摘 要：本文從循環(huán)規(guī)律的圖形變化類型、旋轉(zhuǎn)規(guī)律的圖形變化類型、相似比例規(guī)律的圖形變化類型、跨學科規(guī)律的圖形變化類型四方面，通過例題詳解，得出解決這類問題的直接方法是根據(jù)各自特點，分析總結(jié)由圖形的變化所帶來的數(shù)據(jù)變化的規(guī)律，總結(jié)出通項公式，從而找到解決問題的途徑.

關(guān)鍵詞：圖形變化; 規(guī)律問題;求解策略

作者簡介：劉恩舉（1969-），男，甘肅酒泉人，本科，中學一級教師，研究方向：中學數(shù)學教學.

1 按循環(huán)規(guī)律的圖形變化類型

例1 如圖1，Rt△OA1C1，Rt△OA2C2，Rt△OA3C3，Rt△OA4C4……斜邊均在平面直角坐標系，xOy的坐標軸上∠A1OC1=∠A2OC2=∠A3OC3=∠A4OC4=…=30°，OA1=OC2，OA2=OC3，OA3=OC4…，依此規(guī)律變化，若已知A1（3，0），則點A2014的縱坐標為（ ）.

A. （2 3）2014B.-3×2 332013

C.0D.3×2 332013

解析 根據(jù)題意可知，在Rt△OA2C2中，OC2= OA1=3，∠A2OC2=30°，所以O(shè)A2=23OC2=3×2 33.

同理Rt△OA3C3，OC3= OA2=3×2 33.

所以O(shè)A3=23OC3=3×（2 33）2.

同理Rt△OA4C4，OC4= OA3=3×（2 33）2.

所以O(shè)A4=23OC4=3×（2 33）3.

所以O(shè)A2014=23OC2014=3×（2 33）2013.

根據(jù)2014=4×503+2，可判定A2014在y軸的正半軸上，A2014的縱坐標為3×（2 33）2013，選D.

評注 本題圖形的變化是循環(huán)變化的，抓住含30度直角三角形的性質(zhì)，應(yīng)用直角三角形中斜邊與直角邊的關(guān)系，總結(jié)出An的縱坐標的變化規(guī)律，就能得到方法，解決問題.

2 按旋轉(zhuǎn)規(guī)律的圖形變化類型

例2 平面直角坐標系xOy中，關(guān)于點B1作邊長為2的等邊△OA1B1的中心對稱圖形△B2A2B1，再關(guān)于點B2作△B2A2B1的中心對稱圖形△B2A3B3，如此反復(fù)作下去，n是正整數(shù)，A2n+1是△B2nA2n+1B2n+1的頂點，由此可知A2n+1的坐標（ ）.

A.（2n-1，3）B.（4n-1，3）

C.（4n+1，3）D.（2n+1，3）

解析 根據(jù)題意，由等邊△OA1B1的邊長為2，可知A1（1， 3），B1（2， 0）.

△B2A2B1是△OA1B1關(guān)于點B1的中心對稱圖形，點A2是點A1關(guān)于點B1的中心對稱點，所以2×2-1=3，2×0-3=-3，因此點A2（3， -3）.

同理，△B2A3B3是△B2A2B1關(guān)于點B2的中心對稱圖形，點A3是點A2關(guān)于點B2的中心對稱點，所以2×4-3=5，2×0-（-3）=3，因此點A3（5， 3）.

同理，△B3A4B4是△B2A3B3關(guān)于點B3的中心對稱圖形，點A4是點A3關(guān)于點B2的中心對稱點，所以2×6-5=7，2×0-3=-3，因此點A4（7， -3）.

由以上推理總結(jié)：1=2×1-1，3=2×2-1，5=2×3-1，7=2×3-1，….

可得An的橫坐標是2n-1，A2n+1的橫坐標就可知是2（2n+1）-1=4n+1.

從以上分析，n為奇數(shù)時，An的縱坐標是3;n為偶數(shù)時，An的縱坐標是-3.

由于2n+1是奇數(shù)，由此可知頂點A2n+1的縱坐標是3.因此△B2nA2n+1B2n+1（n是正整數(shù)）的頂點A2n+1（4n+1，3），答案為C.

評注 本題中圖形的變化是不斷作等邊三角形右側(cè)頂點的對稱圖形，實際是關(guān)于右側(cè)頂點旋轉(zhuǎn)所得，因此抓住旋轉(zhuǎn)之后坐標的聯(lián)系，寫出另外兩個頂點的坐標，觀察規(guī)律，總結(jié)出通項表達式，就會使問題突破.

