江蘇

韓文美

(作者單位：江蘇省張家港中等專業(yè)學(xué)校)

在解決數(shù)學(xué)問題時，若能巧妙地構(gòu)造適當?shù)臄?shù)學(xué)模型，使對應(yīng)的數(shù)學(xué)模型與所要求解的問題之間存在著某種特殊的對應(yīng)關(guān)系，進而通過解決對應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，達到利用相關(guān)模型中熟知的數(shù)學(xué)知識來解決對應(yīng)問題的目的，方法巧，思路清.

1.構(gòu)造數(shù)或式的數(shù)學(xué)模型

數(shù)或式的數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)中的一類基本模型，特別是一些相應(yīng)的有理化因式、對偶式等模型，在破解數(shù)學(xué)問題中可以起到非常重要的作用.有效構(gòu)造題目條件中對應(yīng)的數(shù)或式的數(shù)學(xué)模型，常常能為一些相關(guān)問題的破解另辟蹊徑，開拓巧解妙證的思維空間.

例1.(2019·江蘇卷理·22)設(shè)(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn，n≥4，n∈N*.已知a32=2a2a4.

(Ⅰ)求n的值；

解得n=5.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，n=5.

2.構(gòu)造函數(shù)的數(shù)學(xué)模型

函數(shù)的數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)中最基本的數(shù)學(xué)模型之一，通過構(gòu)造特殊的函數(shù)模型，可以巧妙破解相關(guān)的函數(shù)問題、不等式問題和數(shù)列問題等，特別是在解決函數(shù)的性質(zhì)與圖象、函數(shù)值的大小比較和數(shù)列的函數(shù)性等問題時，特殊函數(shù)的構(gòu)造往往有奇效.

例2.(2019·全國卷Ⅲ·文12理11)設(shè)f(x)是定義域為R的偶函數(shù)，且在(0，+∞)單調(diào)遞減，則

( )

分析:根據(jù)題目條件構(gòu)造特殊的函數(shù)模型，利用特殊函數(shù)來分別計算相應(yīng)的函數(shù)值，再加以比較，避免分析與討論相應(yīng)的函數(shù)的基本性質(zhì)，相比更加易于操作.

解析:由于f(x)是定義域為R的偶函數(shù)，且在(0，+∞)單調(diào)遞減，

取特殊函數(shù)f(x)=-|x|滿足條件，

點評:結(jié)合題目條件構(gòu)造與之對應(yīng)的特殊函數(shù)模型——f(x)=-|x|，進而將抽象問題具體化，可以快速準確地解答相關(guān)的函數(shù)問題，進而得以判斷.在解答一些抽象函數(shù)、數(shù)列的選擇題或填空題時，可以選取滿足條件的特殊函數(shù)模型(一般選擇比較常見的基本初等函數(shù)，此時基本性質(zhì)與函數(shù)圖象較為熟悉)加以驗證，變抽象為具體，通過特殊函數(shù)發(fā)現(xiàn)規(guī)律，尋求解答方法.

3.構(gòu)造方程的數(shù)學(xué)模型

方程的數(shù)學(xué)模型也是數(shù)學(xué)中最基本的數(shù)學(xué)模型之一，通過構(gòu)造特殊方程的模型，可以把函數(shù)和不等式等問題方程化，借助方程思維，通過方程的判別式、方程的根、方程中的韋達定理等的巧妙轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，破解相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題.

分析:破解此類函數(shù)式的最值問題，最常見的思維方式就是借助基本不等式法來處理.而借助相應(yīng)方程模型的構(gòu)造，引入?yún)?shù)，再通過方程的轉(zhuǎn)化，結(jié)合方程有解的前提條件，利用方程的判別式法加以轉(zhuǎn)化與應(yīng)用即可.

4.構(gòu)造平面幾何的數(shù)學(xué)模型

平面幾何的數(shù)學(xué)模型是小學(xué)、初中階段比較常見的數(shù)學(xué)模型之一，而且學(xué)生對此有較系統(tǒng)的學(xué)習(xí)，基礎(chǔ)好，借助與問題相關(guān)的平面幾何模型(常見的有三角形、平面四邊形和圓等)，特別是一些特殊的三角形、特殊的平面四邊形等模型的構(gòu)造，可以有效解決與函數(shù)、不等式、平面向量和解三角形等相關(guān)的數(shù)學(xué)問題.

分析:涉及平面向量的夾角問題，往往可以借助平面向量的數(shù)量積公式，利用代數(shù)運算來處理.而借助題目中平面向量數(shù)量積的性質(zhì)，構(gòu)造與之對應(yīng)的平面幾何模型——直角三角形，從平面幾何的角度入手，結(jié)合平面向量的減法運算的幾何意義以及解直角三角形問題來確定平面向量中的夾角問題.

點評:抓住平面向量數(shù)量積的性質(zhì)，以a·b=0得到a⊥b，從而構(gòu)造平面幾何模型——直角三角形，結(jié)合平面向量的線性運算、平面向量夾角的定義以及直角三角形的幾何性質(zhì)來確定相應(yīng)的夾角的余弦值.以“形”化“數(shù)”，有效轉(zhuǎn)化，借助幾何的直觀性，并結(jié)合平面幾何的性質(zhì)，可以快捷轉(zhuǎn)化相應(yīng)的邊、角以及最值問題，達到有效、直觀、快捷地確定平面向量中的幾何量問題的目的.

5.構(gòu)造立體幾何的數(shù)學(xué)模型

立體幾何的數(shù)學(xué)模型也是小學(xué)、初中階段比較常見的數(shù)學(xué)模型之一，借助與問題相關(guān)的立體幾何模型(常見的有長方體、正方體和球等)，特別是一些特殊的長方體等模型的構(gòu)造，可以有效破解與空間幾何中的點、線、面的位置關(guān)系以及空間距離、空間角度等相關(guān)的數(shù)學(xué)問題.

例5.(2019·全國卷Ⅲ·文8理8)如圖，點N為正方形ABCD的中心，△ECD為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線段ED的中點，則

( )

A.BM=EN，且直線BM，EN是相交直線

B.BM≠EN，且直線BM，EN是相交直線

C.BM=EN，且直線BM，EN是異面直線

D.BM≠EN，且直線BM，EN是異面直線

分析:結(jié)合題目條件，直接構(gòu)造與之相關(guān)的特殊長方體模型，進而把該圖形放在此特殊長方體模型內(nèi)，可以確定相應(yīng)的空間幾何中的點、線、面的位置關(guān)系以及空間距離等問題的判定與應(yīng)用.

解析:如圖，連接BD，因為點N為正方形ABCD的中心，所以點N為BD的中點，可知直線BM，EN都是在以DB∩DE=D所確定的平面BED內(nèi)的直線，且不平行，即直線BM，EN是相交直線；

取特殊長方體模型來直觀分析，設(shè)AB=AD=2，則EC=ED=2，

故選B.

點評:通過特殊立體幾何模型——長方體的構(gòu)造，把一般的問題具體化，為進一步破解空間幾何中的點、線、面的位置關(guān)系以及空間距離等相關(guān)問題的判定提供直觀模型，方便判定與求解.特別在研究一些空間中的位置關(guān)系、幾何量的計算等相關(guān)選擇題或填空題時，可以根據(jù)已知條件巧妙構(gòu)造特殊的立體幾何模型，化一般為特殊來處理.