楊海平

(浙江同濟科技職業(yè)學院 建筑工程系， 杭州 311231)

缺陷與裂紋作為巖體的固有屬性，一直以來是學者們的研究熱點[1-2]．對于諸如水利，巖土，采礦等領(lǐng)域，巖體的裂紋和缺陷在復雜應力條件下的擴展會導致巖體結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)破壞[3-4]，因此研究巖體的裂紋擴展規(guī)律，對其機理的正確認識對防止巖體結(jié)構(gòu)破壞有及其重要的作用．

對于含裂紋巖體在各種應力作用下的裂紋擴展規(guī)律及破壞過程，國內(nèi)外許多學者進行了大量的研究，試驗方面：宮鳳強[5]利用花崗巖矩形隧洞試件在單軸壓縮下的裂紋擴展破壞過程進行了試驗研究，得到了不同加載方式下的破壞模式；張盛[6]對不同預制裂縫長度下的NSCB試件進行了三點彎曲斷裂試驗，得到了不同預制裂紋長度下的試件的斷裂韌度；徐辰宇[7]對CO2增強型采熱(CO2-EGS)工程中CO2作用下巖石的水壓破裂進行了試驗研究，得到了CO2壓裂的裂紋擴展形態(tài)．數(shù)值模擬方面：李竟艷[8]利用Abaqus軟件對單軸拉伸下的巖石材料的裂紋擴展進行了數(shù)值模擬；李宏[9]利用離散元軟件PFC對含非貫通裂隙巖體的裂紋擴展進行了數(shù)值；王海軍等[10]利用三維裂紋分析軟件Franc3d對含裂紋孔洞試件在單軸壓縮下的裂紋尖端應力強度因子進行了數(shù)值模擬分析．但是，以上研究僅僅針對于二維穿透型裂紋或者是三維表面裂紋進行研究分析，事實上，裂紋以三維內(nèi)裂紋形態(tài)存在于巖體中，片面的將三維內(nèi)裂紋簡化為二維裂紋會丟失掉許多必要的信息[11]，對于三維內(nèi)裂紋的研究相對較少，且多集中于對三維裂紋的表象的研究，如付金偉[12-14]對新型樹脂材料含三維內(nèi)裂紋樹脂進行了試驗研究，得到了裂紋擴展規(guī)律及破壞形態(tài)，同時，對于三維內(nèi)裂紋裂紋擴展及應力強度因子計算的數(shù)值模擬也是一個難點[15]．

本文對三維橢內(nèi)圓裂紋的始裂狀態(tài)進行了解析分析，并基于M積分及最大周向拉應變準則對三維橢圓內(nèi)裂紋的裂紋前緣的應力強度因子及裂紋擴展規(guī)律進行了數(shù)值模擬，研究結(jié)果為正確認識三維內(nèi)裂紋的擴展機理及三維內(nèi)裂紋的擴展過程的數(shù)值模擬提供了方向．

1 橢圓內(nèi)裂紋始裂狀態(tài)的解析分析

1.1 裂紋前緣扭轉(zhuǎn)角的解析表達

對于處于壓剪狀態(tài)下的橢圓裂紋，裂紋面承受壓力與剪力，根據(jù)李世愚[16]等的研究，此時一型應力強度因子KⅠ為0，而KⅡ，KⅢ則不為0．裂紋面上的正應力與剪應力可以表示為如下形式：

(1)

其中，σc是裂紋面的正應力，而τc為裂紋面的剪應力，σ為試件所受到的外加應力，f為裂紋面間的摩擦系數(shù)，α為裂紋面與加載方向的夾角．

預制橢圓裂紋前緣某一點P在局部坐標系下，三維應力分量以極坐標形式可以表示為：

(2)

式中，KⅡ，KⅢ為二型，三型應力強度因子．

圖1 裂紋面標識

對于壓剪下的橢圓裂紋擴展形式主要有彎折型與扭轉(zhuǎn)型，如圖2所示．當發(fā)生二型裂紋擴展時，裂紋面沿原裂紋面擴展一個θ的轉(zhuǎn)角，而當發(fā)生三型裂紋擴展時，裂紋擴展面則沿著原裂紋面扭轉(zhuǎn)一個Φ的轉(zhuǎn)角．

