沈燕云

摘要：解三角形是高中數(shù)學(xué)中的教學(xué)重點(diǎn)之一，是高考的高頻考點(diǎn)，而其中的最值與范圍問(wèn)題的綜合性較強(qiáng)，是學(xué)生解題中的一大難點(diǎn)。本文旨在淺析解三角形中的最值與范圍問(wèn)題的解題方法，幫助學(xué)生較好的理解和掌握這類問(wèn)題的做題技巧。

關(guān)鍵詞：解三角形;不等式;最值與范圍問(wèn)題

知識(shí)儲(chǔ)備：

1、正弦定理：，其中R為ΔABC外接圓的半徑

正弦定理的主要作用是方程和分式中的邊角互化.其原則為方程或分式關(guān)于邊或者角的正弦值是否具備齊次的特征.如果齊次則可直接進(jìn)行邊化角或是角化邊，否則不可行。

2、余弦定理：

變式： 此公式在已知a， A的情況下，配合均值不等式可得到b+c和bc的最值。

3、三角形中的不等關(guān)系

（1）任意兩邊之和大于第三邊：在判定是否構(gòu)成三角形時(shí)，只需驗(yàn)證較小的兩邊之和是否比第三邊大即可.由于不存在等號(hào)成立的條件，在求最值時(shí)使用較少。

（2）在三角形中，邊角以及角的三角函數(shù)值存在等價(jià)關(guān)系：

其中由 利用的是余弦函數(shù)單調(diào)性，而 僅在一個(gè)三角形內(nèi)有效.

4、解三角形中處理不等關(guān)系的幾種方法

（1）轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€(gè)變量的函數(shù)：通過(guò)邊角互化和代入消元，將多變量表達(dá)式轉(zhuǎn)變?yōu)楹瘮?shù)，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域（最值）問(wèn)題。

（2）利用均值不等式求最值。

例1.已知銳角ΔABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且 ，則ΔABC的面積最大值為_(kāi)____.

[分析]先化簡(jiǎn)得，，則只需求bc的最大值，此時(shí)既可以用余弦定理結(jié)合均值不等式解決，也可以用正弦定理將邊化為角的正弦，利用三角函數(shù)的有界性解決。具體解法如下：

解法一：由余弦定理，

即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，即，

所以ΔABC面積的最大值為.

解法二：由正弦定理，則

因?yàn)棣BC為銳角三角形，則

則，所以ΔABC的面積

即ΔABC面積的最大值為

[總結(jié)]容易看到解法一簡(jiǎn)潔，解法二復(fù)雜，但解法一中無(wú)法體現(xiàn)三角形是銳角三角形，只能求出三角形面積的最大值，解法二則非常清晰地體現(xiàn)了銳角三角形中角的取值范圍，可以求出面積的下限。

例2.已知ΔABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若向量，且。

（1）求角A的值;

（2）已知ΔABC的外接圓半徑為，求ΔABC周長(zhǎng)的取值范圍。

[分析]先解得。再由正弦定理得=2。則要求ΔABC周長(zhǎng)的取值范圍，只需求出b+c的范圍即可。

解法一：由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccosA=（b+c）2-3bc，

即，整理得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，

所以的最大值為4.又，所以，

所以ΔABC的周長(zhǎng)的取值范圍為。

解法二：由正弦定理

由得，∴ΔABC的周長(zhǎng)的取值范圍為

[總結(jié)]解法一利用均值不等式放縮求出b+c的最大值，再利用三角形中的三邊關(guān)系求出b+c的下限;解法二則利用正弦定理畫邊為角，由角的取值范圍確定邊的范圍。事實(shí)上，b+c取得最大值時(shí)，就是解法三中畫出外接圓后，頂點(diǎn)A位于優(yōu)弧BC中點(diǎn)時(shí)，即b=c時(shí)，此時(shí)三角形必為等腰三角形，而此題中，則此時(shí)△ABC為正三角形;b+c的下限就是當(dāng)點(diǎn)A無(wú)限接近點(diǎn)B（或點(diǎn)C）時(shí)的結(jié)果。

當(dāng)題干中限定了三角形為銳角三角形時(shí)，只能由正弦定理將邊化為角的正弦，利用三角函數(shù)的有限性求解范圍，這其中銳角的限定條件體現(xiàn)很充分，或者利用畫三角形的外接圓的方法，考慮動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的極端位置也可以解決。當(dāng)題干中沒(méi)有銳角三角形這一限定條件時(shí)，上述兩種方法仍然可以使用，但過(guò)程較復(fù)雜，此時(shí)采用余弦定理結(jié)合三角形的三邊關(guān)系以及均值不等式可以快速求解。

參考文獻(xiàn)：

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