江蘇

王安寓

(作者單位：江蘇省南京市六合區(qū)實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué))

在函數(shù)的家族中，存在很多天才.這些天才俊杰在數(shù)學(xué)王國(guó)中縱橫馳騁呼風(fēng)喚雨，手段詭秘.有一種對(duì)應(yīng)，將集合A中的元素x保持不變地對(duì)應(yīng)到它自身，我們稱其為恒等變換.在恒等變換作用下，函數(shù)的定義域與值域相同.神奇的是，不是恒等變換的對(duì)應(yīng)，也能使函數(shù)的定義域與值域相同.我們稱這類函數(shù)為“保值”函數(shù)，有的資料也稱其為“閉函數(shù)”,對(duì)應(yīng)的定義域?yàn)椤氨Ｖ怠眳^(qū)間.

與“保值”函數(shù)有關(guān)的題型，主要有三類：①判斷一個(gè)函數(shù)是否是“保值”函數(shù)；②求一個(gè)函數(shù)的“保值區(qū)間”；③由函數(shù)具有“保值”性求參數(shù)范圍.而“保值”函數(shù)的試題呈現(xiàn)的方式多變，可直接命題，可命制探索性問(wèn)題或存在性問(wèn)題等.那么，求解“保值”問(wèn)題的常用策略有哪些呢？本文作一點(diǎn)探討，以期拋磚引玉.

策略一、運(yùn)用常見(jiàn)函數(shù)的值域解決“保值”函數(shù)

最典型的“保值”函數(shù)是一次函數(shù).一次函數(shù)的定義域和值域都是(-∞,+∞)，根據(jù)保值函數(shù)的定義可知，一次函數(shù)必是保值函數(shù).特別地，一次函數(shù)中，y=x恰是恒等變換.除了一次函數(shù)外，反比例函數(shù)也存在“保值”函數(shù)，三角函數(shù)也可構(gòu)造“保值”函數(shù).

【例1】(1)若函數(shù)f(x)=(a2-2a-3)x2+(a-3)x+1的定義域和值域都為R，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

( )

A.a=-1或3 B.a=-1

C.a>3或a<-1 D.-1

②你能根據(jù)該題再舉出一個(gè)含有sinx的“保值”函數(shù)嗎？你舉出的函數(shù)為_(kāi)_______.

分析：(1)由于函數(shù)f(x)的定義域和值域都是R，而f(x)的解析式是最高次方為二次的多項(xiàng)式函數(shù)，故f(x)只能是一次函數(shù).由此確定函數(shù)的類型進(jìn)而求解.

(2)當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>0等價(jià)于a2-2a>0，解不等式即可.

解析：(1)若a2-2a-3≠0，則f(x)為二次函數(shù)，值域不為R，不合題意；

若a2-2a-3=0，則a=-1或3；

當(dāng)a=3時(shí)，f(x)=1，f(x)的值域?yàn)閧1}，不合題意；

當(dāng)a=-1時(shí)，f(x)=-4x+1，f(x)的值域?yàn)镽，符合題意.

故選B.

(2)依題意得a2-2a>0，解得a<0或a>2.故實(shí)數(shù)a的取值范圍是a<0或a>2.

變式1：若函數(shù)f(x)=2x-m是(0,+∞)上的“保值”函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值是________.

答案：m=1.

策略二、單調(diào)遞增“保值”函數(shù)，轉(zhuǎn)化為方程有異根

從數(shù)的角度看，若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上是單調(diào)遞增函數(shù)，且是“保值”函數(shù)，則f(a)=a,f(b)=b，即f(x)=x在定義域內(nèi)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根a,b，從而轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的方程f(x)=x在定義域內(nèi)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，運(yùn)用根的分布求解.

從形的角度看，若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上是單調(diào)遞增的，且是“保值”函數(shù)，由于x∈[a,b]時(shí)，f(x)∈[a,b]，故f(a)=a,f(b)=b，于是，函數(shù)y=f(x)過(guò)點(diǎn)(a,a),(b,b)，故函數(shù)y=f(x)的圖象與直線y=x的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn).再考慮直線與曲線有兩個(gè)不同交點(diǎn)的情形，根據(jù)相應(yīng)的幾何意義求得參數(shù)范圍.

1.保值區(qū)間，求解方程

對(duì)于“保值”函數(shù)的“保值”區(qū)間，只能通過(guò)解方程(組)完成.根據(jù)“保值”函數(shù)的定義，將“保值”函數(shù)轉(zhuǎn)化為方程(組)，運(yùn)用消元法求解.這是最基本的方法.

【例2】已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閰^(qū)間A，若f(x)的值域也為A，則稱區(qū)間A為f(x)的“保值”區(qū)間，f(x)是區(qū)間A上的“保值”函數(shù).

(1)求函數(shù)f(x)=x2的形如[n，+∞)(n∈R)的保值區(qū)間；

(2)設(shè)f(x)=x2+m是[a,b]上的“保值”函數(shù)，求m的范圍及對(duì)應(yīng)y=f(x)的“保值”區(qū)間[a,b].

