謝生龍 劉維娜 姚馨雨

（延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院 延安 716000）

1 引言

車輛跟馳行駛是最常見的一種交通行為，而車輛追尾又是這種交通行為下易發(fā)的一種交通事故。由于在復(fù)雜的道路環(huán)境因素刺激下駕駛員會(huì)做出不同的行為反應(yīng)，從而會(huì)使跟馳行駛的車輛車頭間距隨著變化。為了避免跟馳行駛車輛追尾事故的發(fā)生，預(yù)測跟馳模型車輛間的車頭距離有著現(xiàn)實(shí)的意義。2017 年郭海鋒等以美國I-80 公路實(shí)測數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，進(jìn)行了Gipps，IDM 和Newell三個(gè)典型跟馳模型的參數(shù)標(biāo)定，研究結(jié)果表明車頭間距作為參數(shù)標(biāo)定跟馳模型效果更好［1］；2007年李松等通過Matlab 工具進(jìn)行Bierley 模型交通流時(shí)間序列仿真生成，研究了通流混沌轉(zhuǎn)化機(jī)理，為交通的混沌控制提供了參考依據(jù)［2］；2017年P(guān)epe P等研究表明輸入-狀態(tài)的定性的Lyapunov 特性是由離散抽象近似的時(shí)間非線性系統(tǒng)的構(gòu)造問題引起的，從而也說明了不僅理論上的跟馳模型中存在復(fù)雜非線性動(dòng)力學(xué)特性，而現(xiàn)實(shí)交通流系統(tǒng)中也存在混沌、自組織等復(fù)雜行為［3］。不僅如此，現(xiàn)有的交通系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的研究歷程也已表明，通過交通流混沌轉(zhuǎn)化機(jī)理的分析，車輛跟馳過程中存在制約性、延遲性及傳遞性等規(guī)律和特性［4］。故文章以交通動(dòng)力學(xué)混沌特性為依據(jù)，推演跟馳交通流模型中前后車輛的車頭間距變化趨勢，分析最大Lyapunov 指數(shù)的車頭間距預(yù)測方法，為車輛跟馳模型車輛安全行駛提供理論分析依據(jù)。

2 Bierley非線性跟馳模型

現(xiàn)有的GM（Genera Motor）模型是典型的跟馳模型，以刺激反應(yīng)為基礎(chǔ)進(jìn)而表現(xiàn)駕駛壞境中各種刺激對(duì)駕駛員行為的影響，其中，引入反應(yīng)的概念并結(jié)合車輛加速度進(jìn)行刻畫。假設(shè)行駛時(shí)，當(dāng)前車輛加速度與此車與跟馳車的車頭間距成反比，與兩車之間的速度差成正比［5～6］，則實(shí)際行駛過程中與車輛自身的速度就有一定的直接關(guān)系，那么通?？捎萌缦鹿奖硎旧鲜鲴{駛員的刺激反應(yīng)過程：

分析時(shí)，式（1）中的刺激通過跟馳車輛的相對(duì)速度表示；而靈敏度則根據(jù)模型的實(shí)際需要給予不同的表示。故GM模型一般用公式表示如下所示：

式中：αn+1(t+T)表示(t+T)時(shí)刻(n+1)輛車的加速度；Dυ(t)表示t 時(shí)刻前后跟馳車輛的速度差；Dχ(t)表示t 時(shí)刻相鄰跟馳車輛的距離；α0、m、l 、T 均為待定常數(shù)。Bierley 在此模型的基礎(chǔ)上進(jìn)一步的改進(jìn)，得到了如式（3）模型［7］。

3 Bierley 非線性跟馳模型車頭間距的可預(yù)測性

Lyapunov 指數(shù)頻譜是系統(tǒng)混亂程度的最直接的體現(xiàn)，最大Lyapunov指數(shù)可以作為跟馳模型的交通流是否具有混沌性的一個(gè)重要判斷指標(biāo)［9］。通常稱為可微映射f 在χ0的最大Lyapunov 指數(shù)［10］。下面結(jié)合Bierley 非線性跟馳模型進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，然后利用仿真數(shù)據(jù)通過最大Lyapunov 指數(shù)計(jì)算給出Bierley 非線性跟馳模型車頭間距能否預(yù)測的遞歸圖判斷及預(yù)測方法［11］。

3.1 交通流數(shù)據(jù)仿真生成

假設(shè)在研究的時(shí)段內(nèi)，相同的5 輛款式汽車做Bierley 非線性跟馳運(yùn)動(dòng)，首車以某一速特定速度υ0(m/s) 行駛，跟馳與被跟馳車頭間距為固定值l0。為了真實(shí)地反映車輛跟馳行駛的過程中某一時(shí)刻t 由于受外界環(huán)境的刺激，而引起車輛做出相應(yīng)的加、減速響應(yīng)，這里對(duì)跟馳行駛過程中的首車加正弦變化進(jìn)行仿真干擾［12］。具體形式如下：