圖2 不同裂紋擴展形式

基于此，可以得到由起裂面空間的θ與Φ共同決定的法向應力σN表達式：

σN=σxx·sin2(θ)·cos2(θ)+σyy·sin2(φ)+

σzz·cos2(θ)·cos2(φ)-2τxysin(θ)·

sin(φ)·cos(φ)-2τyzcos(θ)·sin(φ)·cos(φ)-

2τxzsin(θ)·sin(φ)·cos2(φ)

(3)

其中，應力強度因子的解析解可由式(4)給出[17-18]：

(4)

其中，Ψ為橢圓的極角，η′=b/a，η2=1-η′2，B=(η2-ν)·E(η)+η′2·E′(η)，E(η)，E′(η)分別為第一類與第二類完全橢圓積分．

定義應力集中系數(shù)δ=σN/σ，對二元函數(shù)(3)求極值：

(5)

便可求得橢圓裂紋前緣的始裂狀態(tài)下的裂紋前緣的轉(zhuǎn)角θ和扭角Φ隨著橢圓的極角Ψ的變化，通過數(shù)值計算便可計算出橢圓裂紋前緣的每一點的裂紋擴展角度．

1.2 裂紋前緣的實例計算

對文獻[13]中的樹脂材料進行計算，裂紋參數(shù)如下：橢圓裂紋的長半軸a=10 mm，短半軸長b=7.5 mm，裂紋間的摩擦系數(shù)f取為0.1，泊松比ν為0.2，角度α=45°，計算半徑r參照文獻[18]的取值取為0.01 mm，至此，可以由式(5)得出轉(zhuǎn)角θ和扭角Φ隨著橢圓的極角Ψ的變化，利用數(shù)學計算軟件Mathematica對式(5)進行數(shù)值計算，轉(zhuǎn)角θ，扭角Ψ隨裂紋前緣的變化曲線如圖3所示．

圖3 裂紋前緣扭角與轉(zhuǎn)角的關(guān)系

由圖3可得：裂紋的轉(zhuǎn)角(與二型破壞對應)沿著裂紋前緣從長半軸到短半軸的過程中是不斷減小的，而裂紋的扭角(與三型破壞對應)沿著裂紋前緣則是不斷增大的，值得注意的一點是，當Ψ=0°，即在裂紋的長半軸端點處時，裂紋的轉(zhuǎn)角最大，而扭角為0，而當Ψ=90°時，裂紋的扭角最大，而轉(zhuǎn)角則為0．

2 裂紋始裂狀態(tài)應力強度因子

2.1 計算理論

Franc3d利用M積分計算應力強度因子，M積分可以寫成：

M(1，2)=

(6)

其中，M(1，2)為兩種線性狀態(tài)下的M積分，E為彈性模量，ν為泊松比，KⅠ為一型應力強度因子；KⅡ為二型應力強度因子；KⅢ為三型應力強度因子，(1)與(2)為兩種線性狀態(tài)．

2.2 始裂狀態(tài)的應力強度因子分析

利用Franc3d軟件對文獻[13]中的橢圓裂紋進行計算，計算模型如圖4所示，試件為5 cm×5 cm×10 cm的標準立方體試件，受單軸壓縮荷載．圖4(a)為試樣的設(shè)計圖，圖4(b)為試樣的計算網(wǎng)格圖．

圖4 計算模型

由于對稱性，取裂紋前緣的1/4進行分析，定義無量綱化應力強度因子表達如下：

(7)

其中：

Q=1+1.464(a/b)1.65

(8)

