張喬夫，何文明

（嶺南師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，湛江524048）

0 引言

股票價格等金融時間序列受貨幣政策、公司盈利能力、突發(fā)事件和群體博弈心理等諸多因素影響，總體近似于隨機波動，部分時間又有顯著的羊群效應(yīng)。挖掘金融時間序列相似性，可在量化交易中取得超額收益[1]。

簡單移動平均（Simple Moving Average，SMA）是等權(quán)重的，周期較短時所得序列不夠光滑。指數(shù)移動平均（Exponential Moving Average，EMA）通過對時間較遠的數(shù)據(jù)賦予較小的權(quán)重，對較近的樣本賦予較大的權(quán)重，從而在平滑原始時間序列的同時保留重要信息[2]。EMA 是 MACD（Moving Average Convergence Divergence）和TRIX（Triple Exponential Moving Average）等技術(shù)指標的基礎(chǔ)。MACD 相關(guān)交易策略已有較多成果[3]，而TRIX 的研究相對較少。TRIX 連續(xù)使用三次EMA，因此比較光滑，便于求導(dǎo)（價格上漲速度）。

在計算序列相似性時，經(jīng)典的Euclid 距離難以處理平移誤差。動態(tài)時間彎曲（Dynamic Time Warping，DTW）容許時間軸上的輕微扭曲，已成功應(yīng)用于：手勢識別[4]和語音識別[5]等領(lǐng)域。DTW 可以比較非等長序列，并轉(zhuǎn)化為動態(tài)規(guī)劃問題精確求解。原始算法存在兩個問題：畸變可能較大，搜索空間大導(dǎo)致處理大數(shù)據(jù)時速度較慢。使用Keogh 下界[6]可以限制搜索范圍并顯著提高運算速度，此方法是精確無損的。其他加速方法還有：分片線性逼近[7]、自適應(yīng)分段逼近[8]、主成分分析[9]和小波變換[10]等。其主要思想是對數(shù)據(jù)進行某種擬合，犧牲少量精度，降低運算復(fù)雜度。

本文使用了導(dǎo)數(shù)動態(tài)時間彎曲（Derivative Dynamic Time Warping，DDTW）[7]和 加 權(quán) 動 態(tài) 時 間 彎 曲（Weighted Dynamic Time Warping，WDTW）[11]。距離中包含導(dǎo)數(shù)信息，近似于要求兩個序列的導(dǎo)數(shù)也比較接近，因此可以減輕彎曲路徑的畸變。時間較近的數(shù)據(jù)對預(yù)測影響更大，因此對時間加權(quán)也是一種正則化方法。

K 最近鄰（k-Nearest Neighbor，KNN）是模式識別中的一種經(jīng)典算法。某些情況下，距離加權(quán)KNN 優(yōu)于等權(quán)重的KNN[12]。

本文主要內(nèi)容如下：

（1）使用三重指數(shù)平滑（TRIX 周期=10）對金融時間序列進行去噪。

（2）識別平滑后序列的高低點，計算上漲（下跌）周期長度。初步選出平均盈利較高的樣本，同時大幅壓縮樣本量。

（3）計算每個樣本與高盈利樣本之間的DTW 距離。距離較近時買入，TRIX 上漲周期結(jié)束時賣出。

（4）分別對原始序列和平滑序列計算零階到二階導(dǎo)數(shù)，根據(jù)時間先后賦予不同權(quán)重。

（5）最后比較了平滑次數(shù)、KNN 權(quán)重和樣本長度對收益的影響。

1 算法實現(xiàn)

為了降低數(shù)據(jù)噪聲，首先給出EMA 和TRIX 算法，利用TRIX 識別漲跌周期。

金融時間序列中最常用的預(yù)處理方法是移動平均，但均線序列拐點較多，不利于識別周期。均線頻繁的變動方向，意味著價格沒有明顯的趨勢。此時無論做多還是做空，收益較小，甚至可能虧損。為便于機器自動識別周期，本文將使用TRIX 指標。

簡而言之，EMA 是加權(quán)平均一次，TRIX 是EMA三次再求導(dǎo)。文末的實驗結(jié)果將說明平滑次數(shù)越多，所得交易策略的平均收益越高。

