胡光輝，熊禮陽(yáng)，湯國(guó)安

1. 南京師范大學(xué)地理科學(xué)學(xué)院，江蘇 南京 210023； 2. 南京師范大學(xué)虛擬地理環(huán)境教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 南京 210023； 3. 江蘇省地理信息資源開(kāi)發(fā)與利用協(xié)同創(chuàng)新中心，江蘇 南京 210023

坡向(aspect)是重要的地形因子之一，決定著地表接收的太陽(yáng)能量強(qiáng)度與地表徑流方向，對(duì)于山地生態(tài)具有重要的作用[1-3]。坡向的變化也代表了地表接收能量的改變和坡面形態(tài)的轉(zhuǎn)換。坡向變率(slope of aspect,SOA)的概念即由此提出，指坡面指向的變化程度[4]。坡向變率在地學(xué)中具有極其重要的科學(xué)與實(shí)踐意義。從地貌學(xué)角度來(lái)看，坡面指向的轉(zhuǎn)折映射著不同坡面形態(tài)的轉(zhuǎn)換，并據(jù)此產(chǎn)生眾多地貌特征線，如山脊線，山谷線等[5-6]。從生態(tài)學(xué)角度來(lái)看，坡面指向的變化表征著地面接收太陽(yáng)輻射能量的轉(zhuǎn)換與地表植被的變化，即陰陽(yáng)坡產(chǎn)生的植被生態(tài)變化[7]。此外，風(fēng)積過(guò)程中迎風(fēng)坡與背風(fēng)坡的差異也體現(xiàn)出坡面指向的變化[8]。可見(jiàn)，科學(xué)準(zhǔn)確地計(jì)算坡向變率是地貌學(xué)、生態(tài)學(xué)等眾多學(xué)科相關(guān)研究的重要內(nèi)容。

20世紀(jì)以來(lái)，數(shù)字高程模型(DEM)與數(shù)字地形分析(DTA)的提出與應(yīng)用，為傳統(tǒng)的地學(xué)分析方法帶來(lái)革命性的變化[9-13]。現(xiàn)階段，基于DEM數(shù)據(jù)，一階地形因子能夠較為方便地計(jì)算[14]。但是，坡向變率為二階地形因子，其計(jì)算方法更為復(fù)雜[15]。起初，坡向變率的計(jì)算是參考坡度的計(jì)算方法(對(duì)高程數(shù)值矩陣求偏導(dǎo))，也就是對(duì)坡向數(shù)值矩陣求取偏導(dǎo)數(shù)，即計(jì)算坡向的坡度。據(jù)此，隨著對(duì)坡向變化理解的深入，前人依次提出直接法、正反DEM法、六分法實(shí)現(xiàn)了標(biāo)量條件的坡向變率求解，并取得了廣泛的應(yīng)用[16-19]?？梢?jiàn)，前人對(duì)坡向變率的計(jì)算作了初步的研究，取得了一定的研究成果。但是，坡向變率的計(jì)算是一個(gè)基于坡向數(shù)據(jù)基礎(chǔ)二階地形因子的提取[20-21]。該坡向數(shù)值矩陣與原始的高程數(shù)值矩陣存在本質(zhì)的不同，即高程數(shù)值在很大程度上被看成是一個(gè)沒(méi)有方向特征的常規(guī)數(shù)學(xué)標(biāo)量，標(biāo)量值只有大小關(guān)系，而無(wú)須考慮方向?qū)傩?。此時(shí)對(duì)其進(jìn)行一階求偏導(dǎo)可直接進(jìn)行高程求差，即一階地形因子。而相對(duì)二階地形因子坡向變率而言，坡向數(shù)值矩陣的每個(gè)像元都代表著其獨(dú)有的坡面指向，這種指向代表著其特有的方向性[22]。因此，坡向數(shù)值矩陣不是一個(gè)標(biāo)量矩陣，簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)標(biāo)量的代數(shù)運(yùn)算方式用在坡向數(shù)值矩陣上不可避免地違背了數(shù)學(xué)運(yùn)算機(jī)制。

