梁喜珠， 薛 紅， 王 瑞

(西安工程大學理學院， 西安 710048)

引 言

早期的關于最值期權的文獻都假設標的資產價格服從幾何布朗運動。然而，在實際的金融市場中，標的資產價格會發(fā)生波動或跳躍現(xiàn)象。因此許多學者開始對Black-Scholes模型進行了改進，將Poisson過程引入金融模型中，提出了跳-擴散模型[1]，跳-擴散模型解釋了標的資產價格呈現(xiàn)間斷性的“跳空”現(xiàn)象。

1976年，Merton[2]研究了帶有跳-擴散過程的普通歐式期權定價。文獻[3]借鑒Margrabe的方法得到了服從跳-擴散過程的幾種資產最大值的歐式看漲期權定價公式。隨著定價理論的不斷完善，許多研究者發(fā)現(xiàn)金融資產價格更符合分數(shù)布朗運動。因此，文獻[4]假設標的資產價格服從分數(shù)跳-擴散過程，利用保險精算方法得到了最值期權的定價公式。

但為解決分數(shù)布朗運動并不能很好地刻畫金融市場的波動性及資產收益的“尖峰后尾”現(xiàn)象的缺陷，人們假設標的資產價格服從次分布朗運動[5]，來研究期權的定價公式。Tudor[6]指出次分數(shù)布朗運動是較為一般的高斯過程，作為分數(shù)布朗運動的推廣，它保留了分數(shù)布朗運動的許多性質，但其增量非平穩(wěn)[7]。關于次分數(shù)布朗運動的研究參見文獻[8-10]。

將次分數(shù)布朗運動模型引入了跳-擴散過程，能更加貼切地描述現(xiàn)實金融市場?；谝陨涎芯?，本文在次分數(shù)布朗運動環(huán)境基礎上，引入了跳-擴散模型，在次分數(shù)跳-擴散模型下對最值期權進行研究。

1 金融市場模型

(1)

假設股票價格滿足隨機微分方程

i=1,…,n,k=1,…,m,0≤t≤T

(2)

引理1[12]隨機微分方程(2)的解為

(3)

定義2[13]資產價格{Si(t),t≥0}在[t,T]上的期望回報率βi(u),u∈[t,T]定義為

引理2[12]資產價格{Si(t),t≥0}在[t,T]上的期望回報率βi(u),u∈[t,T]滿足

(4)

2 兩資產的最大值期權定價

定義3[14]到期日為T，執(zhí)行價格為X，資產Si(T),Sj(T)的最大值歐式看漲、看跌期權在t時刻的保險精算價格定義為

其中無風險資產X以無風險利率r折現(xiàn)，資產價格Si(T),Sj(T)按其期望回報率βi(u),βj(u)折現(xiàn)。

上述定義是基于保險精算方法的期權定價模型，在實際定價過程中，如E[(ST-X)+]=E[(ST-X)I{ST>X}](E表示T時刻實際概率測度下的數(shù)學期望)，最關鍵的就是期權所執(zhí)行的條件，即示性函數(shù)I{ST>X}。因此，將根據(jù)示性函數(shù)具體推導最大值期權的定價公式。

定理1設資產價格Si(T),Sj(T)滿足方程(1)式，則到期日為T，執(zhí)行價格為X的最大值歐式看漲期權在t時刻的保險精算價格

Xe-r(T-t)[1-N(-bi,-bj;ρij)]}

其中

ci=bi+σi,di=aij+ρiσi，cj=bj+σj,dj=aij+ρjσj

證明令

則有

E[Xe-r(T-t)IA]=

E[e-μi(T-t)Si(T)I{-ηij

E[e-μj(T-t)Sj(T)I{ηij<-aij,-ηj

E1+E2-E3

下面開始計算E1:

E1=E[e-μi(T-t)Si(T)IAA1]=

E[Si(t)exp{-λiθi(T-t)-

ξi}I{ -ξij < aijσij,-ξi

E{E[Si(t)exp{-λiθi(T-t)-

ξi}I{ -ξij

ξi}I{-ηij

其中

ξi}I{-ηij

σix}φ(x,y;ρi)dxdy=

N(ci,di;ρi)

