王向東，魏 浩

(沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，沈陽(yáng) 110870)

在眾多植物保護(hù)方法中，化學(xué)防治憑借其高效和防治及時(shí)等特點(diǎn)，依舊是對(duì)作物進(jìn)行病蟲(chóng)草害防治的主要方法.植保機(jī)械對(duì)化學(xué)防治的有效實(shí)施起著非常重要的作用，但目前我國(guó)植保機(jī)械仍然存在結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、技術(shù)較為落后等問(wèn)題，從而導(dǎo)致農(nóng)藥殘留超標(biāo)和環(huán)境污染等眾多問(wèn)題[1-2].因此，對(duì)如何提高植保機(jī)械施藥效率、自動(dòng)化水平等相關(guān)課題的研究顯得至關(guān)重要.

噴桿式噴霧機(jī)作為一種重要的植保機(jī)械，具有噴霧壓力高、霧化效果好和作業(yè)效率高等優(yōu)點(diǎn)，隨著我國(guó)農(nóng)業(yè)種植規(guī)模的快速擴(kuò)大，其應(yīng)用也越來(lái)越廣[3].但在日常的農(nóng)業(yè)噴藥時(shí)，由于噴桿式噴霧機(jī)大多具有較長(zhǎng)的噴桿，所以田地的不平整性很容易使噴桿產(chǎn)生不利于噴藥均勻性的有害振動(dòng).為此，不少學(xué)者針對(duì)如何降低這類(lèi)有害振動(dòng)展開(kāi)了大量研究并得出許多有效的控制方法，如零極點(diǎn)配置[4-5]和主動(dòng)力控制[6-7]等.上述這些控制方法雖然都取得了很好的控制效果，但均對(duì)模型中存在的不確定因素考慮得不夠充分，而在實(shí)際工程問(wèn)題中，不確定因素或不可預(yù)見(jiàn)因素的存在是難以避免的，這些因素在模型中表現(xiàn)為不確定性，某些不確定性的存在對(duì)系統(tǒng)的運(yùn)行品質(zhì)會(huì)產(chǎn)生不良影響[8].

本文將文獻(xiàn)[5]的纜繩懸架傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)化為狀態(tài)空間模型，并考慮到模型中存在的不確定性和外部擾動(dòng)，應(yīng)用魯棒保性能控制理論進(jìn)行控制器的設(shè)計(jì)，并引入H∞控制理論抑制模型中的外部擾動(dòng).魯棒保性能控制不僅可以使存在不確定性的噴桿閉環(huán)系統(tǒng)具有二次穩(wěn)定性，而且還能使該系統(tǒng)滿足某一確定的性能指標(biāo)上界.最后，為了更直觀地判斷出噴桿能否快速平穩(wěn)下來(lái)，選取噴桿的轉(zhuǎn)角和角速度作為評(píng)判控制器性能的指標(biāo)，并通過(guò)仿真驗(yàn)證控制器的性能.

1 模型與問(wèn)題描述

1.1 模型描述

圖1為文獻(xiàn)[4-5]采用的纜繩懸架結(jié)構(gòu)示意圖，Deprez和Anthonis等人首先針對(duì)纜繩懸架結(jié)構(gòu)進(jìn)行了拉格朗日方程建模，得出了該結(jié)構(gòu)傳遞函數(shù)的基本結(jié)構(gòu)，之后通過(guò)頻率響應(yīng)函數(shù)法求出了該傳遞函數(shù)中相應(yīng)的各個(gè)參數(shù)，最終得到的傳遞函數(shù)為

文獻(xiàn)[5]給出了圖1結(jié)構(gòu)中電機(jī)的傳遞函數(shù)，即

圖1 纜繩懸架結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic diagram of cable suspension structure

