王伯龍

摘?要：函數(shù)與導數(shù)考題本質(zhì)上是考查利用導數(shù)研究函數(shù)圖象的特征，建立數(shù)與形的聯(lián)系.因此借助函數(shù)圖象的直觀性，對于進一步分析探索出解決函數(shù)問題的策略，尋求到解決函數(shù)問題的思路方法，將起著決定性的作用.而借助GeoGebra平臺的繪圖功能和動態(tài)演示功能，正是一種破解之道.

關鍵詞：信息技術;函數(shù)圖象;GeoGebra平臺

函數(shù)是貫穿于高中數(shù)學教學的一條主線，也是高考數(shù)學命題的主干知識.縱觀近年來的高考試題，不論是在主觀試題還是客觀試題的命制上，函數(shù)內(nèi)容都占有相當?shù)臋嘀?，常常作為壓軸題.考查的內(nèi)容豐富多樣，覆蓋了函數(shù)的極值、最值、單調(diào)性、零點、參數(shù)的取值范圍等相關知識點.滲透了函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與劃歸、數(shù)形結(jié)合等思想方法，提升了邏輯推理、直觀想象、數(shù)學運算等核心素養(yǎng)，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維能力.大多試題本質(zhì)上是考查利用導數(shù)研究函數(shù)圖象的特征，建立數(shù)與形的聯(lián)系.因此若能借助函數(shù)圖象的直觀性，對于進一步分析探索出解決函數(shù)問題的策略，尋求到解決函數(shù)問題的思路方法，將起著決定性的作用.現(xiàn)擷取2019年高考函數(shù)精彩試題幾例，借助于GeoGebra平臺的繪圖功能和動態(tài)演示功能，尋求其破解之道.

1?技術支持、探索思路、尋求突破

例1?（2019年浙江卷第9題）設a，b∈R，函數(shù)f（x）=x，x<0，13x3-12（a+1）x2+ax，x≥0.若函數(shù)y=f（x）-ax-b恰有3個零點，則（?）.

A.a<-1，b<0???B.a<-1，b>0

C.a>-1，b<0???D.a>-1，b>0

分析?本題考查含參數(shù)的零點問題，所給的函數(shù)是分段函數(shù)，題干中含有兩個參數(shù)a，b，且多項式的次數(shù)是3次，入手比較困難，我們可以借助于GeoGebra平臺的繪圖功能和動態(tài)演示功能，畫出函數(shù)的圖象，通過改變參數(shù)a，b的值，讓圖象動態(tài)變化，尋求解題的突破口.

在GeoGebra界面上繪制出函數(shù)y=（1-a）x-b，x<013x3-12（a+1）x2-b，x≥0的圖象，如圖1，滑動滑桿a，b（改變a，b的值）讓圖象動態(tài)變化，觀察到參數(shù)a決定圖象的形狀，參數(shù)b決定圖象的位置.若函數(shù)y=f（x）-ax-b恰有3個零點，只需第一段函數(shù)有一個零點，且第二段函數(shù)有兩個零點即可.這就是解此題的突破口.

解析?由g′（x）=x2-（a+1）x=x[x-（a+1）]=0，得x=0或x=a+1.

由以上分析知，若函數(shù)y=13x3-12（a+1）x2-b在[0，+∞）上恰有兩個零點，且y=（1-a）x-b在（-∞，0）上有一個零點，則有

-b<0，a+1>0，g（a+1）=-16（a+1）3-b<0，1-a>0.

解得-1

評析?GeoGebra技術支持圖象動態(tài)變化，探索出參數(shù)a，b的本質(zhì)屬性，借助于圖象獲得解題的突破口.思路簡潔，容易理解.

例2?（2019年全國Ⅲ卷理12）設函數(shù)f（x）=sin（ωx+π5）（ω>0），已知f（x）在[0，2π]有且僅有5個零點，下述四個結(jié)論：①f（x）在（0，2π）上有且僅有3個極大值點;②f（x）在（0，2π）上有且僅有5個極小值點;③f（x）在（0，π10）上單調(diào)遞增;④ω的取值范圍是[125，2910].其中所有正確結(jié)論的編號是（?）.

A.①④??B.②③??C.①②③??D.①③④

分析?本題考查含參數(shù)的三角函數(shù)的相關知識，試題涉及到函數(shù)的零點、極值點、單調(diào)性、參數(shù)的取值范圍等，設計新穎獨特，具有一定的區(qū)分度和選拔功能.學生只有對四個結(jié)論逐一檢驗，才能得出正確的選項.試題對學生考查的標準比較高，對考生來說，是有一定難度的.我們可以借助于GeoGebra平臺的繪圖功能和動態(tài)演示功能，畫出函數(shù)的圖象，通過改變參數(shù)ω的值，讓圖象動態(tài)變化，尋求解題的突破口.

在GeoGebra界面上繪制出函數(shù)f（x）=sin（ωx+π5）（ω>0）的圖象，如圖2所示，滑動滑桿ω，在拉伸或壓縮圖象的過程中，滿足條件f（x）在[0，2π]上有且僅有5個零點的關鍵是x軸正方向上的第五個零點的坐標x5≤2π，且第六個零點的坐標x6>2π.這就是解決問題的突破口.

解析?設xi（i=1，2，3，4，5，6）表示x軸正方向上函數(shù)f（x）的第i個零點.由ωx1+π5=π，得x1=4π5ω.因為T=2πω，所以x5=4π5ω+4·T2=24π5ω，x6=4π5ω+5·T2=29π5ω.由于f（x）在[0，2π]有且僅有5個零點，因而x5≤2π，x6>2π，解得125≤ω<2910.所以④正確.

設yi（i=1，2，3，…）表示x軸正方向上函數(shù)f（x）的第i個極大值點. 由ωy1+π5=π2，得y1=3π10ω.yi=y1+（i-1）T=3π10ω+2（i-1）πω（i=1，2，3，…）.

因而由125≤ω<2910，易檢驗得y3<2π，y4>2π.所以①正確.

設zi（i=1，2，3，…）表示x軸正方向上函數(shù)f（x）的第i個極小值點. 由ωz1+π5=3π2，得z=13π10ω.zi=z1+（i-1）T=13π10ω+2（i-1）πω（i=1，2，3，…）.

因而由125≤ω<2910，易解得53π29

因為函數(shù)f（x）在（0，4π5ω）上單調(diào)遞增，由125≤ω<2910，得8π29<4π5ω≤π3，因而π10<4π5ω.所以（0，π10）（0，4π5ω）.因此f（x）在（0，π10）上單調(diào)遞增，所以③正確.