廣東

潘巧玲

(作者單位：廣東省東莞市麻涌中學(xué))

在強(qiáng)調(diào)高考改革的今天，越來越多的高考試題呈現(xiàn)出回歸教材的趨勢，出題人通過改編、創(chuàng)新等手段賦予高考典型試題新的生命，這是高考命題的一種新走向.下面是筆者對教材中橢圓一個定值問題的深度探究，并對試題進(jìn)行變式與微拓展，以引起各位同行重視.

一、探究背景

高考命題呈現(xiàn)出回歸教材的趨勢，回歸教材的目的就是要尋“源”.教材是很好的母題庫，每年高考試題中出現(xiàn)不少讓學(xué)生感到陌生的題目，實際上大多數(shù)高考題都是由教材例題或習(xí)題改編而來的，恰當(dāng)?shù)淖兪脚c微拓展可以幫助學(xué)生架起一座知識與知識之間的橋梁，讓學(xué)生在已知水平和未知水平之間自然過渡，但“萬變不離其宗”，因此教師要引領(lǐng)學(xué)生在解決問題后，進(jìn)一步挖掘其中的教學(xué)價值.深度探究也是讓學(xué)生建立充足的知識儲備的過程，在解題時就能得心應(yīng)手.下面是教材中橢圓的一個定值問題.

題目1(人教A版選修4-4第15頁習(xí)題1.3第6題)已知橢圓的中心為O，長軸、短軸的長分別為2a,2b(a>b>0)，A,B分別為橢圓上的兩點(diǎn)，且OA⊥OB.

(2)求△AOB面積的最大值和最小值.

分析：在圓錐曲線中定點(diǎn)定值問題是高考數(shù)學(xué)解析幾何類試題考查的熱點(diǎn)問題，其中定值問題一般選擇坐標(biāo)法和參數(shù)法解題，利用圓錐曲線的性質(zhì)找等量關(guān)系.

二、探究過程

1.解法探究

試題解答：第(1)問，

2.試題呈現(xiàn)

教材中的這個習(xí)題，不禁讓筆者想起了高三二輪復(fù)習(xí)中的一個模擬試題.

(1)求橢圓Ω的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)直線l′交橢圓Ω于C,D兩點(diǎn)，且OC⊥OD，求證：O到直線l′的距離為定值.

當(dāng)直線l′的斜率不存在時，設(shè)直線l′的方程為x=x0.

3.雙曲線中定值問題的探究

橢圓和雙曲線在解析幾何中處于重要的地位，有很多類似的性質(zhì)，兩者之間密切聯(lián)系，規(guī)律和諧，辯證統(tǒng)一.如果我們用類比的方法去學(xué)習(xí)這兩部分的知識，可起到事半功倍的效果.有了以上兩個題目做基礎(chǔ)，我們發(fā)現(xiàn)橢圓中有的結(jié)論，雙曲線中也會有類似的結(jié)論.

4.橢圓、雙曲線中定值的類比

通過以上的證明，筆者發(fā)現(xiàn)題目1,題目2所出現(xiàn)的定值不是偶然，而是它們本身蘊(yùn)含的規(guī)律，于是有了以下結(jié)論：

從橢圓到雙曲線的類比，將直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)融為一體，能有效地培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力、合情推理和探究能力.當(dāng)然類比的結(jié)論不一定完全相同，也不一定適用，是否正確需要邏輯證明驗證.

三、試題變式與微拓展

(1)求雙曲線的方程；

(1)求橢圓C的方程；

(2)斜率為定值k的直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，且滿足|OA|2+|OB|2的值為常數(shù)(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)).

(ⅰ)求k的值以及這個常數(shù)；

(2)(ⅰ)設(shè)直線l的方程為y=kx+b,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，

(1)求橢圓C的方程；

(2)證明：由題意可知直線l的斜率存在，且不為0.設(shè)直線l的方程為y=kx+b(b≠0)，點(diǎn)P,Q的坐標(biāo)設(shè)為P(x1,y1),Q(x2,y2)，令x=0可得y=b，即|NO|=|b|，

Δ=64k2b2-4(1+4k2)×4(b2-1)>0，即1+4k2-b2>0.

如果教師在課堂上僅處理橢圓與雙曲線的定值問題就結(jié)束了，那么這道教材例題的價值就沒有被充分挖掘出來.通過以上四個變式探究與微拓展，激發(fā)了學(xué)生探究數(shù)學(xué)的興趣和熱情，同時在探究的過程中，教會學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)，學(xué)會發(fā)現(xiàn)問題并解決問題.通過變式教學(xué)，在探究問題和解決問題的過程中，調(diào)動學(xué)生的積極性，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維，加深同學(xué)們對知識的理解程度，進(jìn)一步把握知識的本質(zhì)與聯(lián)系.

四、教學(xué)反思

1.激活教材，融會貫通

通過對教材中橢圓一個定值問題的深度探究，引出了多個變式拓展，通過變式再反思，又得到了很多結(jié)論.因此，筆者的感觸是，教材習(xí)題是值得挖掘的，而且是大有挖掘的價值，不要輕易放過教材中的任何一道題目，唯有以教材為本源，深度挖掘教材，靈活利用教材，才能讓高三復(fù)習(xí)真正“回歸教材”，才能溫故知新.教材的每道例題、習(xí)題都有它存在的價值，它們是專家經(jīng)驗的積累，智慧的結(jié)晶，所以教師要學(xué)會引領(lǐng)學(xué)生做深度研究，教材永遠(yuǎn)是命題的本源，教會學(xué)生利用好教材，善于積累.總之，課堂教學(xué)要遵循以教材為主的原則，既沒有過時，更不能停留在口號上，如果教學(xué)中對例題的講解僅僅是照本宣科,忽視例題的典型示范作用,那么就不能讓學(xué)生體會到例題中蘊(yùn)含的解題思想和方法，因此教師可以通過改編教材習(xí)題中的某些條件或結(jié)論，得到解決一類問題的方法，從而充分發(fā)揮它們的教學(xué)功能.

2.重視探究，觸類旁通