由于在建模過(guò)程中實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)不一定完全精確，從而使該傳遞函數(shù)的各項(xiàng)系數(shù)難免存在誤差.文獻(xiàn)[4-5]中的噴桿與電機(jī)的傳遞函數(shù)相乘后所得模型只描述了系統(tǒng)外部控制信號(hào)與噴桿轉(zhuǎn)角之間的關(guān)系，存在一定的局限性，導(dǎo)致能夠應(yīng)用在該模型上的控制方法相對(duì)較少.而狀態(tài)空間模型可以很好地反映出系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)及狀態(tài)之間的關(guān)系，正好彌補(bǔ)了上述局限.本文將上述纜繩懸架的傳遞函數(shù)與電機(jī)的傳遞函數(shù)相乘并轉(zhuǎn)化為狀態(tài)方程，得到了狀態(tài)空間模型，其表達(dá)式為

(1)

考慮到系統(tǒng)模型存在不確定性，將式(1)轉(zhuǎn)換為

(2)

1.2 問(wèn)題描述

為了盡可能加快系統(tǒng)狀態(tài)變量的響應(yīng)速度，減小誤差，并且兼顧系統(tǒng)的輸入能量，給出二次型性能指標(biāo)，其表達(dá)式為

(3)

式中，Q和R為給定的對(duì)稱(chēng)正定矩陣.

針對(duì)系統(tǒng)(2)設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制器，可得

u(t)=Kx(t)

(4)

2 魯棒保性能控制器設(shè)計(jì)

定義1當(dāng)w(t)=0時(shí)，如果存在一對(duì)稱(chēng)正定矩陣P，對(duì)于所有的不確定性，使得二次型Lyapunov函數(shù)V(x，t)對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)滿足

成立，則系統(tǒng)(2)為二次穩(wěn)定的.

引理1[9]對(duì)于任意具有適當(dāng)維數(shù)的矩陣D、F(t)、E，且F(t)滿足FT(t)F(t)≤I，則對(duì)任意的ε>0，DF(t)E+ETFT(t)DT≤εDDT+ε-1ETE.

本文給出在控制器(4)作用下，存在不確定性的系統(tǒng)(2)二次穩(wěn)定，且滿足性能指標(biāo)式(3)的條件.

定理1對(duì)于給定的系統(tǒng)(2)，如果存在正定對(duì)稱(chēng)矩陣P、矩陣K和標(biāo)量ε>0，使得

(5)

成立，則當(dāng)w(t)=0時(shí)，系統(tǒng)(2)在控制器(4)的作用下是二次穩(wěn)定的.

證明：將控制器(4)代入系統(tǒng)(2)中可得

選取Lyapunov函數(shù)，即

V(x，t)=xTPx

則

xT[(A+BK)TP+P(A+BK)+

(MF(t)Na+MF(t)NbK)TP+

P(MF(t)Na+MF(t)NbK)]x

令

L=(A+BK)TP+P(A+BK)+

(MF(t)Na+MF(t)NbK)TP+

P(MF(t)Na+MF(t)NbK)

根據(jù)引理1可知

L≤(A+BK)TP+P(A+BK)+εPMMTP+

ε-1(Na+NbK)T(Na+NbK)

令

S=(A+BK)TP+P(A+BK)+εPMMTP+

ε-1(Na+NbK)T(Na+NbK)+Q+

KTRK

則

(6)

當(dāng)S<0時(shí)，即矩陣不等式(5)成立時(shí)，系統(tǒng)滿足定義1，則閉環(huán)系統(tǒng)是二次穩(wěn)定的，定理1得證.

定理2對(duì)于給定的系統(tǒng)(2)，如果存在正定對(duì)稱(chēng)矩陣P、矩陣K、標(biāo)量ε>0和標(biāo)量γ>0，使得

(7)

成立，則系統(tǒng)(2)在控制器(4)作用下滿足H∞性能約束.

考慮性能指標(biāo)，即

則

V(x，t))dt

xT(t)x(t)-γ2wT(t)w(t)+xTSx=

令

定理3對(duì)于給定的系統(tǒng)(2)，如果存在正定對(duì)稱(chēng)矩陣Z、矩陣D、標(biāo)量ε>0和標(biāo)量γ>0，使得

(8)

成立，則系統(tǒng)(2)在控制器(4)作用下滿足性能指標(biāo)(3).