式（4）中，ω 為角頻率，A 表示干擾信號(hào)的振幅。仿真中各個(gè)信號(hào)量取值情況為υ0=15m/s ，l0=30m ，正弦干擾參數(shù)分別取值為A=1m/s ，ω=0.05rad/s，再假定非線性跟馳隊(duì)列中駕駛員具有同等能力的反應(yīng)參數(shù)，不妨取α0=1，Bierley 非線性GM 模型中h=1，κ=0.00001，從而得到模型中頭間距隨時(shí)間變化曲線如圖1所示。

圖1 仿真跟馳隊(duì)列車頭間距隨時(shí)間變化曲線

3.2 可預(yù)測性判斷

現(xiàn)在通過交通流系統(tǒng)中的混沌特性理論分析Bierley 非線性GM 模型系統(tǒng)中車頭間距的可預(yù)測性。以車頭間距l(xiāng)i時(shí)間序列為基礎(chǔ)，對(duì)li作如下處理：

式（5）中，Nm=N-(m-1) ；τ 為滯后時(shí)間；m為嵌入維數(shù)，通過偽鄰域法計(jì)算求得30s 序列的最小嵌入位數(shù)為8，1min 序列最小嵌入位數(shù)為6［13］。這一結(jié)果也恰好說明短時(shí)交通流的系統(tǒng)行為復(fù)雜性，時(shí)間越短混沌特征越明顯。接下來通過相空間重構(gòu)產(chǎn)生遞歸圖，在式（5）中取適當(dāng)小的正數(shù)r0求任意點(diǎn)到（Li，Lj）之間的距離。

判斷并繪制相鄰兩輛車T 分別為30s 和1min時(shí)的車頭間距遞歸圖，結(jié)果如圖2。

圖2 相鄰兩輛車T分別為30s和1min時(shí)的車頭間距遞歸圖

從上圖中發(fā)現(xiàn)若（i，j）為空白點(diǎn)，則該時(shí)刻之前 的 若 干 點(diǎn)（i-1，j-1），（i-2，j-2），…，（i-k，j-k）也同為空白點(diǎn)，反之亦然。四幅兩兩對(duì)比的遞歸圖上整體上都有一些由“ ”形成的平行于主對(duì)角線的直線段［14］。平行于主對(duì)角線的線段長短表示了車頭間距可預(yù)測性的強(qiáng)弱［15］。直線段的存在說明了根據(jù)相思原理可進(jìn)行預(yù)測的科學(xué)性，而且兩幅圖對(duì)比發(fā)現(xiàn)，1min 序列比30s 序列可預(yù)測性更強(qiáng)。

4 基于最大Lyapunov 指數(shù)的車頭間距預(yù)測方法

通過3.1遞歸圖的方法檢驗(yàn)系統(tǒng)是否具有混沌性，是否達(dá)到混沌狀態(tài)。若滿足多數(shù)非主對(duì)角線的上的點(diǎn)形成的直線平行于主對(duì)角線，則可以通過以下方法求得最大Lyapunov 指數(shù)，并進(jìn)行Bierley 非線性跟馳模型下一時(shí)刻車頭間距的預(yù)測［16］，具體的，若設(shè)相點(diǎn)

為預(yù)測中心點(diǎn)，且Lp的最鄰近點(diǎn)為與Lk，Lk∈{X1，X2，…，Xp-1} ，Lp與Lk的距離為d ，則

若給定的是一維動(dòng)力系統(tǒng)，存在混沌特性，初始距離很小的兩個(gè)點(diǎn)，隨著時(shí)間的推移，它們之間的距離成指數(shù)增長如式（10）所示。

式中，λ1為最大Lyapunov 指數(shù)，另外Lp+1除ln+1外其他分量都是已知，所以ln+1可求解的，其值即為車頭間距預(yù)測值，通?？深A(yù)測的最長周期可用來估計(jì)。

5 預(yù)測算例

算例中首先通過3.1中交通流仿真生成基本的分析數(shù)據(jù)；其次，用3.2 運(yùn)動(dòng)特性識(shí)與判斷方法（重點(diǎn)為混沌特性）進(jìn)行可預(yù)測性判斷；最后，通過判斷的結(jié)果按照4中敘述的方法進(jìn)行預(yù)測。

