甘肅

焦永垚

(作者單位：甘肅省蘭州市第六中學(xué))

2019年全國(guó)卷Ⅰ和全國(guó)卷Ⅱ中的小題壓軸題都考到了雙曲線的知識(shí)，全國(guó)卷Ⅰ理科第16題和全國(guó)卷Ⅱ文科第12題從表面上看似乎沒有聯(lián)系，但是經(jīng)過深入挖掘會(huì)從全國(guó)卷Ⅱ文科第12題的一些解法中發(fā)現(xiàn)一般性的結(jié)論，并且用此結(jié)論可以解決全國(guó)卷Ⅰ理科第16題.本文將通過對(duì)這兩道題的多解探尋總結(jié)出解決高考圓錐曲線小題的一般方法，讓學(xué)生輕松突破解決這類問題的思維瓶頸.

一、題目

( )

2018年1月，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》正式發(fā)布，其中提出數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)，并界定了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的含義，本題就是邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的具體體現(xiàn).

從上述解法可以看出，解法1是通法，而由解法2和解法3可以得出以下重要的結(jié)論.

(1)直線PQ為雙曲線的準(zhǔn)線；

(2)點(diǎn)P,Q在雙曲線的漸近線上.

再來看2019年全國(guó)卷Ⅰ理科第16題，雖然表面上看與2019年全國(guó)卷Ⅱ文科第12題沒有關(guān)系，但是經(jīng)過挖掘可以發(fā)現(xiàn)，這兩道題有著本質(zhì)的聯(lián)系，并且該題可以應(yīng)用上述結(jié)論來解決.

【點(diǎn)評(píng)】有意思的是從解法2中可以發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)B恰好是直線x=±a,y=±b所圍成的矩形的頂點(diǎn).另外，直接運(yùn)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算也是解決本題的通性通法.

教師應(yīng)該把教學(xué)的重心放到探索問題的過程上，放在揭示問題蘊(yùn)含的規(guī)律上，讓學(xué)生通過對(duì)問題的感知、概括、應(yīng)用，去發(fā)現(xiàn)和掌握規(guī)律.上述兩道高考題及所蘊(yùn)含的規(guī)律就是這一過程的具體體現(xiàn).通過進(jìn)一步挖掘我們還可以找到上述問題的源頭.

二、追本溯源

( )

A.30° B.45°

C.60° D.90°

答案：D

( )

A.2 B.3

答案：C