四川

杜海洋

(作者單位：四川省成都經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)校)

數(shù)列是一種函數(shù)，所以函數(shù)求最值或值域的很多方法如配方法、數(shù)形結(jié)合、基本不等式、導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性等同樣適用于它，又由于數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，在求最值或值域時，又表現(xiàn)出它的特殊性，有些特殊的方法如放縮法和夾逼法等也可用于數(shù)列.下面筆者通過近幾年高考或各地模擬試題中出現(xiàn)的數(shù)列考查方法進(jìn)行歸類總結(jié)，以饗讀者！

方法一、配方法

【例1】已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)an=-2n+15，則其前n項(xiàng)和Sn取得最大值時n的值為

( )

A.1 B.7或8

C.8 D.7

【例2】已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a1<0，a8+a9>0，a8·a9<0.則使Sn>0的n的最小值為

( )

A.8 B.9

C.15 D.16

【點(diǎn)評】數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和可以看作是一個關(guān)于n的二次函數(shù)Sn=An2+Bn；等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式可以看作是一個關(guān)于n的一次函數(shù).一般等差數(shù)列求前n項(xiàng)的和的最小值或最大值常見的有兩種方法：一是可以通過通項(xiàng)得出數(shù)列的單調(diào)性，如果單調(diào)遞增，就求出負(fù)數(shù)最大的項(xiàng)，如果單調(diào)遞減，就求出正數(shù)最小的項(xiàng)，再進(jìn)一步求出前n項(xiàng)的和的最小值或最大值.二是通過求和公式轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)Sn=An2+Bn，再利用配方法進(jìn)行求解，其中注意n只能取正整數(shù).

方法二、數(shù)形結(jié)合法

【例3】設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a3=12,S12>0,S13<0.

(Ⅰ)求公差d的取值范圍;

(Ⅱ)指出S1,S2,…,S12中哪一個值最大,并說明理由.

【點(diǎn)評】數(shù)列是一個特殊的函數(shù)，等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和可以看作是一個關(guān)于n的二次函數(shù)Sn=An2+Bn，利用圖象解答，其中要注意等差數(shù)列的前n項(xiàng)和不一定在拋物線的頂點(diǎn)取得最大(小)值，因?yàn)閿?shù)列中的自變量n取正整數(shù).若an+1=0，則Sn與Sn+1相等，且均為最值.

方法三、單調(diào)性法

【例4】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn=2an-2.

(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

方法四、基本不等式法

( )

C.3 D.4

方法五、判別式法

【例6】若存在等比數(shù)列{an}，使得a1(a2+a3)=6a1-9，則公比q的最大值為

( )

當(dāng)q+q2=0時，易知q=-1，滿足題意；

方法六、導(dǎo)數(shù)法

【例7】設(shè)等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)之和分別為Sn，Tn.若對任意n∈N*有①(n+3)Sn=(3n+1)Tn；②an2+27≥λ·bn均恒成立，且存在n0∈N*，使得實(shí)數(shù)λ有最大值，則n0=

( )

A.6 B.5

C.4 D.3

∴n∈N*時，f(5)取得最小值.則n0=4.故選C.

【點(diǎn)評】本題考查了等差數(shù)列的求和公式及其性質(zhì)、利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性.其中注意，第一，利用導(dǎo)數(shù)求數(shù)列的最值，不能直接求，必須先構(gòu)造對應(yīng)的函數(shù)，因?yàn)閿?shù)列是離散型函數(shù)，不可導(dǎo).第二，注意數(shù)列對應(yīng)的函數(shù)的單調(diào)性和數(shù)列本身的單調(diào)性是有區(qū)別的，當(dāng)數(shù)列的函數(shù)在(0，a)上單調(diào)遞增，在(a,+∞)上單調(diào)遞減時，數(shù)列不一定在最靠近x=a的地方取得最大值，必須把x=a附近的整數(shù)值代進(jìn)去比較，才能找到最大值.所以一般利用導(dǎo)數(shù)求數(shù)列的最值要慎重.

方法七、其他方法

1.極限思想或者放縮法

( )

2.二項(xiàng)式的展開式

(Ⅰ)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；

【解析】(Ⅰ)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1=1，公差d≠0，且S1，S3，S9成等比數(shù)列，則(3+3d)2=9+36d，解得d=2，所以an=2n-1(n∈N*)，故Sn=n2.

3.夾逼法

【例10】已知{an}是等差數(shù)列，Sn為{an}的前n項(xiàng)和，若a1=5，S4=8，則nSn的最大值為

( )

A.16 B.25

C.27 D.32

∵n是正整數(shù)，∴只有當(dāng)n=4時，才滿足不等式組，即當(dāng)n=4時，nSn最大，最大值為42(6-4)=16×2=32，故選D.