姚 雪 陳學(xué)文 張家偉 都進(jìn)學(xué)

(重慶科技學(xué)院數(shù)理與大數(shù)據(jù)學(xué)院, 重慶 401331)

當(dāng)質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)相互垂直方向的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)的位移是這兩個(gè)振動(dòng)的位移的矢量和。如果兩個(gè)振動(dòng)的頻率具有簡(jiǎn)單的整數(shù)比值的關(guān)系，質(zhì)點(diǎn)的軌道是穩(wěn)定的運(yùn)動(dòng)軌道，這些軌道曲線即李薩如圖形(Lissajous-Figure)。利用李薩如圖形可以測(cè)量?jī)烧译妷合辔徊?、交流電的頻率、交流阻抗特性、音叉頻率以及兩個(gè)相互垂直的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的相位差及頻率等。兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成問(wèn)題，尤其是兩個(gè)相互垂直的不同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)之間的合成問(wèn)題，是機(jī)械振動(dòng)研究的重要內(nèi)容，也是大學(xué)物理教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)部分。在聲速測(cè)量實(shí)驗(yàn)教學(xué)中，為幫助學(xué)生理解相互垂直的不同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成問(wèn)題，掌握李薩如圖形法的原理及其操作技術(shù)，我們借助Mathematica軟件，模擬不同頻率、不同振幅、不同相位差情況下的合振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)情況和軌跡形狀，讓學(xué)生觀察各種情況下的動(dòng)態(tài)李薩如圖形，取得了較好的教學(xué)效果。

1 對(duì)李薩如圖形的動(dòng)態(tài)模擬

Mathematica計(jì)算軟件具有強(qiáng)大的數(shù)值計(jì)算、符號(hào)運(yùn)算和圖像處理功能，其圖形界面友好，輸入簡(jiǎn)單的語(yǔ)句就可以繪制出精美的二維和三維圖形。我們運(yùn)用Mathematica 8.0.4來(lái)繪制李薩如動(dòng)態(tài)圖形。

設(shè)兩個(gè)相互垂直的簡(jiǎn)諧振動(dòng)分別在x軸和y軸上進(jìn)行，位移分別為：

(1)

式中：A1、A2為振幅；ω1、ω2為角頻率；φ1、φ2為初相位；t為時(shí)間。

在Mathematica中，利用Manipulate命令，可得如圖1所示的李薩如圖形。

圖1中，ω1和ω2在1～6 rads的范圍內(nèi)，以0.01 rads的步長(zhǎng)改變；A1和A2在0～1 cm的范圍內(nèi)以0.01 cm的步長(zhǎng)改變；φ1和φ2在0～2步的范圍內(nèi)以0.01 rad的步長(zhǎng)改變。在Mathematica程序中，可以任意設(shè)置A、ω和φ。通過(guò)調(diào)節(jié)桿上的按鈕手動(dòng)調(diào)節(jié)A、ω、φ和t，可以觀察不同的李薩如圖形。點(diǎn)擊?按鈕，可使各變量自動(dòng)增加，相應(yīng)的李薩如圖形會(huì)同時(shí)顯示出來(lái)。確定ω、φ和A后，點(diǎn)擊run按鈕，合振子便從初始位置(圖中實(shí)心原點(diǎn)處)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)。

2 聲速測(cè)量的李薩如圖形法原理

聲速測(cè)量是大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)中的十分重要的實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目。實(shí)驗(yàn)電路如圖2所示，其中，S1和S2分別為超聲波發(fā)射與接收壓電探頭。S1由信號(hào)源供給交流電信號(hào)，由逆壓電效應(yīng)發(fā)出超聲波。S2作為聲波接收器，由正壓電效應(yīng)，將接收到的聲壓轉(zhuǎn)換成電信號(hào)。

