劉嘉夫，齊 昕

（重慶水利電力職業(yè)技術(shù)學(xué)院水利工程學(xué)院，重慶402160）

1 前 言

近年來，隨著水電工程和地下空間利用等大型巖體工程的興建，巖體滲流問題日益得到關(guān)注。在長期地質(zhì)作用下，巖體中普遍存在各種不同尺寸的裂隙，由于裂隙是各種流體在巖體中流動(dòng)的主要通道，對地下水流動(dòng)起著主要的控制作用，因此關(guān)于裂隙中的流體滲流分析是近年來巖體滲流分析的熱點(diǎn)之一。在早期的研究中，一般忽略裂隙上、下表面的粗糙性，將粗糙裂隙視為理想光滑平行板模型［1-4］，裂隙的滲透性可以用立方定理（cubic law）來描述［5］，即通過裂隙的滲流體積流量與裂隙隙寬的三次方成正比，由于忽略了真實(shí)裂隙的粗糙性，因此立方定理只能定性地描述裂隙間的滲流情況。若考慮裂隙上、下表面的粗糙性以及相互接觸部分的影響，裂隙中的流體流動(dòng)將變得迂回曲折，從而使得真實(shí)的滲流體積流量與立方定理計(jì)算值之間存在偏差。鑒于此，很多學(xué)者通過在立方定理中引入經(jīng)驗(yàn)修正系數(shù)f來描述粗糙裂隙與理想光滑平行板模型之間的偏差，由于這些研究只是考慮裂隙表面的粗糙性對裂隙滲流的影響，沒有考慮裂隙隙寬分布的不均勻性對滲流的顯著影響，因此引入修正系數(shù)f不能完全反映裂隙中的滲流情況。

S.R.Brown［6］采用分形函數(shù)構(gòu)造粗糙裂隙的上、下表面，然后將兩表面疊加到一起構(gòu)成裂隙空腔，采用有限差分方法求解裂隙面上的滲流體積流量分布情況，通過滲流體積流量分布情況可以看到裂隙中的滲流呈現(xiàn)出明顯的曲折效應(yīng)。法國數(shù)學(xué)家B.B.Mandelbrot在1973年首次提出了分維的設(shè)想，創(chuàng)造了“分形（Fractal）”這個(gè)新術(shù)語，后來其又提出了分形幾何，用來描述自然界不規(guī)則以及雜亂無章的現(xiàn)象和行為［7］。自然界的大多數(shù)復(fù)雜幾何形狀都具有分形特性，巖石裂隙表面形狀也同樣具有分形特性，可以用分形維數(shù)來描述巖石裂隙表面的粗糙性。Y.H.Lee等［8］應(yīng)用分形幾何的尺碼方法測量了裂隙剖面的分形維數(shù)；N.H.Maerz等［9-10］根據(jù)經(jīng)驗(yàn)建立了 JRC值與分形維數(shù)之間的關(guān)系式；S.Murata 和 T.Saito［11］研究了裂隙面分形參數(shù)對曲折效應(yīng)的影響規(guī)律。由于分形維數(shù)僅是表征裂隙表面形貌特征的參數(shù)，而裂隙滲流的曲折性不僅與裂隙的表面形貌相關(guān)，也與裂隙的三維空腔組合形貌密切相關(guān)，因此結(jié)合裂隙三維空腔組合形貌對裂隙滲流的曲折性進(jìn)行定量描述是研究裂隙滲流曲折性的新思路。

綜上所述，為了在粗糙裂隙滲流計(jì)算公式中考慮裂隙滲流曲折效應(yīng)的影響，在對粗糙裂隙試件進(jìn)行室內(nèi)滲流試驗(yàn)和有限元數(shù)值方法求解的基礎(chǔ)上，結(jié)合裂隙的三維空腔組合形貌，提出了裂隙滲流曲折因子的計(jì)算方法；然后借助分析巖石滲透系數(shù)的等效溝槽模型，在現(xiàn)有的立方定理修正計(jì)算公式中引入了曲折因子，得到了考慮裂隙曲折效應(yīng)的滲流計(jì)算新公式，在利用數(shù)值計(jì)算結(jié)果確定新公式中的待定常數(shù)后，根據(jù)室內(nèi)滲流試驗(yàn)結(jié)果對新公式進(jìn)行了驗(yàn)證。

