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        中考題的“源頭活水”在教材

        2019-11-12 08:55:54文張浩杰
        初中生世界 2019年38期
        關(guān)鍵詞:源頭活水平分等腰三角

        文張浩杰

        縱觀(guān)各地的中考數(shù)學(xué)試題,總能發(fā)現(xiàn)有些試題直接來(lái)源于教材中的習(xí)題或例題。如果我們?cè)谄綍r(shí)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中,能夠關(guān)注到這一點(diǎn),充分挖掘教材習(xí)題、例題的價(jià)值,將會(huì)讓我們的學(xué)習(xí)過(guò)程充滿(mǎn)挑戰(zhàn)感,也必將為我們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)插上騰飛之翼。

        例(2019·黑龍江綏化)如圖1,在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)D在AC上,且BD=BC=AD,則∠A= 度。

        圖1

        圖2

        【思路解析】從已知條件中,我們發(fā)現(xiàn)該圖中存在三個(gè)等腰三角形,則可以利用等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)(外)角和定理打通角與角之間的聯(lián)系,聯(lián)合方程思想,進(jìn)而解決問(wèn)題。

        【解法呈現(xiàn)】∵BD=AD,

        設(shè)∠A=∠ABD=x°,

        ∴∠BDC=2x°。

        ∵BD=BC,

        ∴∠C=∠BDC=2x°,

        ∵AB=AC,

        ∴∠ABC=∠C=2x°,

        ∴x+2x+2x=180,

        即x=36,

        ∴∠A=36°。

        【教材之影】蘇科版《數(shù)學(xué)》八年級(jí)上冊(cè)第2章第5節(jié)“等腰三角形的軸對(duì)稱(chēng)性”習(xí)題第7題。

        如圖2,∠C=36°,∠B=72°,∠BAD=36°。

        (1)求∠1和∠2的度數(shù);

        (2)找出圖中的等腰三角形。

        【變式探究】

        (1)如圖1,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC。證明:△DCB為等腰三角形。

        (2)如圖1,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC,BD∶DC=m∶n。求△ABD與△BDC的面積比。

        (3)如圖1,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC,BD=m,DC=n。求△ABD的周長(zhǎng)。

        (4)如圖3,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°。仿照?qǐng)D4,請(qǐng)你再設(shè)計(jì)兩種不同的分法,將△ABC分割成3個(gè)三角形,使得每個(gè)三角形都是等腰三角形。(注:如果兩個(gè)圖中分割出的3個(gè)三角形分別全等而只是分割線(xiàn)的具體位置不同,則視為同一種分割方法。)

        圖3

        圖4

        提示:如圖5、圖6、圖7。

        圖5

        圖6

        圖7

        (5)如圖8,把等邊三角形ABC分成四個(gè)等腰三角形。

        圖8

        提示:(1)如圖9,取三邊中點(diǎn)D、E、F,連接DE、DF、EF;(2)如圖10,取三邊中點(diǎn)D、E、F,連接DE、AE、EF。

        圖9

        圖10

        【同類(lèi)鏈接】

        (2019·浙江衢州)“三等分角”大約是在公元前五世紀(jì)由古希臘人提出來(lái)的,借助如圖11所示的“三等分角儀”能三等分任一角。這個(gè)“三等分角儀”由兩根有槽的棒OA、OB組成,兩根棒在O點(diǎn)相連并可繞O轉(zhuǎn)動(dòng)。C點(diǎn)固定,OC=CD=DE,點(diǎn)D、E可在槽中滑動(dòng)。若∠BDE=75°,則∠CDE的度數(shù)是( )。

        A.60° B.65° C.75° D.80°

        圖11

        提示:∵OC=CD=DE,

        ∴∠O=∠CDO,∠DCE=∠CED,

        ∵∠DCE=2∠O,

        ∴∠EDB=3∠O=75°,

        ∴∠O=25°,∠CED=∠ECD=50°,

        ∴∠CDE=80°,故選D。

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