李文勝 周 千

（西安航空學(xué)院理學(xué)院 西安 710077）

1 引言

近些年來(lái)，發(fā)展微分方程解的存在性問(wèn)題得到了廣泛關(guān)注［1～5］，有關(guān)集值微分方程的內(nèi)容可參見(jiàn)文獻(xiàn)［6～11］。

本文在上述文獻(xiàn)基礎(chǔ)上，研究一類(lèi)雙參數(shù)發(fā)展系統(tǒng)下的隨機(jī)脈沖發(fā)展集值微分方程：

2 預(yù)備知識(shí)

可測(cè)泛函x:Rτ→X 是Bochner 可積當(dāng)且僅當(dāng)‖ x ‖為L(zhǎng)ebesgue 可積，有關(guān)Bochner 積分及其性質(zhì)參見(jiàn)Yosida［12］。 L1( Rτ，X )是由Bochner 可積的連續(xù)泛函x:Rτ→X 組成的Banach 空間，賦予范數(shù)

引理1［13］設(shè)多值映射F 有非空緊值并且全連續(xù)，則F 是上半連續(xù)的當(dāng)且僅當(dāng)F 有閉圖像（即當(dāng)xn→x*，yn→y*，yn∈F( xn)時(shí)，有y*∈F( x*)。

引理2［13］如果F為Caratheodory 多值映射，且對(duì)給 定 的 ψ ∈B ，集 合 SF，ψ={f ∈L1( Rτ，X ):f( t )∈F( t，ψ )，t ∈Rτ} 是 非 空 的，Γ:L1( Rτ，X )→C( Rτ，X)為 線 性 連 續(xù) 映 射，則 Γ ?SF:C( Rτ，X )→Pcp，cv(C ( Rτ，X ))，y →( Γ ?SF)( y )=Γ( SF，y)是C( Rτ，X )×C( Rτ，X )上的閉圖算子。

有關(guān)多值映射和雙參數(shù)發(fā)展系統(tǒng)可參見(jiàn)文獻(xiàn)［13～16］。在證明過(guò)程中，本文將采用一個(gè)文獻(xiàn)［17］提到過(guò)的公理化定義，

定義1泛函{ x ( t ):t0-r ≤t ≤T }稱(chēng)為（1）～（3）的溫和解，當(dāng)且僅當(dāng)

其中

引理3［18］設(shè)B 為Banach空間X 中的有界的凸子集，Γ:B →P( B )是上半連續(xù)的凝聚集值映射，假如對(duì)任意的x ∈B，Γ( x )是B 中的閉凸子集，則Γ在B 中存在一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。

3 主要結(jié)果

為了證明（1）～（3）是可控的，假定下面條件成立：

H2.當(dāng)t ＞s 時(shí)，U( t，s )是緊算子，且存在一個(gè)常數(shù)M ＞0 ，使得當(dāng)0 ≤s ≤t ≤T 時(shí)，有‖ U ( t，s )‖≤M 。

H3. 當(dāng)t ∈J 時(shí)，存在一個(gè)常數(shù)M1＞0 ，使得

H4.函數(shù)Q:Rτ×Cˉ→X 是連續(xù)的，且存在常數(shù)L，Lg＞0，使得對(duì)任意的ψ，ψ1，ψ2∈B，有

H5（i）F:Rτ×→Pbd，cp，cv( X )，對(duì)每個(gè)ψ ∈，t →F( t，ψ )是可測(cè)的；對(duì)任意的t ∈Rτ，ψ →F( t，ψ)是 上 半 連 續(xù) 的；對(duì) 固 定 的ψ ∈B ，集 合SF，ψ={f ∈L1( Rτ，X ):f( t )∈F( t，ψ )a.e.t ∈Rτ} 是非空的。

H5（ii）存在一個(gè)可積函數(shù)m:Rτ→[0 ，+∞ )和一 個(gè) 連 續(xù) 非 減 函 數(shù)W:[ 0 ，∞ )→( 0 ，∞ )，使 得‖ F( t，ψ )‖=sup{‖ f ‖:f( t )∈F( t，ψ )}≤m( t )W(‖ ψ‖B)，( t，ψ )∈Rτ×。

定理1假設(shè)條件H1～H5成立。如果

則系統(tǒng)（1）～（3）的是可控的。

證明：定義如下控制：

在賦予一致收斂范數(shù)的空間Y={u∈C(J，X ):u(0)=φ( 0)}上定義算子Γ:Y →P(Y)，定義如下：

分以下幾步來(lái)證明溫和解的存在性：

第一步，Γ1是壓縮的。

由（4）可知，Γ1是一個(gè)壓縮算子。

第二步，Γ2有閉圖。

令yn→y*，yn∈Br，un∈Γ2( yn)及un→u*，需要證明u*∈Γ2( y*)。

若un∈Γ2( yn)，則存在fn∈SF，yn，使得對(duì)任意的t ∈[t0，T ]，有

集合

接下來(lái)證明存在f*∈SF，y*，使得

因此，Γ2是上半連續(xù)算子。Γ=Γ1+Γ2是上半連續(xù)且凝聚的。由引理3 可知，集值微分方程（1）～（3）是可控的。

4 結(jié)語(yǔ)

利用集值映射不動(dòng)點(diǎn)定理結(jié)合發(fā)展系統(tǒng)理論，在隨機(jī)脈沖有關(guān)理論以及抽象的相空間里所給定的充分條件的基礎(chǔ)上，先將集值系統(tǒng)轉(zhuǎn)化成積分方程，然后按照給定的集值映射不動(dòng)點(diǎn)定理逐步證明了一類(lèi)隨機(jī)脈沖發(fā)展集值微分方程的可控性，此分析方法對(duì)同類(lèi)集值微分系統(tǒng)可控性的研究具有一定的促進(jìn)意義。