安徽

朱啟州

(作者單位：安徽省淮北市杜集區(qū)教育局教研室)

三角函數(shù)是重要的基本初等函數(shù)，是中學數(shù)學的核心內(nèi)容，長期以來我們常常把它作為一個獨立的內(nèi)容進行教學，同時與平面向量和解三角形小范圍進行綜合考查，往往忽視將其放到中學數(shù)學的大格局里.2017年以前的高考命題確實是這樣.2018年全國卷Ⅰ理科第16題，2019年全國卷Ⅰ理科第5，11和20題，2019年天津卷理科第20題等都彰顯將三角函數(shù)作為普通函數(shù)來研究的命題趨勢，對高中數(shù)學教學有著重要的指導意義.現(xiàn)以近兩年高考數(shù)學試題為例，談談高考數(shù)學三角函數(shù)模塊的命題趨勢，供讀者參考.

一、三角函數(shù)作為普通函數(shù)參與新函數(shù)構造，拓寬了命題思路

所以g(x)min=-g(x)max，即g(x)min+g(x)max=0.

又M=1-g(x)min,N=1-g(x)max,

所以M+N=2-(g(x)min+g(x)max)=2.

二、命題側重于考查學生對三角函數(shù)概念的理解與性質(zhì)的綜合運用的能力

例2(2019·全國卷Ⅰ理·11)關于函數(shù)f(x)=sin|x|+|sinx|有下述四個結論：

③f(x)在[-π,π]有4個零點 ④f(x)的最大值為2

其中所有正確結論的編號是

( )

A.①②④ B.②④

C.①④ D.①③

這種在一道選填題中考查三角函數(shù)的多種性質(zhì)的題型，在很多地方高考卷都有體現(xiàn).本題很好地將不同類型函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、函數(shù)零點及最值聯(lián)系起來，它們相互聯(lián)系互為依據(jù).因此，在教學中應側重于引導學生對數(shù)學的理解，讓學生在理解數(shù)學的基礎上建立各模塊知識間的網(wǎng)狀聯(lián)系.

三、綜合利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)以及函數(shù)求導等數(shù)學工具

例3(2018·全國卷Ⅰ理·16)已知函數(shù)f(x)=2sinx+sin2x，則f(x)的最小值是________.

解：從本質(zhì)上講，此問題是一個與三角函數(shù)有關的函數(shù)問題，我們可以從函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、函數(shù)零點、最值及圖象等方面入手深入研究.

由f(x)=2sinx+sin2x=2sinx(1+cosx)的最小正周期為2π，所以只需研究f(x)在[0,2π]上的最小值.

四、解三角形、三角函數(shù)與平面向量小范圍綜合成為考查常態(tài)

例4(2019·天津卷理·15)在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知b+c=2a，3csinB=4asinC.

(Ⅰ)求cosB的值；

從歷年高考試題看，以解三角形、三角函數(shù)與平面向量小范圍綜合作為基礎題將成為高考數(shù)學命題的常態(tài)，重點考查學生對正余弦定理與三角恒等變換的靈活運用.如2019年全國卷Ⅰ理科第17題、全國卷Ⅲ理科第18題和天津卷理科第7、15題等.

五、三角函數(shù)的概念、圖象、性質(zhì)和三角恒等變換仍然是備考的超重點

①f(x)在(0,2π)有且僅有3個極大值點

②f(x)在(0,2π)有且僅有2個極小值點

其中所有正確結論的編號是

( )

A.①④ B.②③

C.①②③ D.①③④

由f(x)在[0,2π]有且僅有5個零點，設其第5、6個零點分別是m,n,

本題重點考查學生對三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的理解.從2019全國卷命題來看，三角函數(shù)的概念、圖象、性質(zhì)與三角恒等變換等傳統(tǒng)內(nèi)容有所削弱，但是由于三角模塊概念的基礎性和應用的廣泛性，這一模塊是高中數(shù)學的重要組成部分，仍會是今后高考數(shù)學命題的超重點，如2019年全國卷Ⅱ理科第9、10題，全國卷Ⅲ理科第12題，天津卷理科第7題等.

六、教學啟示