算法1 EMA 算法

輸入：時間序列{xi}，周期常數(shù)P。

輸出：指數(shù)平滑后的等長度序列{emai}。

for 0<=i

emai=nan;

emaP-1=mean（x0，…xP-1）;

for i>=P

emai=a*xi+（1-a）*emai-1;

其中a=2/（P+1）。

前P-1 個EMA 值可以用簡單平均代替，此處和著名技術(shù)指標庫TA-Lib 的算法保持一致。TA-Lib 中也包含了TRIX 函數(shù)，然而為了說明平滑次數(shù)的作用，本文也對TRIX 的中間狀態(tài)值進行了DTW 計算。

算法2 TRIX 算法

輸入：時間序列{xi}，周期常數(shù)P。

輸出：3 個等 長 度的 平 滑 序列{ema0i}，{ema1i}，{ema2i}和1 個導(dǎo)數(shù)序列{trixi}。

{ema0i}=EMA（{xi}，P）;

{ema1i}=EMA（{ema0i}，P）;

{ema2i}=EMA（{ema1i}，P）;

for i>3*P+1

trixi=ema2i/ema2i-1-1;

如前所述，我們將識別出TRIX 序列的拐點，僅在拐點處交易。這樣可以大幅減少判斷次數(shù)，減輕后面DTW 的計算負擔(dān)。

算法3 TRIX 周期交易算法

輸入：時間序列{xi}，周期常數(shù)P；

輸出：標記當(dāng)前點是否屬于有效局部極值，是否滿足買入賣出條件，滿足條件時記錄收益率。

計算TRIX 序列{trixi}；

if（trixi-1>trixi-2and trixi-1>trixi）

i-1 標記為局部高點high_loc；

if（trixi-1

i-1 標記為局部低點low_loc；

if（當(dāng)前持股數(shù)量>0 and trixi

賣出，持股數(shù)量=0，計算本次交易盈虧；

if（當(dāng)前持股數(shù)量=0 and i-1 是局部低點and 2

10 < high_loc- pre_low_loc and 10 < pre_low_locpre_high_loc）

買入，持股數(shù)量=1；

其中pre_low_loc 指{low_loc}序列中l(wèi)ow_loc=（i-1）之前的那一個低點；pre_high_loc 類似。

從幾何角度理解，高低點依次出現(xiàn)：pre_high_loc

DTW 算法在各類文獻中已經(jīng)描述較多。相比標準流程，本文有三處簡化：

（1）只計算距離，不存儲彎曲路徑；

（2）限制最大彎曲，即max|i-j|<=round（0.1*數(shù)據(jù)長度）；

（3）只計算兩個等長度序列的DTW 距離。

簡化會帶來一些誤差（非隨機），但量化交易對精度要求不高，允許少量誤判（中長期策略的勝率一般小于70%）。下文的模擬收益也可說明簡化的合理性。因為要在收盤前1 分鐘內(nèi)調(diào)用幾萬次DTW 函數(shù)，簡化后的運算速度才能滿足實戰(zhàn)要求。

算法4 Weighted Derivative 距離算法

輸入：時間序列{xi}，{yj}。

輸出：任意兩點xi和yj的距離。

一階差分dx={0}，二階差分d2x={0}；

for i>=1

dxi=xi-xi-1；

for i>=1

d2xi=dxi-dxi-1；

一階差分dy 和二階差分d2y 類似可得；

weight（i，j）=1 or（i+j）or sqrt（i+j）；

零階距離=weight（i，j）*|xi-yj|；

一階距離=weight（i，j）*sqrt（|xi-yj|2+|dxi-dyj|2）；

二階距離=weight（i，j）* sqrt（|xi- yj|2+ |dxi- dyj|2+|d2xi-d2yj|2）。

權(quán)重函數(shù)要保證i 和j 互換之后不變，即weight（i，j）=weight（j，i）。通常距離越近的數(shù)據(jù)，對當(dāng)前交易決策的影響越大。故選用的權(quán)重函數(shù)是單調(diào)遞增的。

文末數(shù)值實驗將分別針對原始序列、一次EMA、二次EMA、三次EMA 和TRIX 總計5 種序列計算DTW 距離。為了方便并行處理，將時間序列填充為矩陣，每行代表一個序列，最后一列表示各行對應(yīng)的買點。由于金融時間序列的特殊性，序列中的值必須可在交易之前觀察到。另設(shè)一個向量存儲每行對應(yīng)的收益率。