圖1 應(yīng)用Mathematica軟件繪制的李薩如圖形

圖2 聲速測(cè)量實(shí)驗(yàn)裝置原理示意圖

需要說(shuō)明的是：首先，在接收器S2端，相對(duì)空氣而言，S2的表面屬于波密媒質(zhì)，應(yīng)始終處于“駐波”節(jié)點(diǎn)。然而，由縱波的性質(zhì)可以證明，振動(dòng)位移處于波節(jié)時(shí)聲壓最大，壓電探頭輸出的電信號(hào)最大。因此，示波器顯示的S2處反射波波形是聲壓波，而不是位移波[1]。其次，接收換能器產(chǎn)生共振時(shí)，存在一定的阻尼吸收，同時(shí)會(huì)有部分透射，因而反射波的振幅往往小于正向波的振幅[2-4]，但不影響測(cè)量結(jié)果的準(zhǔn)確性。

在實(shí)驗(yàn)室測(cè)量空氣中的聲速，常用的方法有3種：時(shí)差法、共振干涉法(駐波法)和相位比較法(李薩如圖形法)。

(1) 時(shí)差法。將調(diào)制的脈沖電信號(hào)加在發(fā)射換能器上，發(fā)出的脈沖波經(jīng)過(guò)時(shí)間t后到達(dá)相距L處的接收器，通過(guò)測(cè)量距離和時(shí)間而計(jì)算得到聲速(u=Lt)。這種方法主要適用于測(cè)量液體中的聲速；在用來(lái)測(cè)量空氣中的聲速時(shí)，較難控制相對(duì)誤差。

共振干涉法和李薩如圖形法都是在連續(xù)波的諧振狀態(tài)下，通過(guò)測(cè)量波長(zhǎng)λ和頻率f而計(jì)算得到聲速(u=λf)。發(fā)生諧振時(shí)，交流電信號(hào)的頻率即為超聲波的諧振頻率f。這兩種方法的主要區(qū)別在于測(cè)量超聲波波長(zhǎng)的方法有所不同。

(2) 共振干涉法。諧振時(shí)，將接收器附近的合振動(dòng)信號(hào)輸入示波器，出現(xiàn)正(或余)弦圖像。通過(guò)移動(dòng)S2，記錄連續(xù)出現(xiàn)最大振幅時(shí)S2的位置來(lái)測(cè)量波長(zhǎng)。最大振幅的確定是由觀察者主觀判斷，因此往往難以準(zhǔn)確地確定最大振幅。

圖3 李薩如圖形的示波器顯示

3 關(guān)于李薩如圖形的動(dòng)態(tài)變化

由于在大學(xué)物理的理論教學(xué)中很少講李薩如圖形，當(dāng)聲速測(cè)量實(shí)驗(yàn)中直接應(yīng)用李薩如圖形時(shí)，學(xué)生往往難以理解李薩如圖形法的原理，不清楚實(shí)驗(yàn)中李薩如圖形對(duì)應(yīng)變化的原因。實(shí)驗(yàn)中為什么會(huì)出現(xiàn)如圖3的李薩如圖形變化呢？我們不妨結(jié)合數(shù)學(xué)式推導(dǎo)一下。實(shí)驗(yàn)中，發(fā)射波和反射波的頻率之比為1 ∶1，經(jīng)過(guò)相應(yīng)的計(jì)算可得合振動(dòng)的軌跡方程：

(2)

都是合振動(dòng)對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)軌跡方程的數(shù)學(xué)圖形。

針對(duì)ω1∶ω2=1∶1的這種特殊情況，用Mathematica動(dòng)態(tài)模擬其李薩如圖形，結(jié)果見(jiàn)圖4。

圖4 李薩如圖形的Mathematica模擬(發(fā)射波和反射波頻率之比為1∶1)

在實(shí)驗(yàn)教學(xué)過(guò)程中，先讓學(xué)生在預(yù)習(xí)時(shí)用Mathematica動(dòng)態(tài)模擬李薩如圖形，補(bǔ)習(xí)理論知識(shí)，理解實(shí)驗(yàn)原理，完成預(yù)習(xí)報(bào)告。然后，在精講原理的同時(shí)進(jìn)行動(dòng)態(tài)李薩如圖形演示，讓學(xué)生結(jié)合實(shí)驗(yàn)操作觀察幾個(gè)特殊狀態(tài)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，使學(xué)生在真正理解測(cè)量原理的基礎(chǔ)上進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)操作就會(huì)變得更簡(jiǎn)單有效。