從數(shù)學(xué)上看，標(biāo)量運(yùn)算法則針對(duì)的是沒(méi)有方向?qū)傩詳?shù)據(jù)的簡(jiǎn)單數(shù)值計(jì)算，而向量運(yùn)算法則恰好是針對(duì)帶有方向?qū)傩詳?shù)據(jù)的數(shù)學(xué)向量計(jì)算。向量既有大小，也有方向，其運(yùn)算法則遵循向量運(yùn)算法則，運(yùn)算結(jié)果是一個(gè)向量(圖1(a))，而不是一個(gè)標(biāo)量。因此，坡向變率的計(jì)算應(yīng)該遵循向量運(yùn)算法則而不是標(biāo)量運(yùn)算法則。針對(duì)該思路，本文提出基于數(shù)學(xué)向量幾何的坡向變率計(jì)算方法。該方法首先以DEM數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)提取坡向矩陣數(shù)據(jù)。其次，對(duì)坡向矩陣數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)學(xué)向量表達(dá)。最后，依據(jù)該向量化的坡向矩陣來(lái)計(jì)算坡向變率。并將結(jié)果與傳統(tǒng)方法進(jìn)行對(duì)比，以期更為科學(xué)準(zhǔn)確地認(rèn)識(shí)坡向以及計(jì)算坡向變率。

1 研究方法

1.1 坡向變率計(jì)算基礎(chǔ)

坡向變率，即坡向的變化率。變化率在DEM上應(yīng)用最廣泛的是坡度的概念，即求一階偏導(dǎo)。坡向變率的計(jì)算即采用坡向矩陣代替高程矩陣，求取地表某一個(gè)點(diǎn)在鄰域內(nèi)的坡向變化率。以高程矩陣為基礎(chǔ)的DEM數(shù)據(jù)，高程變化率提取算法眾多。其中，由于三階反距離平方權(quán)差分算法相對(duì)合理準(zhǔn)確，在研究中已被廣泛采用[23]。將此方法借鑒到坡向變率計(jì)算過(guò)程中，可以得到坡向變率的計(jì)算公式

(1)

式中，fx與fy分別是地表某一個(gè)點(diǎn)的坡向在鄰域內(nèi)東西和南北方向上的變化率。在三階反距離平方權(quán)差分算法中，鄰域柵格單元內(nèi)格網(wǎng)數(shù)值的代數(shù)做差運(yùn)算是很重要的部分。由于傳統(tǒng)方法進(jìn)行差分運(yùn)算使用的是未經(jīng)向量化轉(zhuǎn)換的坡向數(shù)值數(shù)據(jù)，運(yùn)算法則使用的是標(biāo)量之間的代數(shù)運(yùn)算法則，忽略了方向?qū)\(yùn)算的影響，其實(shí)質(zhì)是一維運(yùn)算(圖1(b))。在本文研究中，對(duì)坡向隱式表達(dá)的坡向數(shù)值矩陣數(shù)據(jù)進(jìn)行向量化表達(dá)。坡向矩陣中每個(gè)坡向值都有其方向。此時(shí)，坡向做差運(yùn)算不是一維運(yùn)算，而是符合坡向定義的二維向量運(yùn)算(圖1(a))。

1.2 坡向矩陣向量化表達(dá)

坡向變率向量計(jì)算方法的核心問(wèn)題是對(duì)隱式的坡向方向特征進(jìn)行向量表達(dá)以及向量運(yùn)算。本文對(duì)坡向數(shù)據(jù)進(jìn)行向量化表達(dá)的方法具體為以下步驟：

(1) 坡向在坡向極坐標(biāo)系下的向量表達(dá)。坡向向量可以認(rèn)為處在一個(gè)以正北方向?yàn)槠鹗挤较?，順時(shí)針為旋轉(zhuǎn)方向的特殊極坐標(biāo)系下。本文稱之為坡向極坐標(biāo)系，如圖2(a)所示。坡向值應(yīng)當(dāng)首先在坡向極坐標(biāo)系下表達(dá)為向量。其表示為

