蓋炳良，滕克難，張曉瑜，王 ，高 松，劉 星

(1.海軍航空大學(xué)，山東 煙臺 264001；2.中國人民解放軍32317部隊(duì)，烏魯木齊 830001)

0 引 言

MEMS(Micro-Electro-Mechanical Systems)加速度計(jì)是高精度的機(jī)電一體化產(chǎn)品，是導(dǎo)彈慣導(dǎo)系統(tǒng)的關(guān)鍵部件，對戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈智能化、微型化起到重要的作用[1]。加速度計(jì)的可靠性與穩(wěn)定性關(guān)乎導(dǎo)彈的作戰(zhàn)使用效能，因而掌握其貯存可靠性對導(dǎo)彈可靠性意義重大。在產(chǎn)品總體可靠性評估中，考慮個體差異性，能更科學(xué)、客觀、全面地反映產(chǎn)品總體的實(shí)際情況，為批次產(chǎn)品的貯存延壽提供更為準(zhǔn)確的決策信息。在產(chǎn)品個體剩余壽命預(yù)測中，有效融合總體信息，能更準(zhǔn)確地掌握個體壽命信息，這對于有效開展預(yù)防性維修、視情維修等工作至關(guān)重要。

加速度計(jì)等產(chǎn)品通常隨慣導(dǎo)產(chǎn)品整機(jī)單獨(dú)貯存，根據(jù)任務(wù)情況使用，在貯存-轉(zhuǎn)運(yùn)-值班等任務(wù)中個體差異性明顯，這種差異性往往反映在性能檢測數(shù)據(jù)中?；谛阅軝z測數(shù)據(jù)的加速度計(jì)可靠性評估中，通常選取標(biāo)度因數(shù)[2-3]或者零位電壓[4]作為壽命表征參數(shù)。由于MEMS加速度計(jì)的失效機(jī)理比較復(fù)雜，通過失效物理的手段建立退化失效模型比較困難，文獻(xiàn)[2-8]都采用基于數(shù)據(jù)擬合的方法進(jìn)行可靠性評估。

1 基于一元性能檢測數(shù)據(jù)的可靠性評估

在獲取一元性能檢測數(shù)據(jù)后，基于一元性能檢測數(shù)據(jù)的可靠性評估內(nèi)容主要包括性能退化建模、參數(shù)估計(jì)、模型選擇以及可靠性指標(biāo)計(jì)算(總體平均壽命、總體可靠壽命、個體剩余壽命等)。

性能退化建模即構(gòu)建考慮隨機(jī)影響的隨機(jī)過程模型庫。非單調(diào)退化產(chǎn)品適用Wiener過程模型庫，而單調(diào)退化產(chǎn)品適用Wiener過程模型庫、Gamma過程模型庫和IG(Inverse Gaussian)過程模型庫。

模型選擇是逐一對多個模型建模并進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，然后采用QQ圖、隨機(jī)參數(shù)箱線圖和DIC值等方法，對通過模型驗(yàn)證的待選模型綜合分析后擇優(yōu)確定相對最優(yōu)模型。

可靠性評估主要指裝備總體的可靠性評估，通過可靠度函數(shù)計(jì)算裝備平均壽命、可靠壽命等指標(biāo)，為批次裝備的貯存延壽提供依據(jù)。

2 隨機(jī)過程模型

本文從產(chǎn)品退化過程的均值和方差角度，將考慮隨機(jī)影響的3類隨機(jī)過程模型標(biāo)識如下：

RD模型 (Random Drift Model)：不同產(chǎn)品具有不同的退化過程均值，而方差都相同。

RV模型 (Random Volatility Model)：不同產(chǎn)品具有相同的退化過程均值，而方差不相同。

RDV模型(Random Drift-Volatility Model)：不同產(chǎn)品具有不同的退化過程均值和方差。

另外，采用SM標(biāo)識隨機(jī)過程基本模型(Simple Model)，即不同產(chǎn)品都具有相同的退化過程均值和方差。

2.1 Wiener過程模型

文獻(xiàn)[9]給出了4類Wiener過程模型，其可靠度函數(shù)分別為

SM模型：X(t)=μΛ(t)+σB(Λ(t))。

(1)

式中：μ為漂移參數(shù)；σ為擴(kuò)散參數(shù)；B(·)為標(biāo)準(zhǔn)Brown運(yùn)動函數(shù)；Λ(t)為時間函數(shù)，Λ(0)=0；Φ(·)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)。

(2)

RV模型：X(t)=μΛ(t)+σB(Λ(t))，?=σ-2～Gamma(aσ,bσ)。

(3)