5.1 仿真交通流生成

根據(jù)2 中Bierley 非線性跟馳模型和3.1 中交通流數(shù)據(jù)仿真生成思路，設(shè)定5 輛同款式車輛進(jìn)行Bierley 非線性跟馳行駛，這里取h=1，司機(jī)未受外界刺激前形式速度υ0=15m/s，初始車頭間距假定為l0=30m，為了更真實(shí)地體現(xiàn)5 輛車不同駕駛員的差異情況，α，κ 的5組系數(shù)取值情況如表1。

表1 仿真中5組系數(shù)取值

取采樣周期T=1 min ，仿真時(shí)長為60min，得到跟馳行駛模型中相鄰兩車之間車頭間距變化情況如圖3 所示。從圖中顯示結(jié)果來看，第2、1 輛車頭間距近似服從正弦變化趨勢，第3、2 輛之間隱約出現(xiàn)高頻震蕩，第4、3 輛之間車頭間距震蕩明顯，第5、4 輛之間車頭間距趨勢相對(duì)正弦趨勢平穩(wěn)，有著周期性的變化規(guī)律。

圖3 相鄰跟馳車輛的車頭間距變化情況

5.2 混沌特性識(shí)別與判斷

為了判斷上述仿真交通流是否存在混沌特性，下面使用3.2 中的遞歸圖的方法對(duì)第4、3 輛車頭間距l(xiāng)34進(jìn)行判斷，為了科學(xué)起見，這里仍選取60個(gè)采樣數(shù)據(jù)參與有效運(yùn)算。時(shí)間序列t1，t2，…，tj…， j=1，2，…，60，用Matlab作圖結(jié)果如圖4所示。

圖4 仿真交通流中第4、3輛車頭間距遞歸圖

按照4.1 計(jì)算方法發(fā)現(xiàn)預(yù)測步長1min 時(shí)，隨著時(shí)間序列的生成可求得λ1大于0，且從圖4 中看出主對(duì)角線兩側(cè)“ ”點(diǎn)形成的線整體上平行于其，因而具有混沌特性的仿真數(shù)據(jù)具備一定步長的短時(shí)間可預(yù)測性。

5.3 Bierley非線性GM模型車頭間距預(yù)測

通過引言分析，現(xiàn)以研究模型的混沌特性為基礎(chǔ)，基于最大Lyapunov 指數(shù)的計(jì)算方法進(jìn)行Bierley 非線性跟馳模型車頭間距預(yù)測時(shí)可按如下步驟完成：

1）這里采用數(shù)據(jù)移動(dòng)的方式預(yù)測，則某時(shí)刻模型中車頭間距序列l(wèi)i在相空間中的點(diǎn)Li=(li，li+τ，…，li+(m-1)τ)以P（平均周期）≤iα ≤S（數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)）的最近點(diǎn)為Li=(liα，liα+τ，…，liα+(m-1)τ)［17］。

2）用任意一種方法計(jì)算最大Lyapunov 指數(shù)λ1。

3）根據(jù)式（10）求出預(yù)測值ln+1，也可進(jìn)一步表示為［18］

于是liα+(m-1)τ+1的預(yù)測值為

通過算例測試，可能是仿真采樣數(shù)據(jù)偏少、不客觀或參數(shù)未修正等原因造成的預(yù)測誤差有些偏大，但在一定程度上可以接收，具體對(duì)比結(jié)果如圖5所示。

圖5 第3、4輛車車頭間距預(yù)測對(duì)比

6 結(jié)語

文章首先從交通流系統(tǒng)混沌、非線等基本特性出發(fā)介紹了Bierley非線性跟馳模型，又闡述了通過計(jì)算最大Lyapunov 指數(shù)判定Bierley 非線性跟馳模型車頭間距是否具有可預(yù)測性的基本方法，與文獻(xiàn)［2］相比，用該方法判斷車頭間距隨時(shí)間生成的序列是否有混沌特更具有操作性和可視性。其次，實(shí)驗(yàn)以仿真交通流為算例基礎(chǔ)，對(duì)比了5 輛皮萊特非線性GM 模型中相鄰兩輛車在T 分別為1min 與30s時(shí)的車頭間距的可預(yù)測情況，對(duì)比發(fā)現(xiàn)其他條件一定的情況下步長較大的相空間重構(gòu)車頭間距遞歸圖體現(xiàn)出了較好的預(yù)測性。再次，給出了最大指數(shù)計(jì)算由式（11）的Bierley 非線性跟馳模型車頭間距預(yù)測方法。最后，根據(jù)仿真數(shù)據(jù)預(yù)測了第4、3 輛車兩車頭間距，發(fā)現(xiàn)預(yù)測值誤差有些偏大，這可能是仿真采樣數(shù)據(jù)偏少、不客觀等原因造成的，還需進(jìn)一步探究，但整個(gè)預(yù)測方法的分析過程可以為車輛跟馳行駛模型安全預(yù)警提供理論借鑒。