A=(r,θ)

(2)

式中，r是長(zhǎng)度，這里是柵格單元的大??；θ是旋轉(zhuǎn)角度，這里是坡向值；A是坡向在坡向極坐標(biāo)系下的表示。

圖2 兩種不同的極坐標(biāo)系Fig.2 Two different polar coordinate systems

(2) 坡向在普通極坐標(biāo)系下的向量表達(dá)。如圖2(b)所示，普通極坐標(biāo)系是較為常用的一種坐標(biāo)系，并且可以與平面直角坐標(biāo)系進(jìn)行快速轉(zhuǎn)換。坡向極坐標(biāo)轉(zhuǎn)為普通極坐標(biāo)的方法如下

(3)

式中，θ是坡向值。轉(zhuǎn)換完成之后，每一個(gè)地面點(diǎn)的坡向向量在普通極坐標(biāo)系下表示為

(4)

式中，r是柵格單元大小；θ是坡向值；AP是坡向在普通極坐標(biāo)系下的表示。

(3) 坡向在平面直角坐標(biāo)系下的向量表達(dá)。平面直角坐標(biāo)系更適合于向量之間的運(yùn)算，因此需要將極坐標(biāo)系下的坡向向量轉(zhuǎn)換到平面直角坐標(biāo)系下進(jìn)行表達(dá)。轉(zhuǎn)換公式如下

(5)

式中，r是柵格單元大小；α是AP的旋轉(zhuǎn)角度。坡向向量最終在平面直角坐標(biāo)系下表示為AR=(x,y)。

(4) 向量在平面直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)表示。分別取與X軸、Y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i、j作為基底向量。任作一個(gè)向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x、y，可以使得等式a=xi+yj成立，于是將(x,y)叫作向量a的直角坐標(biāo)表示，記作a=(x,y)，如圖3所示。

圖3 平面直角坐標(biāo)系下向量表示特征Fig.3 Vector representation method of plane Cartesian coordinate system

1.3 坡向變率向量計(jì)算

在平面直角坐標(biāo)系下，平面向量間的運(yùn)算法則如下：

(1) 已知a=(x1,y1),b=(x2,y2)，則a+b=(x1+x1,y2+y2)。

(2) 已知a=(x1,y1),b=(x2,y2)，則a-b=(x1-x2,y2-y2)。

(3) 已知a=(x,y)和實(shí)數(shù)λ,則λa=(λx,λy)。

通過(guò)以上向量之間的4個(gè)運(yùn)算法則，研究中可完整、準(zhǔn)確地將三階反距離平方權(quán)差分算法采用向量運(yùn)算法則進(jìn)行求解，并應(yīng)用于坡向變率的計(jì)算。圖4為基于向量幾何法計(jì)算坡向變率的完整技術(shù)流程。

2 試驗(yàn)樣區(qū)與數(shù)據(jù)

本文采用數(shù)學(xué)高斯曲面和陜北黃土高原3種典型地貌塬、墚、峁所在地區(qū)為研究樣區(qū)，用于測(cè)試基于向量幾何法計(jì)算坡向變率。其中，高斯曲面為模擬數(shù)學(xué)地形曲面，高斯合成曲面參數(shù)方程的定義如式(6)所示[22]

(6)

式中，A、B、C為地勢(shì)起伏參數(shù)；m、n為范圍控制參數(shù)。使用基于數(shù)學(xué)公式建立起來(lái)的DEM數(shù)據(jù)具有無(wú)誤差的優(yōu)點(diǎn)，并且可以根據(jù)公式直接求取x和y方向上的偏導(dǎo)數(shù)fx和fy。結(jié)合式(7)有利于求取坡向，為下一步坡向變率的求取奠定基礎(chǔ)

(7)