2 考慮曲折效應(yīng)的裂隙滲流計(jì)算公式的推導(dǎo)

裂隙中的滲流流線都是曲線，這與光滑平行板模型中的直線型流線分布是完全不同的，表明裂隙的實(shí)際流徑要大于從入水口到出水口的直線距離，這主要是由于粗糙裂隙隙寬分布不均勻引起裂隙滲流流徑呈現(xiàn)出曲折特性。光滑裂隙的滲流可以用立方定理來描述，其表達(dá)式為

式中：Qc為裂隙的滲流體積流量；b為裂隙隙寬；?p為水頭壓力梯度；C為與裂隙幾何尺寸和流體物理特性有關(guān)的常數(shù)。

對于粗糙裂隙，考慮裂隙表面粗糙性影響的立方定理修正經(jīng)驗(yàn)公式可以寫為

式中：Q為考慮裂隙表面粗糙性的滲流體積流量；f為考慮裂隙表面粗糙性的修正系數(shù)；＜b＞為粗糙裂隙平均隙寬。

對式（2）進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖儞Q，有

由式（3）可以看出，考慮裂隙表面粗糙性影響對立方定理進(jìn)行修正，其本質(zhì)是考慮裂隙面起伏不平對粗糙裂隙平均隙寬進(jìn)行折減，從而將粗糙裂隙簡化為隙寬 ＜b＞／f1／3的光滑平行板模型，以滿足立方定理的計(jì)算條件。

在式（2）中，關(guān)于考慮裂隙表面粗糙性的修正系數(shù) f，G.M.Lomize 等［12-15］提出了不同的表達(dá)式，將這些表達(dá)式歸納起來可用統(tǒng)一的表達(dá)式表示：

式中：A和B均為待定常數(shù)，可以根據(jù)滲流試驗(yàn)結(jié)果確定；Δ為裂隙表面絕對粗糙度。

在式（3）中引入修正系數(shù)F得到

對于平行板模型，有

式中：k為巖石的滲透系數(shù)；kc為按立方定理進(jìn)行計(jì)算所得的滲透系數(shù)；τ為滲流平均曲折因子；Ts為裂隙面曲折系數(shù)。

式（6）表示粗糙裂隙滲流與修正立方定理式（2）之間的偏差，與式（5）中的系數(shù)1／F等效，即有

將式（7）代入式（5）中，有

將式（4）代入式（8）中進(jìn)行整理可得

式（9）即為考慮裂隙面粗糙性和滲流曲折效應(yīng)的粗糙裂隙滲流計(jì)算公式，其中曲折因子τ和裂隙面曲折系數(shù)Ts是分別根據(jù)裂隙三維空腔組合形貌和裂隙表面形貌特征計(jì)算得到的，只要確定了待定常數(shù)A和B，就可以將式（9）應(yīng)用于粗糙裂隙的滲流計(jì)算。

3 裂隙面量測與分形計(jì)算

3.1 裂隙面制備

試驗(yàn)中，裂隙面采用劈裂巖石作為原型，首先用不易變形且強(qiáng)度很高的樹脂材料拷貝裂隙表面的形貌，然后基于該樹脂試件表面形貌制作石膏材料試件，用來模擬天然的巖石試件。類巖石材料的成分為石膏、水和延緩劑。試件分為上、下兩部分，長200 mm、寬100 mm，上、下部分各高50 mm，總高為100 mm。由于上、下裂隙面由新鮮巖塊劈裂而來，試件吻合較好，因此初始接觸可近似視為1.0。