3 按相似比例規(guī)律的圖形變化類型

例3 如圖3所示，平面直角坐標系xOy中有直線y=2x，過x軸上的點A1，A2，A3，…，An，An+1作x軸的垂線交直線y=2x于點B1，B2，B3，…，Bn，Bn+1，已知OA1=A1A2=A2A3=…=AnAn+1=1，連接A1B2，B1A2，B2A3，…，AnBn+1，BnAn+1，相互之間依次相交于點P1，P2，P3，…，Pn，形成的△A1B1P1，△A2B2P2，…，△AnBnPn…，它們的面積依次記為S1，S2，S3，…，Sn，則Sn為（ ）.

A. n3n-1 B.n+12n+1

C.n22n-1 D.n22n+1

解析 根據(jù)題意，過x軸上的點A1，A2，A3，…，An，An+1作x軸的垂線交直線y=2x于點B1，B2，B3，…，Bn，Bn+1，知OA1=A1A2=A2A3=…=AnAn+1=1.

由此可知點B1的橫坐標為1，點B1是直線y=2x上的點，將x=1代入y=2x可得點B1的縱坐標為2，即B1（1，2）.

同理可知點B2的橫坐標為2，點B2的縱坐標為4，即B2（2，4）.

類推可知，B3（3，6），…，Bn（n，2n）.

因為A1B1//A2B2，所以ΔA1B1P1∽ΔA2B2P1.

所以A1B1A2B2=12.

所以△A1B1P1與△A2B2P1對應(yīng)高的比為1∶2.

因為兩高之和為A1A2=1，所以△A1B1P1在A1B1邊上的高為13，所以△A1B1P1的面積S1=12×2×13=13=122×1+1.

同理，因為A2B2A3B3=46=23，所以△A2B2P2與△A3B3P2對應(yīng)高的比為2∶3.

因為兩高之和為A2A3=1，所以△A2B2P2在A2B2邊上的高為25，△A2B2P2的面積S2=12×4×25=45=222×2+1.

依次類推，S3=97=322×3+1，…，Sn=n22n+1，選D.

評注 圖形按相似變化發(fā)展，要靈活運用直線上點的坐標與方程的關(guān)系，將橫坐標代入直線解析式，可得直線上點的縱坐標，得出所求三角形的面積，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例，總結(jié)出面積的通項表達式，即可求解.

4 按跨學科規(guī)律的圖形變化類型

例4 如圖4所示，平面直角坐標系xOy中有一矩形，動點P從（0，3）開始沿直線所示方向出發(fā)，運動過程中每當碰到矩形的邊時反彈，反彈時遵循類似于光的反射定律的規(guī)律，即反彈時反射角等于入射角，問點P與矩形的邊第2013次相碰時，點P的坐標為（ ）.

A.（5，0）B.（6，4）C.（1，4）D.（8，3）

解析 運動過程中每當碰到矩形的邊時反彈，反彈時遵循類似于光的反射定律的規(guī)律，即反彈時反射角等于入射角，而且相碰前與碰后運動軌跡分居在法線的兩側(cè)，根據(jù)這一規(guī)律作出圖形.從圖5可知，運動過程具有周期性，每6次反彈為一個循環(huán)周期，即經(jīng)過6次反彈動點回到出點（0，3）. 2013÷6=335…3，即動點P從開始經(jīng)過2013次相碰時，經(jīng)過了335次循環(huán)周期，從出發(fā)點又到第3次反彈的位置，由圖5可知，此時點P的坐標為（8，3）， 選D.

評注 本題中動點運動時沿直線運動，相碰時遵循反射定律，根據(jù)反射定律作圖，分析總結(jié)運動中出現(xiàn)的周期性，按周期性特點，找到一個周期變化情況，分析整個過程中有多少個周期再余多少次，就可分析得知.跨學科的圖形變化問題，關(guān)鍵是按其它學科的規(guī)律畫圖或總結(jié)規(guī)律，分析綜合數(shù)學知識與方法，就會使問題得以解決.

參考文獻：

[1]葛培福.動態(tài)問題中扇形面積求解策略分析[J].數(shù)理化學習（初中版），2017（05）：20-21.

[2] 徐中華.“陰影面積問題”求解策略 [J].中學數(shù)學，2008（18）：34-36.

（收稿日期：2019-08-08）