RDV模型：X(t)=μΛ(t)+σB(Λ(t)),?=σ-2～

(4)

2.2 Gamma過程模型

借鑒文獻(xiàn)[10]所用模型，構(gòu)建了Gamma過程模型。

SM模型：X(t)服從Gamma過程，即滿足：

(1)X(0)=0；

(2)對任意0≤t1

(3)獨(dú)立增量ΔX(t)服從Gamma分布ΔX(t)～

Gamma(λΔΛ(t),ξ)，ΔX(t)=X(t+Δt)-X(t)，ΔΛ(t)=Λ(t+Δt)-Λ(t)。Λ(t)為時間函數(shù)，Λ(0)=0；λ(λ>0)為形狀參數(shù)；ξ(ξ>0)為尺度參數(shù)。

產(chǎn)品壽命T定義為X(t)首次達(dá)到閾值D的失效時間，則產(chǎn)品可靠度函數(shù)為

(5)

gξ(ξ|aξ,bξ)dξ=

(6)

gξ(ξ|aξ,bξ)dξ=

(7)

(8)

式中：F2λΛ(t),2aξ(·)為自由度為2λΛ(t),2aξ時的F分布函數(shù)。

2.3 IG過程模型

借鑒文獻(xiàn)[11]模型，構(gòu)建IG過程模型。

SM模型：X(t)服從IG過程，即滿足：

(1)X(0)=0；

(2)對任意0≤t1

定義產(chǎn)品壽命T為X(t)首次達(dá)到閾值D時，可得可靠度函數(shù)[11]：

(9)

gκ(κ|aκ,bκ)dκ=

(10)

式中：φ(·)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布概率密度函數(shù)。

gκ(κ|aκ,bκ)dκ=

(11)

(12)

3 貝葉斯參數(shù)估計(jì)和模型選擇

3.1 參數(shù)估計(jì)

Wiener RD模型中X的似然函數(shù)描述如下：

(13)

獲取固定參數(shù)αF先驗(yàn)分布π(αF)和超參數(shù)αH先驗(yàn)分布π(αH)后，就可融合先驗(yàn)分布和似然函數(shù)，從而得到參數(shù)的后驗(yàn)分布p(αF,αR,αH|X)∝π(αF)π(αH)L(X,αR|αF,αH)。

后驗(yàn)分布的求解采用基于MCMC的后驗(yàn)分布抽樣的方法實(shí)現(xiàn)參數(shù)估計(jì)，具體實(shí)施則借助于OpenBUGS軟件編程實(shí)現(xiàn)。

3.2 模型選擇

性能退化過程模型驗(yàn)證通?？筛鶕?jù)隨機(jī)過程統(tǒng)計(jì)特性進(jìn)行驗(yàn)證。

Wiener SM過程需滿足如下分布：

(14)

Gamma SM過程需近似滿足如下分布[12]：

(15)

IG SM過程需滿足如下分布[12]：

(16)

在獲取參數(shù)估計(jì)值后，可以采用KS檢驗(yàn)(Kolmogorov-Smirnov Test)對Wiener過程模型和Gamma過程模型進(jìn)行驗(yàn)證，采用卡方檢驗(yàn)對IG過程模型進(jìn)行驗(yàn)證。對隨機(jī)影響模型進(jìn)行驗(yàn)證時，式(14)～(16)的參數(shù)值應(yīng)取各樣本的隨機(jī)參數(shù)估計(jì)值。模型選擇的定量方法，如常用的DIC值,DIC值定義如下：

(17)

采用圖形方法選擇是常用的比較直觀的方法，一種方法是常用的QQ圖，此外，可以采用隨機(jī)參數(shù)的箱線圖。通過比較不同樣本的隨機(jī)參數(shù)箱線圖，就可直觀判斷出該隨機(jī)參數(shù)是否具有個體差異性，進(jìn)而為模型選擇提供依據(jù)。

4 可靠性評估

面向貯存延壽的可靠性評估主要針對批次產(chǎn)品的貯存壽命、可靠壽命進(jìn)行評估，從而對產(chǎn)品的貯存延壽、甚至裝備更新?lián)Q代及裝備部署提供決策依據(jù)。經(jīng)過貝葉斯參數(shù)估計(jì)后，抽樣生成了包含固定參數(shù)、超參數(shù)和隨機(jī)參數(shù)的后驗(yàn)分布樣本。產(chǎn)品總體可靠性評估時，利用固定參數(shù)和超參數(shù)的后驗(yàn)分布均值建立可靠度函數(shù)，而模型隨機(jī)參數(shù)的后驗(yàn)分布抽樣樣本則在模型選擇時作為參數(shù)是否具有隨機(jī)性的判斷依據(jù)。產(chǎn)品總體平均壽命為