3.2 裂隙表面形貌量測

試驗(yàn)選取的5組粗糙表面巖石裂隙試件分別標(biāo)記為J1、J2、J3、J4和J5，其中裂隙試件J1和J2的數(shù)據(jù)來源于 B.Li等的研究成果［16］，裂隙試件 J3、J4 和 J5 的數(shù)據(jù)通過進(jìn)行新的室內(nèi)物理模型試驗(yàn)獲取。試件表面形貌用KEYENCE公司生產(chǎn)的激光測試儀量測，該儀器精度可達(dá)到±20μm，分辨率可達(dá)到10μm，掃描儀可識(shí)別X、Y方向平面定位坐標(biāo)系統(tǒng)，并且可根據(jù)掃描過程中預(yù)設(shè)路徑自行移動(dòng)，掃描數(shù)據(jù)通過PC機(jī)可實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)收集與處理。本研究中，各巖石裂隙表面在X、Y軸方向上測點(diǎn)間距均為0.01 mm，得到裂隙試件三維表面形貌如圖1所示?？梢钥闯?，試件J1表面平滑，整體不存在較大凸起；試件J2局部存在某些較大凸起，但整體呈平滑狀；試件J3表面較粗糙，但整體沒有較大凸起；試件J4表面較平滑，整體沒有較大凸起，但存在比較多的小凸起；試件J5表面較粗糙，有較大凸起，同時(shí)也存在較多的小凸起。幾組裂隙試件在試驗(yàn)過程中均施加1 MPa恒定法向應(yīng)力，剪切位移達(dá)18 mm，且每剪切1 mm便在裂隙內(nèi)施加與剪切方向一致的大小為0.1 m的水頭進(jìn)行透水試驗(yàn)。隨著剪切位移的增加，上、下裂隙面相互錯(cuò)動(dòng)導(dǎo)致滲流路徑減小，在水頭保持不變的情況下，兩端的水力梯度會(huì)逐漸增大，為了消除該影響，在計(jì)算中需降低與剪切位移相對應(yīng)的水力梯度。

圖1 裂隙面形貌

3.3 裂隙分形描述與計(jì)算

根據(jù)裂隙試件表面形貌測試數(shù)據(jù)，計(jì)算其分形維數(shù)。分形幾何中，最常用的分形維數(shù)計(jì)算方法是尺碼法和覆蓋法。其中尺碼法可以直接估算出復(fù)雜曲線的分形維數(shù)，而對于粗糙表面則需要采用間接覆蓋的方法，三角形棱柱表面積法［17］和投影覆蓋法［18］是具有代表性的兩種計(jì)算方法，但計(jì)算過程中對面積的近似計(jì)算使得這兩種方法的計(jì)算結(jié)果存在一定的偏差。針對該問題，周宏偉等［19］提出了表面分維的立方體覆蓋法，采用三維立方體網(wǎng)格直接覆蓋粗糙表面，具體計(jì)算過程如下。

（1）在XOY平面上存在長度為δ的正方形網(wǎng)格，該網(wǎng)格對應(yīng)的四角點(diǎn)高度依次記為 h（i，j） 、 h（i，j+1） 、 h（i+1，j） 以及 h（i+1，j+1） ，其中 i、j取值為1～n-1（n為每條邊上的測點(diǎn)個(gè)數(shù)）。

（2）用長度為δ的立方體覆蓋粗糙表面，對應(yīng)區(qū)域內(nèi)覆蓋粗糙表面所需的立方體總數(shù)Ni，j為

（3）計(jì)算整個(gè)區(qū)域上的立方體總數(shù)

（4）改變測量尺度，再次計(jì)算立方體總數(shù)N，由分形理論可知，整個(gè)區(qū)域上的立方體總數(shù)N和對應(yīng)的測量尺度δ之間有如下關(guān)系式

