張 明，陶延林，山中雪

(青海省第一地質勘查院，青海 海東 810699)

為了獲得精確、實時的礦區(qū)空間地理信息，測量人員需要采用多種方法對測量數(shù)據(jù)函數(shù)模型進行研究，隨著測量技術及數(shù)據(jù)處理理論的不斷發(fā)展，測量數(shù)據(jù)的處理精度也在不斷提高，目前，采用總體最小二乘算法來解決變量中的誤差以及模型參數(shù)估值問題受到科技工作者的廣泛關注[1]。

國內(nèi)外學者對最小二乘算法在礦山測量數(shù)據(jù)中的應用進行了大量的研究，王樂洋采用總體最小二乘算法對大地測量數(shù)據(jù)進行了反演理論及應用研究[2]；汪奇生等研究了總體最小二乘算法的線性回歸迭代算法，針對線性回歸模型的特點，以一元線性回歸為例，運用拉格朗日原理推導了線性回歸迭代算法，該算法推導過程簡單且易于實現(xiàn)，通過算例驗證了該算法的正確性[3]。

1 總體最小二乘算法函數(shù)模型求解

本文主要運用基于拉格朗日函數(shù)與奇異值分解函數(shù)兩種算法對總體最小二乘算法函數(shù)模型參數(shù)進行求解，在無加權條件下，采用奇異值分解函數(shù)算法對等權條件下的總體最小二乘算法對測量數(shù)據(jù)進行求解；在加權條件下，則采用拉格朗日函數(shù)算法更適合對測量數(shù)據(jù)進行求解，并對測量數(shù)據(jù)進行迭代處理[4]。

1.1 基于奇異值分解算法

采用矩陣奇異值算法對解決最小二乘問題以及最優(yōu)化問題起到重要作用，奇異值分解定義如下[5]：

(1)

BCrm×n

(2)

式中:σi為矩陣B的奇異值，r為矩陣B的秩，BTB的特征值為λ1≥λ2≥…≥λr=…=λn。

根據(jù)推導可得出基于奇異值分解的參數(shù)向量總體最小二乘解為：

(3)

(4)

1.2 基于拉格朗日函數(shù)的迭代算法

由于等權條件下利用奇異值分解函數(shù)的總體最小二乘算法能夠有效解決礦山測量數(shù)據(jù)中模型參數(shù)的求解問題，但是在大多數(shù)情況下，該方法不能滿足測量精度的要求，因此，為了解決不等精度條件下模型參數(shù)的求解問題，研究了基于拉格朗日函數(shù)的迭代算法，該算法模型[6]：

f(v,b,λ,x)=vTQ-1v+bTQB-1b+2λT(l+v-Bx-EBx)

(5)

式中：λ為拉格朗日乘數(shù)；Q為權矩陣P的協(xié)因數(shù)陣。

經(jīng)過推導可得出：

(6)

對式(6)整理可得到各個變量的函數(shù)值：

(7)

(8)

(9)

式中：P與PB的關系為：vTPv+bTPBb=min，r為多余觀測，通過采用改正后的系數(shù)矩陣迭代和觀測向量，從實現(xiàn)對模型參數(shù)的求解。

2 模型參數(shù)求解計算

以某礦區(qū)為例，對其高程點進行高程異常擬合試驗，在試驗區(qū)內(nèi)布置控制點27個，采用三等高程控制測量方法得到控制點高程(h)，通過使用全球定位系統(tǒng)C級控制網(wǎng)，采用三維無約束平差方法得到大地高(H)與平面坐標(x,y)，其中大地高(H)是地面點沿參考橢球面法線到參考橢球面的距離。試驗采用WGS-84坐標系統(tǒng)的參考橢球面作為投影面。高程異常δ的取值：

δ≈H-h

(10)

控制點點位分布如圖1所示，采用二次多項式模型對描述的高程異常與模型變量進行統(tǒng)計性規(guī)律[7]。

圖1 控制點的點位分布

把觀測值看作為等權觀測，采用總體最小二乘算法(基于奇異值分解)、最小二乘算法，對模型參數(shù)進行求解，選取控制點(2,4,5,7,9,11,12,15,16,18,19,20,22,23,25)作為已知點，把其余控制點作為檢核點，對擬合模型參數(shù)(α0,α1,α2,α3,α4,α5)進行求解，總體最小二乘算法與最小二乘算法求解的參數(shù)見表1。

表1 總體最小二乘算法與最小二乘算法求解的參數(shù)

通過使用總體最小二乘算法與最小二乘算法，對已知點的擬合殘差與檢核點的擬合殘差進行求解，結果見表2。

表2 模型擬合殘差 mm

已知點的擬合殘差與檢核點的擬合殘差如圖2所示。

圖2 已知點與檢核點的擬合殘差

根據(jù)上述分析的擬合殘差，對外符合精度與內(nèi)符合精度分別進行了計算模擬，把單位權重誤差δ0作為衡量模型內(nèi)符合精度的依據(jù)，把檢核點擬合的殘差值中的誤差作為衡量模型外符合精度的依據(jù)[8]：

(11)

表3 模型擬合的精度

由表3可知：當采用總體最小二乘法進行模擬參數(shù)推估時，其擬合精度并不是顯著高于最小二乘法，但是算法的幾何意義與理論意義表明，總體最小二乘算法處理數(shù)據(jù)的精度要遠遠高于最小二乘法[9]。推斷原因可能為：礦區(qū)測量數(shù)據(jù)的精度受數(shù)據(jù)自身特征以及模型的適應性影響，因此對礦區(qū)高程異常擬合進行加權下的研究，對模型的觀測量向量進行定權：

(12)

式中：di為控制點間的平面距離；Pi為元素的權值，[]表示取不大于元素的整數(shù)，根據(jù)元素的權值對角權矩陣P進行確認，利用加權最小二乘算法對模型參數(shù)進行推估；采用總體最小二乘法，對模型參數(shù)進行4次迭代，得到的參數(shù)估值見表4。

通過加權條件下的模型對模型參數(shù)進行求解，擬合點的殘差見表5。

通過使用檢驗點擬合的殘差來實現(xiàn)對總體最小二乘算法和最小二乘短發(fā)的方差，模型擬合精度見表6。

從表6分析可知：在加權條件下，采用總體最小二乘算法計算出的模型參數(shù)的精度要高于最小二乘算法計算出的模型參數(shù)的精度，而且在加權條件下，計算出的模型參數(shù)的精度較高，但是并不是很顯著。

當對礦區(qū)高程異常進行擬合時，根據(jù)現(xiàn)在礦區(qū)測量要求(對觀測值的精度)，采用加權條件下的總體最小二乘算法，對擬合模型參數(shù)求解出的數(shù)據(jù)在精度上是遠遠滿足要求的。

表4 加權條件下總體最小二乘法和最小二乘算法模型參數(shù)

表5 加權條件下模型擬合殘差

圖3 加權條件下已知點與檢核點的擬合殘差

表6 模型擬合的精度

3 結 語

本文總結了基于拉格朗日函數(shù)算法與奇異值分解函數(shù)的總體最小二乘算法的函數(shù)模型，分析了函數(shù)本身的特點，然后在某礦區(qū)進行應用與對比，應用得出，當對礦區(qū)高程異常進行擬合時，根據(jù)現(xiàn)在礦區(qū)測量要求，采用加權條件下的總體最小二乘算法對擬合模型參數(shù)的求解出的數(shù)據(jù)在精度上是遠遠滿足要求的，研究為解決礦山測量數(shù)據(jù)存在的問題提供一定理論依據(jù)。