陜西

李 歆

(作者單位：陜西省武功縣教育局教研室)

在各類數(shù)學(xué)競賽和歷年高考試題中，最值問題都是?？嫉闹匾獌?nèi)容.這類問題往往思考難度大，解題方法活，綜合性強(qiáng)，一般學(xué)生常感困惑，而解決最值問題最常見的方法之一就是運(yùn)用均值不等式，但在運(yùn)用均值不等式之前，常常需要對已知條件或者所求問題進(jìn)行“變形”處理，這樣才能保障解題思路暢通，避免錯誤的發(fā)生.下面通過對一道競賽題解法的探究，揭示出一類最值問題的通解通法，希望對教師的教學(xué)有所幫助.

一、競賽題呈現(xiàn)

二、解法初探

從結(jié)構(gòu)上看，已知條件是一個較為復(fù)雜的等式，左邊含有四項(xiàng)，既有整式項(xiàng)，又有分式項(xiàng)，而所求問題是由兩個分式項(xiàng)組成，之間連接的是“-”號，比較條件式與所求式的差異，按照化復(fù)雜為簡單的原則，不妨從條件式入手，先通過變形構(gòu)造出所求問題式，然后再用均值不等式求解.

【解法1】對已知條件變形，得

=6，

【解法2】對已知條件變形，得

≥16+1-11

=6，

【評注】上述在實(shí)施均值不等式之前，解法1用到了拆項(xiàng)法，思路一目了然，解法2用到了添項(xiàng)法，添項(xiàng)時需要借助待定系數(shù)法才能準(zhǔn)確完成，兩種解法的目標(biāo)都是要消去兩個變量x,y，由此說明了拆項(xiàng)法與添項(xiàng)法這兩種數(shù)學(xué)辯證思維方法在解題中的重要作用.

三、變式與拓展

1.改變已知條件與所求問題的順序

【解法1】由已知條件及均值不等式得

【解法2】由已知條件及基本不等式得

2.將最小值改為最大值

【解法1】對已知條件變形，得

=2，

【解法2】對已知條件變形，得

=2，

3.引入?yún)?shù)，將問題拓展

【解析】(1)先求最小值.

設(shè)m是滿足m>b的待定正實(shí)數(shù)，對已知條件變形，得

(2)再求最大值.

設(shè)n是滿足n>a的待定正實(shí)數(shù)，對已知條件變形，得

四、解法再探

1.困惑與思考

從上面對競賽題的變式與拓展中發(fā)現(xiàn)，在已知條件中構(gòu)造所求問題式時，除了在問題式前面添加合理的“+”或者“-”外，還需要配上適當(dāng)?shù)摹跋禂?shù)”，而這個“系數(shù)”的確定卻不是一件輕松的事，給解題帶來了不少的麻煩.那么，還有更好更妙的方法嗎？

我們解決數(shù)學(xué)問題時，通常都是按照從已知條件到所求問題，或者從所求問題到已知條件這兩條路徑完成的，往往把已知條件和所求問題看成一個問題的兩個部分，通過變形與轉(zhuǎn)化，使兩個部分和諧統(tǒng)一，最后達(dá)到解決問題的目的.如果從數(shù)學(xué)辯證思維的角度考慮，在解決問題之前，將已知條件和所求問題這兩個部分先看成一個整體，即將二者“捆綁”在一起，那么或許能看到解決問題的曙光.

2.競賽題再解

則由均值不等式得

【評注】解法3借助待定系數(shù)法，先將所求問題式“捆綁”到已知條件中，不僅入手便利，而且解法快捷.

五、應(yīng)用舉例

通過對一道競賽題的解法探究，找到了一種解決問題簡單實(shí)用的新方法：捆綁法，這種方法規(guī)律性強(qiáng)，操作方便，用來解決較為復(fù)雜的最值問題非常有用.

【解析】設(shè)l>0，將已知條件變形，得

則由均值不等式得

【評注】由于所求問題式的兩項(xiàng)的分母出現(xiàn)了非齊次的形式，運(yùn)用均值不等式解題有一定的困難，但是對已知條件和所求問題式實(shí)施“捆綁”之后，卻化難為易.

【解析】設(shè)l>0，對已知條件變形，得

則由均值不等式得

【解析】設(shè)0

則由均值不等式得