冉星浩，陶建鋒，賀思三

(空軍工程大學(xué)防空反導(dǎo)學(xué)院， 西安 710051)

0 引言

目標(biāo)跟蹤在民用以及軍事層面均有普遍性的運(yùn)用，例如飛機(jī)和船舶跟蹤等。這其中，多目標(biāo)跟蹤問題更是當(dāng)前世界上討論的關(guān)鍵問題[1-2]。然而在雜波環(huán)境下，多目標(biāo)跟蹤與單目標(biāo)跟蹤相比難度較大[3]。

2000年Mahler在隨機(jī)有限集理論的基礎(chǔ)上，提出了基于隨機(jī)有限集的概率假設(shè)密度的濾波方法(PHD)來解決多目標(biāo)跟蹤問題[4]，相比于傳統(tǒng)的關(guān)聯(lián)算法，PHD算法不僅避免了復(fù)雜的數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)過程，同時(shí)跟蹤精度和實(shí)時(shí)性更高。

PHD算法目前可以分為兩種：一種是高斯混合PHD(GM-PHD)[5]，這種算法使用的噪聲模型為高斯模型，受限于噪聲模型，同時(shí)會(huì)出現(xiàn)計(jì)算精度較低的問題；另一種是粒子PHD算法(PF-PHD)，可以適用于非線性非高斯情況下[6]，不受噪聲模型限制同時(shí)精度較高，但是計(jì)算量較大，會(huì)出現(xiàn)濾波發(fā)散的情況使得跟蹤效果往往達(dá)不到要求。

為了解決以上問題，文獻(xiàn)[7]提出了高斯混合粒子PHD(GMP-PHD)濾波方法，這種方法綜合了以上兩種PHD算法優(yōu)點(diǎn)，然而這種方法在進(jìn)行重要性采樣時(shí)沒有考慮最新的量測信息，使得采樣的樣本與真實(shí)的后驗(yàn)概率所得到的樣本偏差較大，影響濾波效果。

針對以上問題，文中在高斯混合粒子PHD基礎(chǔ)上，提出基于模糊混合退火分布[8]的改進(jìn)高斯混合粒子PHD算法 (I-GMP-PHD)。該算法在高斯混合粒子PHD濾波的基礎(chǔ)上，采用狀態(tài)變量分解和通過模糊系統(tǒng)引入退火因子的方法產(chǎn)生最優(yōu)的建議分布函數(shù)，這樣得到的重要性密度函數(shù)[9]融入了最新的量測信息，同時(shí)克服了轉(zhuǎn)移先驗(yàn)概率密度存在的問題。仿真結(jié)果表明該算法相比于傳統(tǒng)算法，大大提高了濾波精度和系統(tǒng)穩(wěn)定性。

1 算法原理

1.1 標(biāo)準(zhǔn)粒子濾波算法

粒子濾波算法起源于蒙特卡羅思想，通過粒子集來近似目標(biāo)的后驗(yàn)概率密度函數(shù)，適用于任何形式的狀態(tài)模型[10]。其實(shí)質(zhì)是通過對重要性密度函數(shù)采樣得到一組隨機(jī)樣本來近似目標(biāo)后驗(yàn)概率密度函數(shù)，得到的樣本稱為粒子[11]，然后計(jì)算粒子權(quán)值，用粒子和權(quán)值加權(quán)得到樣本均值代替貝葉斯估計(jì)中的積分運(yùn)算得到目標(biāo)狀態(tài)估計(jì)[12]。

1.2 模糊混合退火粒子濾波算法

針對粒子濾波出現(xiàn)的粒子退化問題，混合退火粒子濾波由于分別采用轉(zhuǎn)移先驗(yàn)和融入了最新量測信息的后驗(yàn)概率密度作為建議分布進(jìn)行采樣，融合了兩者的優(yōu)點(diǎn)而受到廣泛關(guān)注。但是由于是利用先驗(yàn)分布來得到表征狀態(tài)的粒子，混合建議分布存在與似然分布偏差較大的問題。針對以上問題，再利用狀態(tài)噪聲和量測噪聲統(tǒng)計(jì)特性之間的關(guān)系，引入退火因子[13]來解決。

1.2.1 混合退火建議分布

(1)

(2)