分析：(1)根據(jù)“保值”函數(shù)的定義，條件轉(zhuǎn)化為f(x)=x在[n，+∞)上有異根，解方程即可；

(2)由“保值”函數(shù)的定義，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性及最值，轉(zhuǎn)化為方程或方程組求解.

解析：(1)∵x2≥0，且f(x)=x2的值域?yàn)閇n，+∞)，∴n≥0，易知函數(shù)f(x)=x2在[n，+∞)上單調(diào)遞增，∴f(n)=n2=n，解得n=0或n=1，∴函數(shù)f(x)=x2的形如[n，+∞)的“保值”區(qū)間為[0，+∞)或[1,+∞).

(2)易知f(x)=x2+m在(-∞,0]上單調(diào)遞減，在[0，+∞)上單調(diào)遞增.

①若a

③當(dāng)a<0

若f(m)≥f(b)，則0

點(diǎn)評(píng)：“保值”函數(shù)的本質(zhì)是求函數(shù)的最值或值域，而二次函數(shù)在區(qū)間上的最值問(wèn)題是學(xué)生司空見(jiàn)慣的.當(dāng)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增時(shí)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，將“保值”函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程的解的問(wèn)題，可直接解方程或應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系.欲求“保值”區(qū)間，必解方程，因此，本題只能運(yùn)用方程思想(數(shù)的角度).

解析：易知f(x)的定義域?yàn)镽，f(x)為奇函數(shù)，且f(x)在R上單調(diào)遞增.則M=N，得a,b是f(x)=x的兩個(gè)相異實(shí)根.f(x)=x，即x|x|=x，解得x=0或x=±1，注意到a

2.根之分布，參數(shù)范圍

“保值”函數(shù)都是滿足一定條件的，而這個(gè)“條件”對(duì)應(yīng)的就是參數(shù)的范圍.已知“保值”求參數(shù)，往往轉(zhuǎn)化為根的分布、不等式或兩個(gè)函數(shù)有相異交點(diǎn)問(wèn)題求解.

( )

分析：(1)緊抓閉函數(shù)定義，轉(zhuǎn)化為方程有解.

(2)緊抓閉函數(shù)定義，轉(zhuǎn)化為方程有解，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)有不同交點(diǎn).

故選D.

點(diǎn)評(píng)：先判斷函數(shù)單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性將閉函數(shù)(也是“保值”函數(shù))問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程有解問(wèn)題，然后應(yīng)用根的分布求解，也可直接解出方程，研究方程的根.本題的方法一和方法二的求解過(guò)程是從數(shù)的角度實(shí)施的，方法三是從形的角度求解的.

用形求解，還可以先做適當(dāng)變形，再畫圖求解(方法二和方法三).

對(duì)比三種方法，方法二最直觀，既便于觀察又避開(kāi)了切線的難點(diǎn).方法三平移拋物線，不如平移直線，相對(duì)來(lái)說(shuō)不便于操作.

當(dāng)然，本題還可仿照例3(1)的前兩種方法從數(shù)的角度求解.

( )

A.[-1，0] B.[1，+∞)

解析：易知函數(shù)f(x)是[1,+∞)上的增函數(shù).

故選D.

3.韋達(dá)定理，函數(shù)最值

“保值”函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程的解，可利用韋達(dá)定理，將目標(biāo)轉(zhuǎn)化為關(guān)于參數(shù)的函數(shù)最值問(wèn)題求解.

分析：先判斷函數(shù)單調(diào)性，再轉(zhuǎn)化為方程有不等實(shí)根，應(yīng)用韋達(dá)定理，構(gòu)造關(guān)于t的函數(shù)求解.

點(diǎn)評(píng)：將“保值”函數(shù)轉(zhuǎn)化為方程有異根后，巧用韋達(dá)定理將目標(biāo)轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的函數(shù)，通過(guò)配方求得目標(biāo)的最大值.本題的求解過(guò)程充分體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、函數(shù)與方程思想.本題容易遺漏求參數(shù)范圍——新函數(shù)的定義域.

a+b=4+4m∈(4,6].

策略三、單調(diào)遞減“保值”函數(shù)，轉(zhuǎn)化為方程組有兩解

從形的角度看，若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞減，且是“保值”函數(shù)，由于x∈[a,b]時(shí)，f(x)∈[a,b]，故f(a)=b,f(b)=a，于是，函數(shù)y=f(x)過(guò)點(diǎn)(a,b),(b,a)，故函數(shù)y=f(x)的圖象與直線y=-x+a+b有兩個(gè)不同的交點(diǎn).再考查直線與曲線有兩個(gè)不同交點(diǎn)的情形，根據(jù)相應(yīng)的幾何意義求得參數(shù)范圍.

分析：由函數(shù)的單調(diào)性，將值域轉(zhuǎn)化為方程組，研究方程組有不同實(shí)數(shù)解即可.

