(shù)大于0，則遞增;小于0，則遞減;等于0，則不增不減。

在一個具體的運動過程中，若已知位置X隨時間t的變化函數(shù)X(t)，那么速度就是X對t的一階導數(shù)，即。將V對t的一階導數(shù)，叫作瞬時加速度a，即對t的一階導數(shù)即X對t的二階導數(shù))。

通過導數(shù)與物理、幾何、代數(shù)的關系(在幾何中可求切線，在代數(shù)中可求瞬時變化率，在物理中可求速度、加速度)，將各個不同學科所學知識結合到一起，并應用于生活實踐中，培養(yǎng)了我們的探索能力、創(chuàng)新能力，讓我們更加懂得學習的意義。