(18)

以Wiener RV模型為例，說明求取平均壽命可靠性指標(biāo)置信區(qū)間的算法。具體步驟如下：

(1)按照RV模型生成單個樣本的仿真退化數(shù)據(jù)：

(19)

初始值Λ0=0，X0=0。具體的檢測時間間隔Δt=tj-tj-1可根據(jù)產(chǎn)品的平均壽命值合理確定；

(2)計(jì)算Xj=Xj-1+ΔXj；

(3)判斷Xj與D大小。當(dāng)Xj

(4)重復(fù)步驟(1)～(3)N次(N>2 000)，得到N個樣本的壽命值T1，T2，…，TN；

(5)將N個樣本壽命值T1，T2，…，TN按升序排列，表示為T(1)，T(2)，…，T(N)；

工程中同樣關(guān)注產(chǎn)品的可靠壽命TR*(可靠度值為R*)，如關(guān)注高可靠性產(chǎn)品可靠度值降至0.9時的壽命值。求解可靠壽命TR*：

RWRV(TR*)-R*=0

(20)

式(16)可采用Matlab 軟件fzero函數(shù)求解。在平均貯存壽命置信區(qū)間算法基礎(chǔ)上，可進(jìn)一步計(jì)算出可靠壽命TR*的置信區(qū)間。算法步驟如下：

(1)執(zhí)行求取平均壽命置信區(qū)間的算法一次，得到一組T(1)，T(2)，…，T(N)；

(2)計(jì)算n=N×(1-R*)，則T(n)是TR*的一個樣本；

5 實(shí)例驗(yàn)證

文獻(xiàn)[4]對某MEMS加速度計(jì)的零位電壓輸出值進(jìn)行了定期測量，發(fā)現(xiàn)在長期貯存過程中電壓輸出值有逐漸增大的趨勢。將t時刻零位電壓測量值相當(dāng)于初始時刻t=0測量值的百分比增量作為性能退化指標(biāo)，當(dāng)百分比增量到10%時，MEMS加速度計(jì)發(fā)生退化失效，即失效閾值D=10。

5.1 參數(shù)估計(jì)

樣本性能檢測數(shù)據(jù)呈單調(diào)增長，Wiener過程、Gamma過程和IG過程模型庫中的模型都能適用。采用第2節(jié)方法進(jìn)行建模，采用第3節(jié)方法進(jìn)行貝葉斯參數(shù)估計(jì),先驗(yàn)分布采用均勻分布,參數(shù)估計(jì)結(jié)果如表1～3所示。

表1 Wiener過程模型參數(shù)估計(jì)值Table 1 Parameter estimation values of Wiener process models

5.2 模型選擇

首先進(jìn)行模型驗(yàn)證。模型驗(yàn)證既檢驗(yàn)單個樣本的數(shù)據(jù)，也檢驗(yàn)所有樣本的數(shù)據(jù)。通過模型檢驗(yàn)，結(jié)果如下：

(1)Wiener過程模型庫4個模型不論是單個樣本還是所有樣本的總體都接受標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。

(2)Gamma過程模型庫單個樣本檢驗(yàn)中，第6個樣本拒絕SM，RD，RV模型，而RDV模型所有樣本都接受標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。在樣本總體檢驗(yàn)中，Gamma RD模型沒有通過標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布檢驗(yàn)。

(3)IG過程模型庫中，4個模型都拒絕了樣本總體的假設(shè)檢驗(yàn)。

QQ圖也能較好地反映出模型擬合情況。以Gamma過程模型為例進(jìn)行說明。圖1給出了Gamma過程模型庫樣本總體的QQ圖，其中 RD模型數(shù)據(jù)明顯偏離直線，而其他模型擬合較好。說明Gamma RD模型沒有通過標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布檢驗(yàn)。

因而，Wiener過程4個模型以及Gamma SM，RV和RDV模型是待選模型(DIC值分別是-39.75，-38.34,-45.98,-37.82,-42.07,-42.64,-32.77)。進(jìn)一步分析7個待選模型的隨機(jī)參數(shù)，直觀判斷是否具有個體差異性，并結(jié)合DIC值確定相對最優(yōu)模型。圖2～4給出了隨機(jī)參數(shù)的箱線圖。