同理可得

E[Sj(t)exp{-λjθj(T-t)-

ξj}I{ ξij<-aijσij,-ξj

E{E[Sj(t)exp{-λjθj(T-t)-

ξj}I{ ξij<-aijσij,-ξj

ξj}I{ ηij<-aij,-ηj

E3=E[Xe-r(T-t)IA]=

Xe-r(T-t)E{E[IA|Ni(T-t),Nj(T-t)]}=

nj}Xe-r(T-t)×

E[IA|Ni(T-t)=ni,Nj(T-t)=nj]=

nj}Xe-r(T-t)×

E[I{-ηi

因此

Sj(t)exp{-λjθj(T-t)}N(cj,-dj;-ρj)-

Xe-r(T-t)[1-N(-bi,-bj;ρij)]}

推論1當X=0時，次分數(shù)跳-擴散過程下最大值期權價格為

Sj(t)exp{-λjθj(T-t)}N(-dj)}

由X=0,ci=cj=+∞,易證。

定理2設資產價格Si(T),Sj(T)滿足方程(1)式，則到期日為T，執(zhí)行價格為X的最大值歐式看跌期權在t時刻的保險精算價格

Xe-r(T-t)-τmax+cmax=

Si(t)exp{-λiθi(T-t)}N(-ci,di;-ρi)+

Sj(t)exp{-λjθj(T-t)}N(-cj,-dj;ρj)}

其中N(x,y;ρ),bi,bj,ci,cj,di,dj,ρi,ρj,ρij,ω見定理1。

注1當λi=0，Uik=0(i=0,…,n)時，可得次分數(shù)布朗運動環(huán)境下歐式最大值期權的定價。

3 兩資產的最小值期權定價

定理3設資產價格Si(T),Sj(T)滿足方程(1)式，則到期日為T，執(zhí)行價格為X的最小值歐式看漲期權在t時刻的保險精算價格

(6)

其中N(x,y;ρ),bi,bj,ci,cj,di,dj,ρi,ρj,ρij,ω見定理1。

證明令

則根據(jù)定理1，同理可得

E[Xe-r(T-t)IB]=

N(ci,-di;-ρi)+

Sj(t)exp{-λjθj(T-t)}N(cj,dj;ρj)-

Xe-r(T-t)N(bi,bj;ρij)}

推論2當X=0時，次分數(shù)跳-擴散過程下最小值期權價格為

Sj(t)exp{-λjθj(T-t)}N(dj)}

當X=0時，ci=cj=+∞,易證。

定理4設資產價格Si(T),Sj(T)滿足方程(1)式，則到期日為T，執(zhí)行價格為X的最小值歐式看跌期權在t時刻的保險精算價格

Si(t)exp{-λiθi(T-t)}N(-ci,-di;ρi)+

Sj(t)exp{-λjθj(T-t)}N(-cj,dj;-ρj)}

其中N(x,y;ρ),bi,bj,ci,cj,di,dj,ρi,ρj,ρij,ω見定理1。

注3當λi=0，Uik=0(i=0,…,n)時，可得次分數(shù)布朗運動環(huán)境下歐式最小值期權的定價(文獻[14])。

4 數(shù)值計算與分析

以兩資產最大值看漲期權為例，運用MATLAB軟件分析次分數(shù)跳-擴散過程下與Black-Scholes (B-S)模型下的期權價格變化。為了便于數(shù)值計算與分析，假定模型中的參數(shù)值為：

S1=90，S2(0)=95，X=100，r=0.05，μ1=μ2=0，n2=30，n1=20，θ1=0.5，θ2=0.7，σ=(0.3 0.1 0.2；0.2 0.2 0.1)，

計算兩資產最大值看漲期權在0時刻的保險精算價格，如下表所示：

表1 次分數(shù)跳-擴散模型下最大值看漲期權價格

表2 B-S模型下最大值看漲期權價格

表1和表2表明，次分數(shù)跳-擴散過程下的期權價格比B-S模型下的期權價格要高，說明了帶有跳-擴散的期權價格高于不帶跳-擴散的期權。所以，跳-擴散對標的資產的影響較大，研究次分數(shù)跳-擴散過程下的期權價格具有重要意義。

5 結束語

本文在傳統(tǒng)模型的基礎上，利用保險精算方法，探討了次分數(shù)跳擴散環(huán)境下兩種資產的最值期權定價公式。將帶跳躍的Poisson過程引入服從次分數(shù)布朗運動的金融市場中，解決了此環(huán)境下最大值、最小值的定價問題，能更加準確地描述現(xiàn)實市場。數(shù)值結果表明，本文研究具有一定的合理性和有效性。