取A=3，B=10，C=1/3，m=500，n=500，標(biāo)準(zhǔn)差為1.326 0，均值為0.624 7，格網(wǎng)分辨率為5×5構(gòu)建地形曲面如圖5(a)所示。針對(duì)高斯數(shù)學(xué)曲面分別求取偏導(dǎo)fx和fy，再根據(jù)式(7)求得坡向結(jié)果作為原始坡向數(shù)值矩陣。將此坡向數(shù)值矩陣按照2.2節(jié)向量化后的坡向矢量場(chǎng)圖如圖5(b)所示，圖5(c)、(d)、(e)為局部放大圖。

圖5 模擬高斯曲面及曲面坡向Fig.5 Simulated Gaussian surface and its aspect

真實(shí)地形所選擇的3個(gè)樣區(qū)均位于陜北黃土高原區(qū)，其位置如圖6(a)所示，從南至北依次為宜君樣區(qū)(圖6(d))、吳起樣區(qū)(圖6(c))和綏德樣區(qū)(圖6(b))。宜君樣區(qū)位于陜西省宜君縣城東北部，溝谷溯源侵蝕強(qiáng)烈，重力侵蝕活躍[24]。但是其本身屬于殘塬地貌，因此又具有部分黃土塬地貌特征。吳起樣區(qū)位于陜西省吳起縣北部，區(qū)內(nèi)以黃土墚狀丘陵為主，墚坡上面蝕、細(xì)溝和切溝侵蝕處于加速階段，墚地間的沖溝，河溝下切加深[25]。綏德樣區(qū)位于綏德縣無(wú)定河中游，區(qū)內(nèi)丘陵起伏，溝壑縱橫，土壤侵蝕極為劇烈[26]。表1為3個(gè)樣區(qū)的基本信息。本試驗(yàn)分別采用3個(gè)樣區(qū)5 m分辨率的DEM數(shù)據(jù)作為原始數(shù)據(jù)，設(shè)計(jì)相關(guān)算法展開(kāi)地表坡向變率計(jì)算試驗(yàn)。

圖6 試驗(yàn)樣區(qū)位置及其地貌暈眩Fig.6 Locations of study areas and the hill shade in sample areas

表1 樣區(qū)概況

3 試驗(yàn)結(jié)果與分析

3.1 高斯曲面坡向變率計(jì)算結(jié)果與分析

針對(duì)高斯曲面，將其坡向矩陣分別采用前人提出方法和本文方法求取坡向變率，即采用直接法、正反DEM法、六分法和向量法求取坡向變率，結(jié)果如圖7所示。結(jié)果表明，直接法結(jié)果出現(xiàn)了明顯的“北坡誤差”(圖7(a))，而正反DEM法出現(xiàn)了光滑曲面支離破碎以及鋸齒狀的現(xiàn)象(圖7(b))，六分法得到的結(jié)果曲面相比于正反DEM法的結(jié)果更加光滑(圖7(c))。

本文所提向量法計(jì)算得到的結(jié)果與以上3種方法得到的結(jié)果截然不同(圖7(d))。一般而言，地表地形特征是由漸變、突變和不變的地表形態(tài)組成。這種形態(tài)結(jié)構(gòu)也造成了坡向變化在地表空間上的漸變、突變和不變的統(tǒng)一，而漸變和不變的地形表面在地表空間中占據(jù)了大部分區(qū)域，突變的區(qū)域又以地形特征骨架為代表(即山脊，山谷，山頂?shù)?，造成了地形在地表空間上的高頻信息。因此，該特征相對(duì)有利于提取坡面突變的區(qū)域。此外，本研究采用各方法的結(jié)果頻率分布曲線對(duì)不同算法的特點(diǎn)進(jìn)行進(jìn)一步論述。

圖8(a)為直接法、六分法、正反DEM法和向量法計(jì)算結(jié)果的坡向變率頻率分布圖。為了更加明顯地展現(xiàn)每種方法各自的趨勢(shì)，將4種方法得到的坡向變率結(jié)果進(jìn)行歸一化處理。結(jié)果可得，直接法、六分法和正反DEM法等標(biāo)量法的頻率分布結(jié)果類似(幾乎重合，僅少量高值區(qū)存在差異)，與向量法頻率分布結(jié)果差異較大。