式中：k為比例系數(shù)；D為分形維數(shù)，反映了復(fù)雜形體占有空間的有效性，是復(fù)雜形體不規(guī)則性的量度。

由式（12）可知

為了簡捷表示，分形維數(shù)D的計(jì)算公式可以寫成

式中：δ0、N0為常數(shù)，其中

通過編寫Matlab程序，可以計(jì)算得出粗糙表面試件 J1、J2、J3、J4、J5的立方體覆蓋數(shù)目與觀測尺度之間的關(guān)系，如圖2所示，圖中直線斜率的絕對值即為粗糙表面分形維數(shù)。本文立方體測量尺度為0.2～100.0 mm，當(dāng)測量尺度較大， lg（δ／δ0） ＞-1.69 時(shí)，粗糙表面分形維數(shù)精確到2.000，即粗糙表面不表現(xiàn)出分形特性，只有當(dāng)測量尺度較小， lg（δ／δ0） ＜-1.69 時(shí)，粗糙表面才表現(xiàn)出分形特性。

圖2 立方體覆蓋數(shù)目與觀測尺度之間的關(guān)系

4 粗糙裂隙非線性流動(dòng)特性

4.1 粗糙裂隙飽和滲流試驗(yàn)

整個(gè)試驗(yàn)裝置包括裂隙模型、上下游緩水箱、增壓水泵、水槽、連接水管、閥門、壓力表等?？紤]到高水力梯度下水流流量大這一特點(diǎn)，采用了整體自循環(huán)水流系統(tǒng)，試驗(yàn)裝置如圖3所示。裂隙模型由上、下兩塊3 cm厚有機(jī)玻璃板疊合而成，有機(jī)玻璃板具有足夠的剛度以抵抗高水壓引起的變形。J1～J5裂隙開度分別為1.58、2.20、1.50、2.45、2.10mm，裂隙開度采用千分表量測，共測8個(gè)點(diǎn)取其平均值。自循環(huán)系統(tǒng)中，設(shè)計(jì)了增壓泵以提供上游高水頭，增壓泵揚(yáng)程30m，在H＝25m時(shí)排水流量達(dá)到250cm3／min，能滿足試驗(yàn)中供壓穩(wěn)定的要求。水泵與上游緩水箱之間安裝控制閥門來控制流量，以達(dá)到調(diào)節(jié)水力梯度的目的。為了進(jìn)行高水力梯度下的水流試驗(yàn)，在裂隙模型進(jìn)出口處分別連接封閉式緩水箱，在水箱頂蓋上安裝排氣閥，通過排氣口加壓，對模型和連接水箱排氣。平行板之間以及平行板與緩水箱之間通過γ夾固定連接。在試驗(yàn)水槽中設(shè)置三角堰以觀測流量，三角堰前設(shè)一水位測量管，通過水位測針測讀堰上水位，精度達(dá)到0.1mm。若三角堰堰口超出水位小于1cm，則直接采用體積法測流量，測讀3次，取平均值。

4.2 非線性分形模型的驗(yàn)證

4.2.1 系數(shù) A 和 B 的確定

圖3 試驗(yàn)裝置

在求解待定常數(shù)A和B時(shí)，首先根據(jù)裂隙平均隙寬按立方定理計(jì)算滲流體積流量Qc，將其與數(shù)值計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較，得到兩者的偏差。然后根據(jù)裂隙三維表面形貌和三維空腔組合形貌計(jì)算裂隙滲流曲折因子、裂隙面曲折系數(shù)和相對粗糙度，在此基礎(chǔ)上對待定常數(shù)A和B進(jìn)行擬合分析。根據(jù)裂隙試件J1、J2及J3形貌數(shù)據(jù)計(jì)算得到的曲折效應(yīng)參數(shù)見表1，擬合得到常數(shù) A、B 分別為 0.22、2.0。

表1 裂隙試件J1、J2及J3的曲折效應(yīng)參數(shù)

