黑龍江

王榮峰

(作者單位：黑龍江省雞西市第一中學)

絕對值是高中數(shù)學的核心知識，同時也是高考的高頻考點.就命題形式而言，選擇題有之，填空題有之，解答題亦有之；就試題的難度而言，簡單有之，中檔有之，壓軸也有之.下面對解絕對值問題應體現(xiàn)的數(shù)學意識加以盤點，以期能對讀者有所啟發(fā)和幫助.

1.化歸意識

例1.不等式|2x+1|<|x-5|的解集為

( )

【點評】該題也可通過零點分區(qū)間的方法討論求解，但不如等價平方后，化歸為二次不等式來處理更顯簡潔清晰.

2.取等意識

例2.不等式|2x+lnx|<2x+|lnx|的解集為

( )

A.(0,1] B.(0,1)

C.(1,+∞) D.(-∞,1)

【解析】∵x>0，∴由不等式|2x+lnx|<2x+|lnx|可得|2x+lnx|<|2x|+|lnx|，欲使該不等式成立，只需2x·lnx<0，∴l(xiāng)nx<0，即0

【點評】注意到x>0以及三角不等式|a+b|≤|a|+|b|中等號取到的條件為ab≥0，另辟蹊徑，解題思路令人耳目一新.

3.邊界意識

例3.若不等式|2x+2|+|x-3|≥a恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是

( )

A.a≤8 B.a≤4

C.4

【解析】設f(x)=|2x+2|+|x-3|，依題意有a≤f(x)min，函數(shù)f(x)為“碗狀函數(shù)”，其最小值必為f(-1)或f(3)，因為f(-1)=4，f(3)=8，從而有a≤4，故選B.

【點評】這種“碗狀函數(shù)”在各種考試中出現(xiàn)的頻率特別高，其形式可以拓展到多個絕對值相加.

4.構造意識

例4.設a,b∈R，則“a>b”是“a|a|>b|b|”的

( )

A.充分不必要條件 B.充要條件

C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件

【解析】觀察題干，可想到構造函數(shù)f(x)=x|x|，易知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，當x∈[0,+∞)時，函數(shù)f(x)=x2單調(diào)遞增，從而可知f(x)=x|x|在R上單調(diào)遞增,則a>b?f(a)>f(b)，故選B.

【點評】觀察外部結構特征，構造函數(shù)f(x)=x|x|，并借助奇函數(shù)的性質使該題巧妙獲解，避免了分類討論帶來的繁雜運算.

5.數(shù)形意識

例5.若不等式|2x-4|+2

( )

A.a≤1 B.-2

C.-2≤a≤1 D.a≤-2或a>1

【解析】不等式|2x-4|+2

【點評】該題也可通過討論x的范圍進而去掉絕對值來求解，但由于直線g(x)=ax-2過定點P(0,-2)，借助數(shù)形結合求解更顯直觀.

6.討論意識

例6.若關于x的不等式|2x+a|>x-1*對x∈[-1,2]恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是

( )

A.(-∞,-5)∪[2,+∞) B.(-∞,-5)∪(0,+∞)

C.(-∞,-5)∪(-2,+∞)D.非上述答案

【解析】當x∈[-1,1)時，x-1<0，不等式*對a∈R恒成立；故只需要研究不等式*在x∈[1,2]恒成立即可,此時不等式*等價于2x+a>x-1或2x+a<1-x，由2x+a>x-1得a>-x-1;由2x+a<1-x得a<1-3x.當x∈[1,2]時，(-1-x)max=-2,(1-3x)min=-5，故所求出的實數(shù)a的取值范圍是a>-2或a<-5，故選C.

【點評】處理絕對值題的基本思路是去掉絕對值，而分類討論又是去掉絕對值最有效的方法之一，分類討論的原則是要做到不重不漏.

7.反面意識

例7.若不等式x2<|x-1|+a的解集是區(qū)間(-3,3)的子集，則實數(shù)a的取值范圍是

( )

A.(-∞,7) B.(-∞,7]

C.(-∞,5) D.(-∞,5]

【解析】當x≥1時，原不等式可化為x2-x+1-a<0，其解集中應不含任何大于或等于3的數(shù)，故當x≥3時總有x2-x+1-a≥0，由此可得到a≤7；當x<1時，原不等式可化為x2+x-1-a<0，其解集中應不含任何小于或等于-3的數(shù)，故當x≤-3時總有x2+x-1-a≥0，由此可得到a≤5，綜上可知a≤5，故選D.

【點評】當我們正面探究困難時，也可以考慮從反面切入，往往可以達到事半功倍的效果，本題還可通過數(shù)形結合來解決.

8.分離意識

例8.已知函數(shù)f(x)=|x-2|+|x-3|，若不等式||2a+b|-|a-b||≤|a|f(x)(a≠0)恒成立，則實數(shù)x的取值范圍是

( )

A.(-∞,1] B.[4,+∞)

C.[1,4] D.(-∞,1]或[4,+∞)

【點評】類比分離參數(shù)的方法，可將|a|除過去，這樣就分離出了函數(shù)f(x)，再應用絕對值不等式||m|-|n||≤|m+n|就可順利破解該題.

9.定值意識

例9.已知a，b是任意實數(shù)，設|a+b|，|a-b|，|b-2|中的最大值是M，則必有

( )

A.M≥1 B.M≥2

C.0

【解析】根據(jù)題意可知4M≥|a+b|+|a-b|+2|b-2|≥|(a+b)-(a-b)|+2|b-2|=2(|b|+|b-2|)≥2|b-(b-2)|=4，從而有M≥1，故選A.

【點評】該題題干雖短，但難度較大，能夠用三角不等式|x|+|y|≥|x±y|合理配湊出定值是順利解出該題的關鍵點.

10.特值意識

( )

【點評】代入1,-1體現(xiàn)了邊界意識，代入特殊值0，一方面由于它是區(qū)間[-1,1]的中點，更重要的是代入0可規(guī)避掉字母“a”.

11.配湊意識

例11.已知定義在[0,1]上的函數(shù)f(x)滿足：(1)f(0)=f(1)；(2)對所有的x,y∈[0,1]，且x≠y，有|f(x)-f(y)|<|x-y|，若對所有的x,y∈[0,1]，|f(x)-f(y)|

( )

【點評】該題難度較大，但若能想到插入f(0)和f(1)再進行拆分，進而出現(xiàn)|f(x)-f(0)|+|f(1)-f(y)|，便可找到解決問題的突破口.

12.轉化意識

例12.已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c，當|x|≤1時，|f(x)|≤2，令g(x)=cx2+bx+a，若當|x|≤1時，|g(x)|≤k恒成立，則實數(shù)k的最小值為

( )

A.1 B.2

C.4 D.8

【點評】將字母a,b,c分別用f(1),f(-1),f(0)來表示，并借助|f(1)|≤2，|f(-1)|≤2，|f(0)|≤2就可探究出|g(x)|的最大值，這種代換方法不容易想到，需要解題經(jīng)驗的積累.