定義距離之后，就可以計算與歷史上全體高收益樣本之間的相似性。每個樣本與多個參考樣本比較，產(chǎn)生多個距離，需要合成為單一評價指標。此處采用三種方法：中位數(shù)（Median）、收益率加權(quán)平均（WKNN）和最小值（1NN）。

算法5 加權(quán)KNN 算法

輸入：時間序列矩陣X，每行對應(yīng)收益率earn，KNN 的K 值。

輸出：每行序列是否值得買入。

對時間上已發(fā)生序列的收益率進行排序，取最大的K 個樣本；

計算當(dāng)前序列到這K 個樣本的DTW 距離；

每個高收益樣本的修正權(quán)重=min（max（1/earn，0），1）；

當(dāng)前序列的綜合打分=sumK（權(quán)重*到第k 個樣本的DTW 距離）；

綜合打分小于20%分位值時，買入。

第k 個樣本的收益率越高且DTW 距離越小，相似度越高，權(quán)重應(yīng)該越大，故收益率取倒數(shù)。

2 模擬交易結(jié)果

最近十年（2009-01-01 至2019-07-09）A 股每日收盤價數(shù)據(jù)總量約為620 萬股*天。使用算法3，得到交易樣本數(shù)18055，平均收益2.02%。盈虧比約為1.9，勝率僅為40%。較低的準確率從側(cè)面說明，在金融時間序列中使用動態(tài)時間彎曲時，采用有少量誤差的簡化是可以接受的。

由于運算速度限制，后續(xù)數(shù)值實驗均在此數(shù)據(jù)集上進行。為方便比較，KNN 中的K 統(tǒng)一等于10。

實驗結(jié)論一：指數(shù)平滑次數(shù)與平均收益率正相關(guān)。原因可能是越平滑，噪聲越小，DTW 的畸變越小。

令DTW 中時間權(quán)重weight（i，j）=1，不計算DTW的導(dǎo)數(shù)，觀察序列長度=50。表中收益率均代表18055*20%=3611 個樣本。

表1 指數(shù)平滑次數(shù)與收益率關(guān)系

實驗結(jié)論二：時間序列長度在50 附近時，平均收益率最高。

取weight（i，j）=1，不計算DTW 的導(dǎo)數(shù)。由表1 可知，TRIX+WKNN 收益顯著高于其他情況。故表2 僅羅列了TRIX 的表現(xiàn)。

表2 時間序列長度與收益率關(guān)系

實驗結(jié)論三：權(quán)重等于1 的短序列與權(quán)重逐漸增加的長序列相比，平均收益率類似。因為權(quán)重函數(shù)（i+j）和sqrt（i+j）在序列開頭約等于零，這一部分數(shù)據(jù)作用較小。對于一般的DTW 算法，縮短序列長度可顯著加快運算速度。此結(jié)論比較符合直覺，故不再羅列相關(guān)數(shù)據(jù)。

實驗結(jié)論四：DTW 距離中增加導(dǎo)數(shù)對收益貢獻不大。原因可能在于：①TRIX 自身包含了導(dǎo)數(shù)，②本文采用簡化的DTW，嚴格限制了max|i-j|

令觀察長度=50，只考慮TRIX 的DTW 距離，可得表3。

表3 求導(dǎo)次數(shù)與收益率關(guān)系

3 結(jié)語

本文組合了三重指數(shù)平滑、漲跌周期識別、動態(tài)時間彎曲和加權(quán)KNN 等幾種技巧，充分挖掘金融時間序列的歷史相似性，提高了平均收益率。

下一步可嘗試以下幾個改進方案：

（1）使用小波變換、卡爾曼濾波等代替三重指數(shù)平滑；

（2）跳過周期識別這一步，直接以歷史上全體高收益樣本作為模板來判斷是否買入，建立典型樣本庫；

（3）使用深度學(xué)習(xí)模擬動態(tài)時間彎曲，加快計算速度，同時挖掘更多隱含特征；

（4）金融時間序列具有多重分形特征，日線樣本與分鐘樣本具有相似性，進行跨時間尺度的距離計算；

（5）增加持倉量、成交量和概念板塊等指標，使用期貨和外匯等其他市場數(shù)據(jù)驗證。