把 A＝0.22、B＝2.0 代入式（9）得到考慮裂隙面粗糙程度和滲流曲折效應(yīng)的裂隙滲流計(jì)算公式為

在式（15）中包含兩類參數(shù)，τ和 ＜b＞為根據(jù)裂隙三維空腔組合形貌計(jì)算得到的參數(shù)；Ts和Δ為根據(jù)裂隙三維表面形貌計(jì)算得到的參數(shù)。只要根據(jù)裂隙的三維空腔組合形貌和三維表面形貌數(shù)據(jù)確定了上述參數(shù)，就可以根據(jù)式（15）計(jì)算裂隙在設(shè)定滲流邊界條件下的滲流體積流量。

4.2.2 非線性分形模型與其他模型的對比

本文根據(jù)裂隙試件J1、J2及J3的形貌數(shù)據(jù)和數(shù)值計(jì)算結(jié)果求解了裂隙滲流計(jì)算公式中的待定常數(shù)A和B，得到了考慮裂隙面粗糙程度和滲流曲折效應(yīng)的裂隙滲流計(jì)算公式。為了驗(yàn)證該公式的正確性，下面將根據(jù)裂隙試件J4、J5的形貌數(shù)據(jù)，采用式（15）計(jì)算裂隙試件J4、J5的滲流體積流量，并將其與滲流數(shù)值計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較。根據(jù)裂隙試件J4、J5的三維表面形貌和三維空腔組合形貌計(jì)算得到的裂隙滲流曲折因子、裂隙面曲折系數(shù)和相對粗糙度見表2。把表2中的數(shù)據(jù)代入式（15）中就可以計(jì)算得到試件J4、J5的滲流體積流量預(yù)測值，將其與Reynolds方程下的裂隙滲流數(shù)值計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較，如圖4所示。

表2 裂隙試件J4、J5的曲折效應(yīng)參數(shù)

圖4 試件J4、J5的裂隙滲流數(shù)值計(jì)算結(jié)果

由圖4可知，采用式（15）計(jì)算的裂隙滲流體積流量隨平均水力梯度的變化趨勢與數(shù)值計(jì)算結(jié)果基本一致，且兩者的計(jì)算結(jié)果吻合較好，可見采用裂隙試件J1、J2及J3數(shù)值計(jì)算結(jié)果擬合得到的待定常數(shù)A和B具有很好的可信度，由此得到的裂隙滲流計(jì)算公式可以用于計(jì)算裂隙的滲流體積流量，能夠較好地反映裂隙中的真實(shí)滲流情況。

5 結(jié) 論

（1）根據(jù)Reynolds控制方程下的裂隙滲流值數(shù)計(jì)算結(jié)果，提出了定量描述裂隙滲流曲折效應(yīng)的平均曲折因子τ的定義，并根據(jù)裂隙的三維空腔組合形貌提出了平均曲折因子的計(jì)算方法。

（2）在總結(jié)現(xiàn)有考慮裂隙表面粗糙性的立方定理修正公式的基礎(chǔ)上，根據(jù)巖石滲透性等效溝槽模型，在滲流計(jì)算公式中引入裂隙滲流曲折因子τ表征裂隙滲流曲折效應(yīng)，得到了綜合考慮裂隙表面粗糙性和裂隙滲流曲折效應(yīng)的滲流計(jì)算新公式。

（3）將裂隙滲流計(jì)算新公式計(jì)算結(jié)果與Reynolds方程下的裂隙滲流數(shù)值計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對比，結(jié)果表明，考慮裂隙表面粗糙性和裂隙滲流曲折效應(yīng)的滲流計(jì)算新公式計(jì)算結(jié)果與Reynolds方程下的裂隙滲流數(shù)值計(jì)算結(jié)果吻合較好，能真實(shí)地反映裂隙中的滲流情況。同時(shí)，滲流計(jì)算新公式具有計(jì)算簡便、參數(shù)物理意義明確、計(jì)算結(jié)果可靠的特點(diǎn)，在工程中有較好的應(yīng)用前景。