式(2)詳細(xì)推導(dǎo)見文獻(xiàn)[10]附錄。其中退火參數(shù)β范圍為0≤β≤2，選擇原則為：

1) 若Σd<Σv，此時(shí)先驗(yàn)分布大部分處于似然函數(shù)平坦區(qū)外，取0<β<1使得先驗(yàn)函數(shù)更為平坦；

2)若Σd≈Σv，此時(shí)先驗(yàn)分布與似然函數(shù)大部分重合，取β=1，即采用先驗(yàn)分布作為建議分布，濾波性能更好；

3)若Σd>Σv，此時(shí)先驗(yàn)分布相比于似然函數(shù)尖峰來說較平坦，取1<β<2，使先驗(yàn)分布形狀變尖銳，即采用似然函數(shù)為建議分布。

1.2.2 模糊推理系統(tǒng)

在傳統(tǒng)的混合退火建議分布中，概率密度分布存在不確定性，然而退火參數(shù)β的取值固定，從而影響粒子濾波效果。為了解決這個(gè)問題，通過引入模糊推理系統(tǒng)FIS(fuzzy inference system)，對傳統(tǒng)的混合退火粒子濾波算法進(jìn)行改進(jìn)，利用模糊系統(tǒng)依據(jù)輸入變化特征做出不同的決策，進(jìn)行輸出，得到模糊混合退火粒子濾波算法(FAHAPF)。

定義調(diào)節(jié)b：

(3)

退火參數(shù)β取值由b進(jìn)行調(diào)節(jié)。

定義模糊子集equal為在1附近，more代表基本<1，less代表基本>1，β的FIS規(guī)則為：

(4)

其中，β和b的隸屬度函數(shù)如圖1和圖2所示。

圖1 β的隸屬度

圖2 b的隸屬度

1.2.3 模糊混合退火粒子濾波算法

混合退火粒子濾波算法步驟如下：

1)初始化：首先對狀態(tài)向量進(jìn)行分解，通過以上FIS確定退火因子β并設(shè)計(jì)建議分布；

4)狀態(tài)估計(jì):在已知q(xk|z1,k)的情況下，估計(jì)系統(tǒng)狀態(tài)及誤差：

(5)

(6)

(5)令k=k+1，返回步驟2)。

2 PHD濾波算法

2.1 PHD濾波原理

PHD濾波分為預(yù)測和更新[14]兩步：

1)預(yù)測

(7)

2)更新

(8)

式中：βk|k-1(xk|xk-1)為衍生目標(biāo)的強(qiáng)度，γk(xk)為新出生目標(biāo)的PHD，ek|k-1(xk-1)fk|k-1(xk|xk-1)為存活目標(biāo)的強(qiáng)度，ek|k-1(xk-1)為目標(biāo)存活概率，fk|k-1(xk|xk-1)是目標(biāo)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率；PD(xk)為檢測概率，g(z|xk)為目標(biāo)似然函數(shù)，κk(z)為雜波強(qiáng)度。

2.2 GMP-PHD濾波

傳統(tǒng)的高斯混合粒子PHD濾波利用一組高斯項(xiàng)相加來近似目標(biāo)的概率分布[15]，分為預(yù)測和更新兩步。

1)預(yù)測

Dk|k-1(x)=Ds,k|k-1(x)+Dβ,k(x)

(9)

(10)

(11)

對高斯項(xiàng)采樣得：

(12)

式中：

(13)

(14)

化簡可得：

(15)

2)更新

GMP-PHD濾波中似然函數(shù)為：

g(z|x)=N(z;h(x),R)

(16)

更新方程為：

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

GMP-PHD算法綜合了兩種PHD算法的優(yōu)點(diǎn)，但是由于在重要性采樣過程中沒有考慮到量測值，導(dǎo)致與真實(shí)值存在偏差從而出現(xiàn)精度不高、濾波發(fā)散等問題[16]，這樣對于要求比較高的系統(tǒng)，算法達(dá)不到預(yù)期的要求。因此，提出了改進(jìn)的I-GMP-PHD(improved GMP-PHD)算法。

2.3 改進(jìn)I-GMP-PHD算法步驟

結(jié)合FAHAPF算法和上述GMP-PHD濾波方法，改進(jìn)I-GMP-PHD算法的步驟描述如下：

3)粒子的預(yù)測和更新：采樣后根據(jù)樣本狀態(tài)和權(quán)值進(jìn)行預(yù)測，再利用量測值對預(yù)測值進(jìn)行更新，步驟如下:

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

4)權(quán)值遞推：

(32)

(33)