圖7 不同方法基于高斯曲面的坡向變率計(jì)算結(jié)果Fig.7 SOA results with different methods by using Gaussian surface

3.2 不同樣區(qū)坡向變率計(jì)算結(jié)果與分析

由高斯曲面結(jié)果可得，3種標(biāo)量方法在坡向變率值較小處計(jì)算結(jié)果差異較小。因此，針對(duì)3個(gè)真實(shí)樣區(qū)，研究中采用廣泛應(yīng)用的正反DEM法和向量法計(jì)算坡向變率，并對(duì)所計(jì)算結(jié)果進(jìn)行定量分析。圖9、10、11分別是宜君樣區(qū)、吳起樣區(qū)、綏德樣區(qū)在5 m分辨率DEM下使用這兩種方法的計(jì)算結(jié)果。

圖10 吳起樣區(qū)坡向變率不同方法的計(jì)算結(jié)果Fig.10 SOA results by different methods in Wuqi area

圖11 綏德樣區(qū)坡向變率不同方法的計(jì)算結(jié)果Fig.11 SOA results by different methods in Suide area

由3個(gè)樣區(qū)計(jì)算結(jié)果可以看出，類似于高斯曲面計(jì)算結(jié)果，本文所提向量法得到的結(jié)果明顯不同于傳統(tǒng)的標(biāo)量計(jì)算方式結(jié)果。具體表現(xiàn)為，坡向變率值較高的區(qū)域呈現(xiàn)出較強(qiáng)的空間結(jié)構(gòu)特征，而坡向變化平緩區(qū)域的坡向變率值較小(圖9(b)、圖10(b)、圖11(b))?？梢钥闯?，在不考慮坡向存在方向特征時(shí)，傳統(tǒng)的基于數(shù)學(xué)標(biāo)量規(guī)則的坡向變率計(jì)算方法在相當(dāng)程度上夸大了地表面的坡向變化特征，使得地表空間中的不變和漸變的地形特征所表現(xiàn)出來(lái)的坡向變化難以得到合理的表達(dá)。

在高斯曲面試驗(yàn)中，高斯曲面是數(shù)學(xué)函數(shù)擬合DEM數(shù)據(jù)。因此，所擬合地形表面相對(duì)光滑，坡向變化結(jié)果以緩和為主，較少出現(xiàn)坡向突變的區(qū)域。而實(shí)地樣區(qū)的試驗(yàn)中，樣區(qū)為地表粗糙的黃土高原丘陵溝壑區(qū)，在5 m分辨率的DEM數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上，眾多表面細(xì)節(jié)信息能夠得到有效的表達(dá)，其中包括一定數(shù)量的坡面轉(zhuǎn)折信息。圖8(b)、圖8(c)和圖8(d)分別為宜君樣區(qū)、吳起樣區(qū)和綏德樣區(qū)采用正反DEM法和向量法計(jì)算得到的坡向變率頻率分布結(jié)果。圖8(b)為宜君樣區(qū)的頻率分布結(jié)果，可以看到坡向變率值為0區(qū)域頻率很高，這很好地反映了宜君樣區(qū)的殘塬地貌。圖8(d)為綏德樣區(qū)的頻率分布結(jié)果，坡向變率高值區(qū)域頻率明顯高于其他兩個(gè)樣區(qū)，這與該樣區(qū)的黃土峁丘陵溝壑地貌類型是相符的。圖8(c)為吳起樣區(qū)的頻率分布結(jié)果，而吳起樣區(qū)本身位于黃土墚狀丘陵溝壑區(qū)，其地形復(fù)雜度高于宜君樣區(qū)而低于綏德樣區(qū)。這樣的復(fù)雜度對(duì)比能夠較為容易地從圖8(b)、(c)、(d)的3個(gè)頻率分布結(jié)果中得到。