證明：根據(jù)定理1可知，系統(tǒng)(2)在控制器(4)作用下滿足式(6)，即

(9)

將式(9)兩邊對(duì)時(shí)間t從0～∞積分，并根據(jù)系統(tǒng)的二次穩(wěn)定性可得

即性能指標(biāo)的上界轉(zhuǎn)化為正定對(duì)稱(chēng)矩陣P的跡.

將矩陣不等式(7)分別左乘和右乘矩陣diag(P-1，I，I，I，I，I)，并記Z=P-1，D=KP-1，可得線性矩陣不等式(8)，定理3得證.使用Matlab中的LMI工具箱進(jìn)行求解，控制器由式(4)轉(zhuǎn)化為

(10)

3 系統(tǒng)仿真

為了驗(yàn)證控制器(10)對(duì)噴桿系統(tǒng)(2)的有效性，取不確定項(xiàng)ΔA與ΔB中的未知參數(shù)為

取給定的對(duì)稱(chēng)正定矩陣Q與R為

取標(biāo)量參數(shù)ε=0.000 2，γ=0.5.應(yīng)用Matlab中的LMI工具箱解線性矩陣不等式(8)，可得

D=[-0.180 1，0.005 4，-0.000 2，-0.000 4]

根據(jù)Z=P-1可知

根據(jù)矩陣P的特征值大于零可知，矩陣P為正定對(duì)稱(chēng)矩陣.根據(jù)D=KP-1可知，控制器的參數(shù)矩陣為

K=[-0.970 4，-1.607 6，-0.993 9，-1.045]

由圖2～7可以看出，在角度相同、角速度不同的三種情況下，對(duì)比曲線即使未考慮系統(tǒng)存在的不確定性，其響應(yīng)速度仍然較慢且超調(diào)量較大，而且噴桿角度或多或少存在一定的穩(wěn)態(tài)誤差，噴桿最終無(wú)法回到與地面相平行的位置.而魯棒保性能控制器作用下的響應(yīng)曲線，雖然考慮了系統(tǒng)存在的不確定性和外部擾動(dòng)，但無(wú)論是角度還是角速度，其響應(yīng)速度和超調(diào)量均明顯優(yōu)于對(duì)比曲線，這表明魯棒保性能控制器對(duì)噴桿有害振動(dòng)的抑制效果非常明顯，且在三種情況下噴桿角度的穩(wěn)態(tài)誤差均小于0.05 rad，基本平行于地面，遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于對(duì)比曲線的穩(wěn)態(tài)誤差.

圖2 情況1)下角度隨時(shí)間變化曲線Fig.2 Angle changing with time in case of No.1

圖3 情況1)下角速度隨時(shí)間變化曲線Fig.3 Angle velocity changing with time in case of No.1

圖4 情況2)下角度隨時(shí)間變化曲線Fig.4 Angle changing with time in case of No.2

圖5 情況2)下角速度隨時(shí)間變化曲線Fig.5 Angle velocity changing with time in case of No.2

圖6 情況3)下角度隨時(shí)間變化曲線Fig.6 Angle changing with time in case of No.3

圖7 情況3)下角速度隨時(shí)間變化曲線Fig.7 Angle velocity changing with time in case of No.3

4 結(jié) 論

本文將魯棒保性能控制理論與H∞控制理論引入到植保機(jī)噴桿的平衡控制中，并且在模型中考慮了不確定性和外部擾動(dòng)，得出了既能快速抑制噴桿有害振動(dòng)，又能使系統(tǒng)滿足給定性能約束和性能指標(biāo)的魯棒保性能控制器.分別在三種不同的情況下對(duì)該控制器的有效性進(jìn)行了驗(yàn)證，仿真結(jié)果表明，當(dāng)植保機(jī)噴桿處于振動(dòng)狀態(tài)時(shí)，本文設(shè)計(jì)的控制器可使噴桿快速回到平行于地面的狀態(tài)，有效抑制噴桿的有害振動(dòng).