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        等腰三角形解題策略:基本圖形++“兩頭湊”

        2019-11-12 08:55:54文陳亞楠
        初中生世界 2019年38期
        關(guān)鍵詞:平分等腰三角中點(diǎn)

        文陳亞楠

        等腰三角形性質(zhì)與判定是《軸對(duì)稱圖形》這一章的難點(diǎn),也是??嫉闹R(shí)點(diǎn)。隨著幾何學(xué)習(xí)的深入,部分同學(xué)出現(xiàn)了面對(duì)復(fù)雜問題不會(huì)分析,面對(duì)復(fù)雜圖形無從下手的情況。有時(shí)候題目中并沒有直接給出等腰三角形的條件,而是需要大家根據(jù)已知推理得到。那么,要構(gòu)成一個(gè)等腰三角形就必須要有相等的邊或相等的角。從相等的邊來看,根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)即可構(gòu)造等腰三角形(如圖1);從相等的角來看,“平行平分得等腰”是常見的基本圖形(如圖2)。

        圖1

        圖2

        例1如圖3,已知在△ABC中,AB=2AC,AD平分∠BAC,AD=BD。求證:CD⊥AC。

        【分析】讀完題之后我們要思考三方面問題:①已知什么?能得到什么?②求證什么?需要什么?③怎么解決?

        首先,由AB=2AC,AD=BD可聯(lián)想到基本圖形圖1,取AB的中點(diǎn)E,連接DE,由“三線合一”得DE⊥AB;其次,要證明CD⊥AC,可證明∠ACD=∠AED=90°;最后,由 AD平分∠BAC,證明△AED≌△ACD即可。

        圖3

        證明:取AB的中點(diǎn)E,連接DE。

        ∵AD=BD,

        ∴AB=2AE,DE⊥AB,

        ∴∠AED=90°。

        ∵AB=2AC,

        ∴AE=AC。

        ∵AD平分∠BAC

        ∴∠EAD=∠CAD。

        在△AED和△ACD中,

        ∴△AED≌△ACD。

        ∴∠ACD=∠AED=90°。

        ∴CD⊥AC。

        例2如圖4,在△ABC中,∠ABC、∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O,MN過點(diǎn)O,與AB、AC相交于點(diǎn)M、N,且MN∥BC,求證:△AMN的周長等于AB+AC。

        圖4

        【分析】首先,已知平行、平分,由基本圖形圖2可得△BMO和△CNO是等腰三角形;其次,求證C△AMN=AB+AC,需證MN=MB+NC;最后,由腰相等進(jìn)行等量代換即可。

        證明:∵BO平分∠ABC,

        ∴∠ABO=∠CBO。

        ∵M(jìn)N∥BC,

        ∴∠MOB=∠CBO,

        ∴∠ABO=∠MOB,

        ∴BM=MO。

        同理,CN=NO。

        ∴C△AMN=AM+MN+AN=AM+MO+NO+AN=AM+MB+NC+AN=AB+AC。

        以上兩道例題涉及了之前提到的兩個(gè)基本圖形,它能夠幫助我們快速地將復(fù)雜圖形分解成熟悉的簡單圖形。當(dāng)然,基本圖形也不能幫助我們完全解決復(fù)雜幾何題,還需要我們學(xué)會(huì)分析問題。在上面兩道題的分析中,陳老師要同學(xué)們思考三個(gè)方面的問題:①已知什么?能得到什么?②求證什么?需要什么?③怎么解決?其實(shí)這就是結(jié)合條件和所要證明的結(jié)論一起考慮,即“兩頭湊”,做到這些,遇到新題就不會(huì)束手無策了。

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