綜合圖8(b)、(c)、(d)、圖9—圖11可知，對(duì)于黃土地貌類型區(qū)域，山脊、山谷、山頂?shù)鹊匦翁卣鞑课辉跇訁^(qū)中表現(xiàn)為地形骨架信息，處于量少而又重要的地位。這些地形特征部位坡向變化較大，屬于地表空間地形變化的突變區(qū)域。因此，相應(yīng)的坡向變率計(jì)算結(jié)果較大。而黃土地貌類型區(qū)域地形中大部分仍然是坡向轉(zhuǎn)折較小、坡面形態(tài)改變相對(duì)平緩的區(qū)域。因此，地形特征仍屬于漸變區(qū)域，相應(yīng)的坡向變率計(jì)算結(jié)果較小。向量法得到的坡向變率結(jié)果在相當(dāng)程度上更好地符合黃土地貌坡向變化的認(rèn)知，坡向變率低值區(qū)域占大部分，坡向變率高值區(qū)域占小部分。而基于標(biāo)量運(yùn)算的正反DEM法恰恰相反，高坡向變率值柵格頻率遠(yuǎn)高于低坡向變率值柵格頻率，在相當(dāng)程度上夸大了地表坡面轉(zhuǎn)變的信息。

通過(guò)圖8(b)、(c)、(d)3個(gè)樣區(qū)的向量法結(jié)果頻率分布情況，結(jié)合向量法坡向變率的取值范圍，設(shè)置區(qū)間[0,5)、[5,10)、[10,15)、[15,20)、[20,25)、[25,30)、[30,35)、[35,40)、[40,45)、[45,50)、[50,55)對(duì)結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。P(d)為不同區(qū)間內(nèi)坡向變率計(jì)算結(jié)果柵格數(shù)占總柵格數(shù)目的百分比，E為區(qū)間內(nèi)坡向變率的均值。3個(gè)樣區(qū)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表2所示?？梢钥闯?，宜君、吳起和綏德樣區(qū)在區(qū)間[0,15)內(nèi)的柵格占總柵格數(shù)的百分比分別達(dá)到80.67%、74.12%和72.56%。該結(jié)果較好地反映了向量法能夠較為真實(shí)地計(jì)算坡向變化結(jié)果，符合地表空間中地形在不變、漸變與突變的分布關(guān)系。

表2 3個(gè)樣區(qū)的向量法坡向變率值在各個(gè)區(qū)間的統(tǒng)計(jì)

3.3 不同分辨率向量法坡向變率計(jì)算結(jié)果分析

本文對(duì)3個(gè)樣區(qū)的5 m分辨率DEM數(shù)據(jù)，在ArcGIS軟件中，使用最鄰近點(diǎn)法進(jìn)行了重采樣處理，分別得到10、15、20、25和30 m的DEM數(shù)據(jù)。對(duì)這些數(shù)據(jù)使用向量法進(jìn)行坡向變率的求解，以期分析向量法的穩(wěn)定性。圖12為3個(gè)樣區(qū)不同DEM分辨率下向量法計(jì)算結(jié)果頻率分布?？梢钥闯觯?個(gè)樣區(qū)在5 m分辨率下地形信息最為豐富，諸多細(xì)節(jié)信息得到保留，地表的不變、漸變特征在較高的分辨率下能夠較好地表達(dá)。隨著分辨率的降低，產(chǎn)生削峰填谷現(xiàn)象，部分低等級(jí)溝谷和山脊信息得到綜合。但高等級(jí)溝谷和山脊信息仍然相對(duì)突出，因而表現(xiàn)出坡向變率值較高區(qū)域占比增大。向量法得到的計(jì)算結(jié)果在不同樣區(qū)、不同分辨率的高值區(qū)域，其頻率分布曲線形狀基本保持穩(wěn)定。圖13是基于不同DEM分辨率的3個(gè)樣區(qū)向量法計(jì)算均值(圖13(a))和中位數(shù)(圖13(b))結(jié)果。可以看出，隨著分辨率的降低，基于向量幾何的坡向變率計(jì)算方法在不同分辨率的DEM下表現(xiàn)出了較好的穩(wěn)定性。