表2 Gamma過程模型參數(shù)估計(jì)值Table 2 Parameter estimation values of Gamma process models

表3 IG過程模型參數(shù)估計(jì)值Table 3 Parameter estimation values of IG process models

圖1 Gamma 過程模型的QQ圖Fig.1 QQ plot of Gamma process models

圖2 Wiener過程模型箱線圖Fig.2 Boxplot of Wiener process models

圖2中，隨機(jī)參數(shù)μ和σ的波動性都不是特別明顯，但μ的波動性相比于σ更小。不論是RD模型還是RDV模型，8個樣本μ的均值連線趨于水平，而σ的均值連線呈現(xiàn)出了一定的上下波動性。從DIC值分析，RV模型的DIC值最小。因而，Wiener模型中RV模型擬合相對較好。

圖3 Gamma過程模型箱線圖Fig.3 Boxplot of Gamma process models

圖3中，RD和RDV模型具有個體差異性，而RV模型個體差異不明顯。Gamma RD模型沒有通過模型驗(yàn)證，因而RDV模型是Gamma過程模型中擬合相對較好的模型。RDV模型是Gamma過程模型中DIC值相對最大的模型，而綜合分析卻是相對較好的模型?？梢?，僅以DIC值為選擇標(biāo)準(zhǔn)將造成模型誤判。

圖4中，箱線圖沒有波動，表明不具有個體差異性，3個考慮隨機(jī)影響的IG模型不適合該性能退化數(shù)據(jù)的建模，這從IG SM模型的DIC值最小也得到了驗(yàn)證。當(dāng)然，從模型驗(yàn)證可知，SM模型也并不是合適的模型，因而4個IG過程模型不適合此組性能檢測數(shù)據(jù)的建模。

圖4 IG過程模型箱線圖Fig.4 Boxplot of IG process models

綜上，Wiener RV模型或者Gamma RDV模型是擬合相對較好的模型。選擇DIC值相對較小的模型，則Wiener RV模型是最終選擇的模型。

5.3 可靠性評估

確定采用Wiener RV模型后，將表1中RV模型參數(shù)估計(jì)值代入式(7)就可得到該型MEMS加速度計(jì)的可靠度函數(shù):

(21)

可靠度曲線如圖5所示。圖中同時給出了Gamma RDV模型的可靠度曲線RGRDV(t)和文獻(xiàn)[4]計(jì)算得到的可靠度曲線Ro(t):

(22)

(23)

從圖5可知，可靠度曲線相差較大，不經(jīng)過模型選擇，會發(fā)生較大的誤差。由式(18)可求得產(chǎn)品總體的平均壽命為49 754.8 h，可靠壽命T0.9為43 703.7 h，90%置信區(qū)間分別為[46 000,60 000]和[43 200,45 000]。

圖5 可靠度曲線Fig.5 The reliability curves

6 結(jié) 論

本文研究了基于一元性能檢測數(shù)據(jù)的MEMS加速度計(jì)的可靠性評估。主要研究結(jié)論如下：

(1)基于一元性能檢測數(shù)據(jù)的可靠性評估，通過隨機(jī)過程模型庫建模、貝葉斯參數(shù)估計(jì)和模型選擇，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)產(chǎn)品總體可靠性評估，為利用一元性能檢測數(shù)據(jù)進(jìn)行可靠性評估提供了行之有效的技術(shù)方案。MEMS加速度計(jì)的實(shí)例分析表明，該技術(shù)框架為解決機(jī)電部件等彈載退化型產(chǎn)品可靠性評估提供了重要參考。

(2)從性能退化過程的均值和方差是否具有隨機(jī)性角度，構(gòu)建考慮隨機(jī)影響的隨機(jī)過程模型庫是一種可行的建模方案。非單調(diào)性退化產(chǎn)品適用Wiener過程模型庫。單調(diào)性退化產(chǎn)品應(yīng)在Wiener過程模型庫、Gamma過程模型庫和IG過程模型庫中通過模型選擇確定相對最優(yōu)模型，以避免模型的誤判。

(3)貝葉斯參數(shù)估計(jì)和模型選擇是可靠性評估的重要內(nèi)容。通過OpenBUGS軟件實(shí)現(xiàn)基于MCMC方法的后驗(yàn)分布參數(shù)估計(jì)，進(jìn)而在模型驗(yàn)證基礎(chǔ)上，綜合分析QQ圖、隨機(jī)參數(shù)箱線圖和DIC值來確定相對最優(yōu)模型。MEMS加速度計(jì)的實(shí)例分析表明這是一種合理可行的模型選擇方法。