式中，σ為模型邊界上的應力，a為裂紋的長半軸長度，b為裂紋的短半軸長度．

圖5為裂紋前緣長軸端點至短軸端點的一型與二型無量綱化應力強度因子分布．由圖5可見，M積分計算所得的無量綱化二型應力強度因子與三型應力強度因子隨裂紋前緣的變化規(guī)律與本文解析解計算所得的轉(zhuǎn)角與扭角的規(guī)律一致，驗證了本文解析解的正確性．

圖5 應力強度因子分布

3 裂紋擴展計算

3.1 裂紋擴展理論

Franc3d采用最大周向拉應變準則計算裂紋擴展，裂紋起裂方向滿足以下關(guān)系：

(9)

可以得出：

(10)

根據(jù)式(21)～(22)便可以計算出最大周向拉應變準則下的裂紋擴展方向．

3.2 計算結(jié)果

預制裂紋為傾角為60°的橢圓內(nèi)裂紋，利用Franc3d進行單軸應力的施加，計算得到裂紋擴展過程，不同迭代步下的裂紋擴展過程如圖6所示．

圖6 單裂紋試件裂紋擴展過程

由圖可見，單裂紋試件在雙軸及不同內(nèi)水壓作用下首先在預制裂紋的上下尖端出現(xiàn)“翼型包裹狀”裂紋，隨著裂紋的逐漸擴展，裂紋所占面積越來越大，翼裂紋逐漸貫穿試件形成破壞．值得注意的是，當裂紋面擴展至試件邊緣時，裂紋面會變平．

3.3 與現(xiàn)有試驗結(jié)果對比

為說明數(shù)值模擬的合理性，將數(shù)值模擬結(jié)果與室內(nèi)試驗進行對比，付金偉[13]曾對高脆性透明樹脂含橢圓內(nèi)裂紋在單軸壓縮下的裂紋擴展規(guī)律進行了室內(nèi)試驗，得到了裂紋的擴展規(guī)律及試件的破壞形態(tài)，本文將解析法的結(jié)果與數(shù)值模擬的結(jié)果與室內(nèi)試驗進行對比，室內(nèi)試驗典型試樣的破壞形態(tài)及本文最終數(shù)值模擬結(jié)果如圖7所示．

圖7 室內(nèi)試驗與數(shù)值模擬結(jié)果對比

由圖7可見，文獻[13]室內(nèi)試驗預制裂紋在裂紋長軸定點處產(chǎn)生了翼裂紋，翼裂紋沿著最大主應力即加載方向擴展，最終形成貫穿型大裂紋，這與本文利用Franc3d軟件進行數(shù)值模擬的結(jié)果一致，即本文利用M積分及最大周向拉應變準則可以很好的模擬三維內(nèi)裂紋的擴展問題，同時注意到，預制裂紋靠近短軸端點處出現(xiàn)了“花瓣狀”裂紋，這種裂紋形態(tài)的出現(xiàn)是由于裂紋面受到三型扭力所形成的，這與本文的解析分析結(jié)果及數(shù)值模擬分析的結(jié)果又具有一致性，即裂紋面在短軸端點處的三型應力強度因子最大．

4 結(jié) 論

1)基于橢圓裂紋尖端的應力狀態(tài)，定義了應力集中系數(shù)函數(shù)δ，對應力集中系數(shù)函數(shù)δ求偏導計算出裂紋前緣每一點的轉(zhuǎn)角θ和扭角Φ(分別對應裂紋的二型與三型破壞)隨著裂紋前緣的變化規(guī)律，裂紋的轉(zhuǎn)角沿著裂紋前緣從長半軸到短半軸的過程中不斷減小，裂紋的扭角沿裂紋前緣不斷增大．

2)基于M積分計算出了裂紋前緣的二型與三型應力強度因子的變化規(guī)律，與本文解析解計算所得的轉(zhuǎn)角與扭角的規(guī)律一致．

3)基于最大周向拉應變準則得出了橢圓裂紋壓載條件下的裂紋擴展規(guī)律，并與試驗結(jié)果進行了對比，本文的解析規(guī)律及數(shù)值模擬規(guī)律與室內(nèi)試驗一致，驗證了本文解析分析及數(shù)值分析的合理性．