策略四、不單調(diào)“保值”函數(shù)，分類討論各個(gè)擊破

若函數(shù)f(x)既有增區(qū)間又有減區(qū)間，又是“保值”函數(shù)，則分類討論，在各單調(diào)區(qū)間內(nèi)研究函數(shù)值域，各個(gè)擊破.在增區(qū)間內(nèi)，用策略二；在減區(qū)間內(nèi)，用策略三；在既有增區(qū)間又有減區(qū)間的區(qū)間內(nèi)，先確定一個(gè)最值，再討論第二個(gè)最值.

1.分類討論，各擊“保值”

“保值”函數(shù)本質(zhì)是求函數(shù)y=f(x)在定義域?yàn)閇a,b]時(shí)的值域.當(dāng)函數(shù)單調(diào)性不止一種時(shí)，就要分類討論，各個(gè)擊破.

分析：二次函數(shù)f(x)既有單調(diào)遞增區(qū)間，又有單調(diào)遞減區(qū)間，由f(x)的定義域[a，b]求函數(shù)f(x)的值域，就要分類討論.

故答案為5.

解析：顯然m,n同號(hào).

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為a=0或a>2.

2.聯(lián)袂導(dǎo)數(shù)，共謀“保值”

當(dāng)“保值”函數(shù)的形式復(fù)雜，不易判斷函數(shù)單調(diào)性時(shí)，可借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.

【例7】若函數(shù)g(x)=x-ln(x+m)的“保值”區(qū)間是[2，+∞)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

分析：考慮兩個(gè)方面：①函數(shù)g(x)在[2，+∞)上有意義；②如何求函數(shù)g(x)的值域.

解析：由x+m>0得x>-m，因?yàn)間(x)的“保值”區(qū)間是[2,+∞)，所以2+m>0，即m>-2.

當(dāng)2≤1-m，即-2

當(dāng)2>1-m，即m>-1時(shí)，函數(shù)g(x)在[2，+∞)上單調(diào)遞增，故g(x)min=g(2)=2，即2-ln(2+m)=2，解得m=-1，與m>-1矛盾，舍去.

綜上，m=-1.

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于復(fù)雜函數(shù)的單調(diào)性，常用導(dǎo)數(shù)作為手段來(lái)研究.

變式7：已知函數(shù)f(x)=x3+ax+b的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且與x軸相切.

(1)求實(shí)數(shù)a,b的值；

(2)是否存在實(shí)數(shù)m,n，使得g(x)=3-|f(x)|在區(qū)間[m,n]上的值域仍為[m,n]？若存在，求出m,n的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解析：(1)a=b=0，過(guò)程略；(2)易知g(x)=3-|x3|在(-∞,0]上單調(diào)遞增，在[0,+∞)上單調(diào)遞減.

當(dāng)n>m≥0時(shí)，g(x)=3-x3在[m,n]上單調(diào)遞減，則g(m)=3-m3=n,g(n)=3-n3=m，兩式相減得n3-m3=n-m，n2+mn+m2=1，0

當(dāng)m<0

綜上，不存在滿足題意的m,n.

通過(guò)例2-例7的求解，我們得到解決“保值”函數(shù)問(wèn)題的步驟：先研究函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性情況實(shí)施轉(zhuǎn)化.若能判斷“保值”函數(shù)是增函數(shù)，則運(yùn)用策略二；若能判斷“保值”函數(shù)是減函數(shù)，則運(yùn)用策略三；若“保值”函數(shù)既有增區(qū)間又有減區(qū)間，則運(yùn)用策略四.

求解“k倍”函數(shù)、“鏡像”函數(shù)、“調(diào)和”函數(shù)、“平方”函數(shù)等函數(shù)問(wèn)題的方法與求解“保值”函數(shù)問(wèn)題的方法基本相同，仍可從數(shù)(方程或方程組)的角度和從形(轉(zhuǎn)化為根的分布或兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn))的角度兩個(gè)角度入手轉(zhuǎn)化求解.

【例8】對(duì)于函數(shù)y=f(x)，若存在區(qū)間[a,b]，當(dāng)x∈[a,b]時(shí)，f(x)的值域?yàn)閇ka,kb](k>0)，則稱y=f(x),x∈[a,b]為“k倍”函數(shù).若f(x)=lnx+x是“k倍”函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________.

分析：由函數(shù)的單調(diào)性破解“k倍”函數(shù)的本質(zhì)，轉(zhuǎn)化為方程有解.

方法二：仿方法一得lnx+x=kx有兩個(gè)相異正根，即lnx=(k-1)x有兩個(gè)相異正根.

設(shè)函數(shù)y1=lnx,y2=(k-1)x，則轉(zhuǎn)化為y1與y2的圖象有兩個(gè)相異的交點(diǎn).y2是過(guò)原點(diǎn)的直線.

通過(guò)例8的求解，我們得到解決類“保值”函數(shù)問(wèn)題的方法同于“保值”函數(shù)問(wèn)題.