5)PHD的預(yù)測與更新：

Dk|k-1(x)=Ds,k|k-1(x)+Dβ,k(x)

(34)

式中：

(35)

(36)

化簡可得：

(37)

PHD更新為：

(38)

權(quán)值更新為：

(39)

6)目標(biāo)個(gè)數(shù)估計(jì)和更新：

(40)

(41)

3 仿真結(jié)果與分析

為了驗(yàn)證改進(jìn)算法優(yōu)越性，分別用GMP-PHD、和I-GMP-PHD算法的性能進(jìn)行對比分析。

3.1 仿真環(huán)境

仿真設(shè)定為二維平面區(qū)域中，跟蹤目標(biāo)數(shù)目未知且變化的多目標(biāo)跟蹤例子。目標(biāo)跟蹤模型為：

xk+1=Fxk+Gwk

(42)

(43)

(44)

(45)

上述式中，xk包括目標(biāo)的位置與速度。

仿真中共有5個(gè)目標(biāo)，設(shè)定初始時(shí)刻存在一個(gè)目標(biāo)，初始狀態(tài)為(-40,3,40,-1),之后有4個(gè)目標(biāo)交替出現(xiàn)。目標(biāo)以w=0.025 rad/s做曲線運(yùn)動(dòng)，各個(gè)目標(biāo)之間運(yùn)動(dòng)軌跡有交叉，假設(shè)目標(biāo)存活概率與檢測概率均為0.99。wk是標(biāo)準(zhǔn)差方差為0.01的高斯白噪聲；vk為量測噪聲，方位角誤差方差為0.01 rad2，距離誤差方差為0.1。采樣周期為1 s，仿真時(shí)間為100 s。采取最優(yōu)子模型分配距離(optimal subpattern assignment,OSPA)作為多目標(biāo)跟蹤性能的評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。

3.2 仿真結(jié)果分析

根據(jù)設(shè)定的仿真環(huán)境，分別用兩種算法對5個(gè)目標(biāo)進(jìn)行跟蹤，結(jié)果如圖3～圖7所示。

圖3 目標(biāo)真實(shí)航跡

圖4 GMP-PHD狀態(tài)估計(jì)圖

圖5 I-GMP-PHD狀態(tài)估計(jì)圖

圖3為雜波環(huán)境下目標(biāo)真實(shí)軌跡圖，圖4、圖5和圖6分別是GMP-PHD算法，I-GMP-PHD算法的跟蹤效果對比圖與OSPA距離對比圖。從圖4和圖5可以看出兩種算法都能較好地跟蹤多個(gè)目標(biāo)，但是從圖6可以看出I-GMP-PHD跟蹤多目標(biāo)OSPA距離小于GMP-PHD，跟蹤精度要高于GMP-PHD。這是因?yàn)楦倪M(jìn)算法采取模糊混合退火分布產(chǎn)生最優(yōu)的建議分布，充分考慮了量測值，同時(shí)引入了退火因子克服了轉(zhuǎn)移先驗(yàn)分布存在的問題，解決了粒子退化問題，濾波效果更佳，大大提高了跟蹤精度，跟蹤誤差更小。

圖6 OSPA距離對比圖

圖7 目標(biāo)個(gè)數(shù)估計(jì)

同時(shí)從圖7看出兩種算法對目標(biāo)個(gè)數(shù)估計(jì)與真實(shí)的目標(biāo)個(gè)數(shù)大致相同，但是GMP-PHD算法對目標(biāo)個(gè)數(shù)估計(jì)存在較大誤差，而I-GMP-PHD算法對目標(biāo)個(gè)數(shù)估計(jì)更加精確。

4 結(jié)論

文中從高斯混合粒子PHD濾波算法中存在的跟蹤精度不高和濾波發(fā)散問題出發(fā)，提出了一種基于模糊混合退火分布的多目標(biāo)高斯混合粒子PHD算法。首先利用模糊推理系統(tǒng)確定調(diào)節(jié)因子調(diào)節(jié)退火系數(shù)，然后設(shè)計(jì)改進(jìn)的混合退火分布產(chǎn)生重要性密度函數(shù)融入GMP-PHD濾波框架中，再進(jìn)行PHD更新。仿真結(jié)果表明，改進(jìn)算法能夠有效地跟蹤多個(gè)目標(biāo)，相比于GMP-PHD濾波算法，跟蹤精度大大提高，系統(tǒng)穩(wěn)定性也得到進(jìn)一步加強(qiáng)。