摘 要：本文通過對2019年寧德市畢業(yè)班質量檢測試卷第22題學生解答情況進行研究，得出以下結論：初中函數(shù)的教學要加強學生觀察能力和數(shù)形結合能力的培養(yǎng)，用聯(lián)系的眼光看待方程、函數(shù)、不等式等問題.學生函數(shù)學習能力的發(fā)展既需要活動經驗的積累又應加強通性通法的訓練.

關鍵詞：函數(shù)問題;解答分析;教學啟示

作者簡介：繆凌穎 （1988-），男，福建寧德人，本科，中學一級教師 ，研究方向：初中數(shù)學教學.

在2019年寧德市畢業(yè)班質量檢測試卷中，筆者命制了一道以反比例函數(shù)為背景的中檔試題，引發(fā)了本市師生的熱烈討論.現(xiàn)將該題的命題思考、學生的典型錯誤、優(yōu)秀解法、教學啟示整理成文.

1 試題的命制歷程與思考

1.1 試題呈現(xiàn)

已知反比例函數(shù)圖象上兩點A（2，3），B（-2x+2，y1）的位置如圖1所示.

（1）求x的取值范圍;

（2）若點C-x，y2也在該反比例函數(shù)的圖象上，試比較y1，y2的大小.

1.2 試題原型

（2018年南京中考第18題）如圖2，在數(shù)軸上，點A，B分別表示數(shù)1，-2x+3.

（1）求x的取值范圍;

（2）數(shù)軸上表示數(shù)-x+2的點應落在（）.

A.點A的左邊

B.線段AB上

C.點B的右邊

1.3 命題的思路與價值分析

原題改變了以往比較數(shù)軸上兩定點所表示實數(shù)的大小的命題方式，將數(shù)軸上點的相對位置、實數(shù)大小比較、不等關系、參數(shù)問題等知識巧妙結合，命制了一道富有創(chuàng)意的試題，較好地考查學生應用意識、數(shù)形結合、邏輯推理等數(shù)學素養(yǎng).本命題組借助原題的立意，結合要考查的知識進行二次創(chuàng)新，將一維數(shù)軸上的位置關系問題拓展為二維平面反比例函數(shù)圖象上位置關系問題.改編后，試題令人耳目一新，難度適中.在原題的基礎上融入了函數(shù)的單調性，有效地考查了通性通法，同時注意到了與初高中函數(shù)性質的銜接.

2 學生答題情況反饋

試題定稿后，命題組預估兩個小題的難度分別為0.66和0.22，然而實測的結果卻出乎預料：兩個小題的難度分別只有0.24和0.15，是什么因素造成如此巨大的反差呢？筆者走訪了市內的幾所初中，通過對師生的訪談，了解了部分學生解題的想法，收集了一些典型錯誤及優(yōu)秀解答等.

2.1 學生典型錯解與分析

2.1.1 關于第（1）問

錯解1 因為點B在第一象限，

所以點B的橫坐標大于0.

所以-2x+2>0.

所以-2x>-2.

所以x<1.

錯解2 因為點B在反比例函數(shù)圖象上，

所以點B的橫坐標不為0.

所以-2x+2≠0.

所以x≠1.

錯解3 因為點A，B在反比例函數(shù)圖象上，且點B在 點A的右邊，則點B的橫坐標大于點A的橫坐標.

所以x>2.

錯解4 因為點A（2，3）在反比例函數(shù)圖象上，

所以該反比例函數(shù)的表達式為y=6x.

所以由圖象可知點B的縱坐標0

將y1=1代入y=6-2x+2，解得x=-2.

將y2=2代入y=6-2x+2，解得x=-12.

所以-2

評析 錯解1，2具有共性，失誤的原因顯然是對題干中的關鍵題眼——“位置”，只關注到點B在第一象限，卻忽略了A，B兩點的相對位置，這暴露出學生識圖能力的不足，在函數(shù)學習中對數(shù)形結合的思想體悟不深，對函數(shù)學習存在畏懼心理;錯解3的形成原因是主觀上認為點B的橫坐標就是x;錯解4失誤的原因是對不等式的解理解偏差，認為0

2.1.2 關于第（2）問

錯解1 因為該反比例函數(shù)的表達式為y=6x，

所以設x=-1，則可得B（4，1.5），C（1，6）.

