摘 要：本文以一道聯(lián)考壓軸題為例，從不同角度引導(dǎo)學(xué)生思考與探索，生成了不同的解法，拓展了學(xué)生的解題思路，提升了學(xué)生的解題技能.

關(guān)鍵詞：聯(lián)考壓軸題;思路引導(dǎo);解法探究

作者簡介：韓敬（1977-），男，安徽定遠(yuǎn)人，本科，中學(xué)高級教師，研究方向：課堂優(yōu)化教學(xué)研究.

筆者所在學(xué)校的聯(lián)考試卷的壓軸題以正方形為背景，考查正方形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、角平分線等知識.批閱試卷后，統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)第（2）、（3）問得分率極低.為此，筆者安排了一節(jié)課， 引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度去思考，生成了不同的解法，達(dá)到了較好的教學(xué)效果.現(xiàn)整理成文，供參考.

1 題目呈現(xiàn)

題目 如圖1，點(diǎn)M是正方形ABCD邊BC上一點(diǎn)（點(diǎn)M不與點(diǎn)C，B重合），點(diǎn)E在線段AM上，且DA=DE，∠CDE的平分線交AM延長線于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)N.

（1）求證：∠AFD=45°;

（2）寫出線段BF，DF和AF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明;

（3）若正方形ABCD的邊長為3，點(diǎn)E恰為AM的中點(diǎn)，則BN=.

2 解法指引

2.1 第（1）問的解法思路

師：從結(jié)論入手，要證∠AFD=45°，結(jié)合正方形的性質(zhì)，45°角與什么特殊角有關(guān)聯(lián)？由45°角，你能想到什么圖形？

生1： 45°是90°的一半（生1給出了解法1）.

生2：等腰直角三角形的兩個銳角都是45°.

師（追問生2）： “∠AFD=45°”所在的三角形是等腰直角三角形嗎？

生2：不是.

師：我們怎么辦？

生2：構(gòu)造一個等腰直角三角形（生2給出了解法2）.

解法1 由正方形ABCD，得∠ADC=90°.

因?yàn)镈A=DE，

所以∠AED=∠EAD=180°-∠ADE2.

因?yàn)镈F平分∠CDE，

所以∠FDE =12∠CDE=90°-∠ADE2.

所以∠AFD=∠AED-∠FDE=180°-∠ADE2-90°-∠ADE2=45°.

解法2 如圖2，過點(diǎn)D作DG⊥AF于點(diǎn)G，由正方形ABCD，得∠ADC=90°.

因?yàn)镈A=AE，所以∠EDG=12∠ADE.

因?yàn)镈F平分∠CDE，所以∠FDE =12∠CDE.

所以∠FDG=∠EDG+∠FDE =12（∠ADE+∠CDE）=12∠ADC=45°.

因?yàn)镈G⊥AF，所以∠AFD=90°-∠FDG =45°.

2.2 第（2）問的解法思路

師：解決“零散” 的三條線段之間的關(guān)系，我們有哪些經(jīng)驗(yàn)與方法？

生3：把三條線段轉(zhuǎn)化到一個三角形中，可以利用平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱來轉(zhuǎn)化.

師：對，我們常用圖形三大變換來轉(zhuǎn)化.本題用哪一種變換呢？

生3：用旋轉(zhuǎn)，也就是把△ABF繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得△ADH，但是不能證明H，D，F(xiàn)三點(diǎn)在同一條直線上.

生4：構(gòu)造全等三角形可以證明（生4給出了解法1）.

師：如果我們學(xué)過圓的知識，利用旋轉(zhuǎn)可以證明（師順勢給出了解法2）.

解法1 如圖3，過點(diǎn)A作AH⊥AF，交FD延長線于點(diǎn)H，由（1）知∠AFD=45°，易知∠AFH=∠H=45°.

所以AF=AH.

由正方形ABCD，得AB=AD，∠BAD=90°.

即∠FAD+∠BAF=90°.

因?yàn)锳H⊥AF，所以∠FAD+∠DAH=90°.

可得∠BAF=∠DAH.

所以△ABF≌△ADH.

所以BF=DH.

在Rt△AFH中， AF2+AH2=FH2.

可得2AF2=FH2，即2AF2=（BF+DF）2.

所以BF+DF=2AF.

解法2 如圖4，連接BD，由正方形ABCD，得AB=AD，∠ABD=∠ADB =45°.

由（1）知∠AFD=45°，所以∠ABD=∠AFD.

所以A，B，F(xiàn)，D四點(diǎn)共圓.

所以∠ABF+∠ADF=180°.

把△ABF繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得△ADH，可知∠FAH =90°，AF=AH，∠ADH =∠ABF .

從而∠ADH +∠ADF=180°，即H，D，F(xiàn)三點(diǎn)共線.

在Rt△AHF中，AF2+AH2=FH2.

即2AF2=（HD+DF）2=（BF+DF）2.

所以BF+DF=2AF.

2.3 第（3）問的解法思路

師：條件中有 “點(diǎn)E為AM的中點(diǎn)”，由中點(diǎn)你想到哪些相關(guān)的方法與結(jié)論呢？

生4： 聯(lián)想到“倍長”中線法、三角形中位線定理，如果是直角三角形斜邊的中點(diǎn)，想到直角三角形斜邊中線的性質(zhì).

解法1 如圖5，延長DE交CB的延長線于點(diǎn)I，易知△ADE≌△MIE，可得DE=IE，∠ADE=∠I.

連接NE，由正方形ABCD，得∠C=90°.

因?yàn)镈F平分∠CDE，所以∠CDN=∠EDN.

因?yàn)镈N是公共邊，所以△DCN≌△DEN.

所以∠DEN=∠C=90°，即NE⊥DI.

又DE=IE，所以DN=IN.

所以∠NDE=∠I，可得∠ADE=∠NDE.

又因?yàn)椤螩DN=∠NDE，

所以∠CDN=∠NDE =∠ADE=30°.