文陳玲玲

【問題情境】如圖，臺球桌上有一個白球、一個紅球，如何用球桿去擊白球，使其撞到AB邊反彈后再撞到紅球？

【思路解析】臺球桌上隱藏的秘密實際上是“光線反射”原理，在數(shù)學(xué)上反映的是“利用軸對稱，求最短路徑”的本質(zhì)問題。建構(gòu)數(shù)學(xué)模型：如圖1，已知點M、N在AB的同側(cè)，在AB上找一點D，使得MD+ND的和最小。

圖1

這就需要我們利用軸對稱的知識，作點M關(guān)于AB的對稱點M′，然后連接M′N，與AB的交點即為D點，如圖2。

圖2

例 如圖3，點A是銳角∠MON內(nèi)部任意一點，在∠MON的兩邊OM、ON上各取一點B、C，組成三角形，使三角形周長最小。

圖3

圖4

【思路解析】如圖4，作點A關(guān)于OM的對稱點A1、關(guān)于ON的對稱點A2，連接A1A2。A1A2與OM的交點即為B點，與ON的交點即為C點，此時△ABC的周長最小。

【變式訓(xùn)練】如圖5，點P、Q是銳角∠MON內(nèi)部任意兩點，在∠MON的兩邊OM、ON上各取一點B、C，組成四邊形，使四邊形周長最小。

圖5

【思路解析】如圖6，作點Q關(guān)于OM的對稱點A1，作點P關(guān)于ON的對稱點A2，連接A1A2。A1A2與OM的交點即為B點，與ON的交點即為C點，此時，四邊形PQBC的周長最小。

圖6

圖7

【拓展提升】如圖7，在五邊形ABCDE中，∠BAE=120°，∠B=∠E=90°，在BC、DE上分別找一點M、N，使得△AMN的周長最小，則∠AMN+∠ANM= ________。

【思路解析】如圖8，作點A關(guān)于BC的對稱點A1，作A關(guān)于DE的對稱點A2，連接A1A2，與BC的交點為M，與DE的交點為N，此時△AMN的周長最短。

圖8

由對稱可知，∠BAM=∠A1，∠NAE=∠A2。

在△AA1A2中，∵∠A1AA2=120°，∴∠A1+∠A2=60°。

又∵∠AMN=∠BAM+∠A1=2∠A1，∠ANM=∠NAE+∠A2=2∠A2，

∴∠AMN+∠ANM=2∠A1+2∠A2=120°。

【拓展提升】如圖9，點A是銳角∠MON內(nèi)部任意一點，在射線ON上取一點B，使BA與點B到射線OM的距離之和最短。

圖9

圖10

【思路解析】

思路一：如圖10，作點A關(guān)于ON的對稱點A1，過點A1作OM的垂線段A1C，交射線ON于點B。

圖11

思路二：如圖11，作射線OM關(guān)于ON對稱的射線OM1，過點A作射線OM1的垂線段AC，交射線ON于點B。