所以y2>y1.

錯解2 因為-x是負的，

所以點C在第三象限，則可得y2<0.

因為點B在第一象限，則可得y1>0，

所以y1>y2.

錯解3 將B-2x+2，y1、C-x，y2分別代入y=6x，得y1=6-2x+2，y2=-6x.

所以y2-y1=6-2x+2--6x=12-6x-2x2+2x=6-3x-x2+x.

所以y2-y1<0，

所以y1>y2.

評析 錯解1的原因是學生用特殊來代替一般，從考試策略上看，特殊值法對付選擇題不失是一種有效的方法，但對于解答題，只能用特殊值法去推斷結論，而完整解答，還要依賴嚴格的推斷去得到一般性的結果.組織訪談時，學生表示一般情形難以說明，只好用特值去猜想，得出結論，獲取部分分值;錯解2的原因是學生對字母表示數(shù)的內在含義理解不深，以為-x就是負值;錯解3的原因是學生對作差結果的符號判斷出現(xiàn)偏差，實際上應該借助x<1來判斷分式6-3x-x2+x的分子和分母的符號來確定結果，這對初中生提出了比較高的要求.

2.2 學生優(yōu)秀解法展示與賞析

在調查訪談的過程中，盡管本題難度值較大，但部分優(yōu)秀學生還是能從不同角度去思考，從而解決問題，現(xiàn)將幾類典型解法予以整理呈現(xiàn).

解法1 （1）由函數(shù)圖象可知，點B在點A的右邊，所以-2x+2>2.

所以x<0.

（2）因為x<0，所以-x>0.

所以-2x>-x.

所以-2x+2>-x>0.

所以點C在第一象限內，且點C在點B左側.

由于反比例函數(shù)圖象在第一象限，y隨著x的增大而減小，所以y2>y1.

評析 第（1）問利用圖象上點的位置關系來判斷相應橫坐標之間的大小;第（2）問利用已有的x的取值范圍巧妙地構造-2x>-x，再借助不等式的性質將其放縮得到-2x+2>-x>0，這種解法需要學生敏銳地觀察到-2x+2與-x的一次項系數(shù)和常數(shù)項之間的關系，有較大地思維跨越.

解法2 （1）略.

（2）因為x<0，所以-x>0.

所以點C在第一象限內.

因為-2x+2--x=-x+2，又因為-x>0，所以-x+2>2>0.

所以-2x+2>-x.

所以點C在點B左側（下略）.

評析 利用求差法比較-2x+2與-x的大小，結合x的取值范圍判斷差的結果為正，進而判定出點C的位置，解答簡潔，彰顯通法.可見這類學生對不等式的知識掌握扎實，有較強的遷移與應用能力.

解法3 （1）略.

（2）因為x<0，所以-x>0.

所以點C在第一象限內.

①當-x=-2x+2時，x=2;

②當-x>-2x+2時，x>2;

③當-x<-2x+2時，x<2.

因為x<0，所以只有③式成立.

所以點C在點B左側（下略）.

評析 通過對-2x+2與-x的大小關系的分類分析，并結合x的取值范圍判斷每一種情況成立的可能性.這種解法在教材中有多次滲透，其核心思想就是利用分類討論來解決問題，發(fā)展學生的分析問題、解決問題的能力.

解法4 （1）略.

（2）因為2+-2x+22=-x+2，

所以-x+2>-x>0.

因為-2x+2>-x+2，

所以-2x+2>-x>0.（下略）

評析 利用中點坐標公式對A，B兩點橫坐標的中點-x+2位置作出判斷，再觀察-x+2與-x的大小關系來尋找-x的位置.這種解法雖有“超綱”之嫌，但學生能利用數(shù)形結合的思想尋找點的位置，也實屬難能可貴.