圖12 基于不同分辨率的三樣區(qū)DEM數(shù)據(jù)的向量法計(jì)算結(jié)果頻率分布Fig.12 Probability distribution of SOA results based different resolutions using vector methods in the three sample areas

圖13 基于不同分辨率的三樣區(qū)DEM數(shù)據(jù)向量法計(jì)算結(jié)果統(tǒng)計(jì)Fig.13 Statistic result based on different resolution DEMs using vector method in the three sample areas

4 結(jié) 論

本文基于數(shù)學(xué)中的向量幾何方法，考慮到坡向因子的方向?qū)傩裕岢隽嘶谙蛄糠椒▉?lái)求解數(shù)字地形分析中的坡向變率地形因子的計(jì)算方法。該方法將坡向數(shù)值矩陣進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換、向量還原、向量運(yùn)算，最終求解出更加合理的坡向變率結(jié)果。本文所提出的基于向量幾何的坡向變率方法為精準(zhǔn)數(shù)字地形分析提供參考。向量幾何在數(shù)字地形分析中的應(yīng)用，對(duì)于涉及具有方向?qū)傩缘牡匦我蜃佑?jì)算的科學(xué)研究具有重要的借鑒意義。從新的數(shù)學(xué)向量角度理解數(shù)字地形分析相關(guān)算法，也是借鑒數(shù)學(xué)向量幾何的方法解決數(shù)字地形分析問(wèn)題的重要實(shí)踐。

本文分別采用高斯合成曲面的離散化數(shù)據(jù)和陜北宜君樣區(qū)、吳起樣區(qū)和綏德樣區(qū)的5 m分辨率DEM數(shù)據(jù)進(jìn)行試驗(yàn)，得出以下具體結(jié)論：①基于向量幾何的DEM地表坡向變率計(jì)算方法有效地將坡向的方向?qū)傩杂糜谟?jì)算，避免了傳統(tǒng)標(biāo)量方法無(wú)視方向?qū)傩栽斐善孪蜃兟视?jì)算結(jié)果夸大的誤差；②坡向變率計(jì)算結(jié)果分布特征更加符合地表空間中坡面轉(zhuǎn)折的漸變、突變以及不變的地貌形態(tài)分布的基本認(rèn)知，即不變及漸變的地形區(qū)域占據(jù)主要地位；③基于向量幾何的坡向變率計(jì)算方法具有較好的穩(wěn)定性，適用于多種分辨率DEM數(shù)據(jù)。

當(dāng)今數(shù)字地形分析理論中，諸多的地形因子在概念的提出是以向量方式進(jìn)行描述，帶有重要的方向?qū)傩裕@也符合真實(shí)的地貌形態(tài)描述方式。然而，在對(duì)地形因子進(jìn)行計(jì)算與表達(dá)時(shí)，受制于數(shù)據(jù)模型、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，無(wú)法將其完整含義充分展現(xiàn)，使得絕大多數(shù)地形屬性計(jì)算與特征提取采用標(biāo)量的形式進(jìn)行求解，造成了數(shù)字地形分析中解譯算法的不確定性問(wèn)題。本文立足于數(shù)學(xué)向量幾何，從一個(gè)小的側(cè)面——坡向變率的求解，將向量的思想引入到數(shù)字地形分析中?？梢钥闯觯蛄繋缀卧跀?shù)字地形分析中具有巨大的發(fā)展?jié)摿Α＝窈蟮难芯繉⑨槍?duì)地形因子，在數(shù)學(xué)上尋找一種更加抽象的表達(dá)方式，更加合理的運(yùn)算方法，來(lái)滿足今后數(shù)字地形分析走向地貌研究，走向地形演變的過(guò)程與機(jī)理研究。