3 教學啟示

3.1 函數(shù)圖象教學，注重數(shù)形結合

數(shù)學是研究數(shù)量關系和空間形式的科學，以形助數(shù)或以數(shù)思形，通過數(shù)形結合的思想，建立數(shù)與形的聯(lián)系，這是學習者最需要培養(yǎng)的一種素養(yǎng)[1].作為承載數(shù)形結合思想的函數(shù)圖象教學，在起步階段一定要“慢節(jié)奏、細作圖、多分析”，保護學生的求知欲和學習興趣.如在“反比例函數(shù)的圖象與性質”教學中，至少要把握好三個環(huán)節(jié)：①讀式想圖，思考y=6x的圖象可能具備哪些性質？你能大致畫出它的大致圖象嗎？②描點作圖，通過逐步改變點的位置，觀察圖象的趨勢變化使學生深刻認識函數(shù)的單調性;③識圖析圖，結合已有的圖象分析，猜想函數(shù)的性質，進而歸納出反比例函數(shù)的圖象與性質.只有經歷觀察、猜想、操作、驗證等一系列數(shù)學活動過程，才能促進學生對函數(shù)性質的理解和數(shù)形結合思想的體悟.

3.2 理性精神培養(yǎng)，依賴邏輯推理

數(shù)學的理性精神，就是用理性的思維方式去挖掘數(shù)學內涵、揭示問題實質、辨別命題真?zhèn)危壿嬐评砟芰Φ陌l(fā)展是學生理性精神培養(yǎng)的主要途徑.邏輯推理包含推理能力和運算能力兩大核心概念，在所有的教學環(huán)節(jié)中都應無處不在，時時滲透.如在錯解1，2中出現(xiàn)了用特殊代替一般來推理的情況，還有主觀認為-x是負的現(xiàn)象，都是對推理的依據思考不足造成的.這就要求教師在教學中要注意引導學生對思考對象做出判定時應有理有據， 合乎邏輯.

3.3 常規(guī)基礎問題，夯實通性通法

通性通法是學生解題的根本，是培育奇思妙解的沃土.在常規(guī)基礎復習中，教師應避免追求技巧的滲透和知識的過度補充.例如本題第（2）問的問題核心不過是-2x+2與-x的大小比較，而在各版本的教材中都涉及到了用求差法判斷對象的大小;又如在不等式的章節(jié)學習中，都有遇到以下的問題情境：某電信公司有甲、乙兩種手機收費業(yè)務.甲種業(yè)務規(guī)定月租費10元，每通話1min收費0.3元;乙種業(yè)務不收月租費，但每通話1min收費0.4元.如何選擇更合算[2]？用分類討論的方法解決不等式大小比較問題.可見，只有在平時的教學實踐中將通性通法題練好、悟透，才能在不斷變換的情境中游刃有余.

3.4 變式訓練拓展，關注思維成長

變式訓練拓展是數(shù)學解題教學的一個重要組成部分，通過關注問題的本質不斷改變情境，引導學生用類比、歸納等方法認識變式，在問題解決和反思中認識變與不變，尋找共性與差異.例如，本題的改編就是將一維數(shù)軸問題情境變換為二維函數(shù)情境，其本質不變.當然，還可以將反比例函數(shù)改為一次函數(shù)問題、二次函數(shù)問題等.如已知A，B是一次函數(shù)在第一象限圖象上的兩點，它們的位置如圖3所示，若點A的橫坐標是-3m-2，點B的橫坐標是4，求m的取值范圍.變式訓練拓展的目的是為了發(fā)展學生的解題能力，從而促進思維成長.在平時教學中教師要有意識地變式，甚至和學生一起變式，這對學生的思維成長大有裨益.

3.5 聯(lián)系相關知識，指向初高銜接

從中考命題趨勢來看，函數(shù)含參、對稱性、單調性、定點等問題都體現(xiàn)初高銜接.如何在函數(shù)教學中逐步滲透呢？首先，要以聯(lián)系和生長的眼光定位函數(shù)知識，將函數(shù)、方程、不等式作為一個整體來看待;其次，要加強函數(shù)案例的研究，尋找解題策略，如函數(shù)單調性、定義域、值域問題都與不等式緊密聯(lián)系，函數(shù)交點、定點問題與方程息息相關;最后，積累函數(shù)學習經驗，讓學生多經歷“數(shù)——形——數(shù)”的反復探究過程，發(fā)展邏輯推理、直觀想象等數(shù)學核心素養(yǎng)，凸顯函數(shù)的育人價值.

參考文獻：

[1] 史寧中，王尚志.普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）解讀 [M].北京：高等教育出版社，2018.

[2] 趙敏，王永會.義務教育教科書數(shù)學八（下）[M]. 北京：北京師范大學出版社，2014.

（收稿日期：2019-08-01）