(1.安徽省太和縣宮集鎮(zhèn)中心學(xué)校，安徽 太和 236652；2.山東省陽谷縣西湖中學(xué)，山東 陽谷 252311)

圖1

例1：如圖1所示，焦距為f的凸透鏡豎直放置，現(xiàn)有一點光源S在凸透鏡左側(cè)，以凸透鏡兩倍焦距處為中心，在經(jīng)過主軸的豎直平面內(nèi)作順時針方向運動，運動軌跡是邊長為D的正方形，正方形的一組對邊平行于主軸，且f

解析：我們結(jié)合凸透鏡成像的特點，采用作圖法分析一組對邊平行于主軸的矩形物體經(jīng)凸透鏡所成實像的形狀。

如圖2所示，矩形ABCD的一組對邊AB和CD均垂直于主軸，AB邊在凸透鏡的一倍焦距和二倍焦距之間，CD邊在凸透鏡的二倍焦距之外，所以，AB邊經(jīng)凸透鏡所成的像是倒立放大的實像，即圖2中的線段GE，CD邊經(jīng)凸透鏡所成的像是倒立縮小的實像，即圖2中的線段MN。而AD邊平行于主軸，從AD邊上任意一點發(fā)出的平行于主軸的光線都重合在一點，所以，AD邊經(jīng)凸透鏡所成的實像一定在過凸透鏡右側(cè)焦點F的直線NG上，即AD的實像是線段NG，同理，BC邊的實像是線段ME。這就是說，位于主光軸所在平面內(nèi)的矩形發(fā)光體經(jīng)凸透鏡所成實像的形狀不再是矩形，而是一個梯形。由圖2可知，點光源S在其運動軌跡上由D點運動到A點時，其實像點由N點運動到G點，所以，滿足例題1條件的點光源，經(jīng)凸透鏡所成實像的運動軌跡是選項D所示的情形。

圖2

如果點光源運動的軌跡不是正方形，而是圓形，實像的運動軌跡又將是什么形狀？

圖3

例2：如圖3所示，焦距為f的凸透鏡豎直放置，現(xiàn)有一點光源S在凸透鏡左側(cè)以凸透鏡兩倍焦距處為圓心，在經(jīng)過主軸的豎直平面內(nèi)作順時針圓周運動，軌跡直徑為D，且f

初次見到這道題目的感覺是難度不大,比較新穎，跟上面的例題1相似但又有所不同，點光源的運動軌跡由直線變成了曲線。開始包括筆者在內(nèi)的幾位老師對點光源通過凸透鏡所成實像運動軌跡的形狀是這樣分析的：將發(fā)光體的運動軌跡豎向分成左右兩個半圓，顯然，這兩半圓圓弧雖然一樣高，但除了最高點和最低點之外，兩段半圓圓弧上等高的兩點其物距不等，跟左側(cè)半圓弧上某一定點的物距相比，右側(cè)半圓弧上等高的對應(yīng)點的物距較小，根據(jù)物體通過凸透鏡所成實像一定是倒立的，根據(jù)“物近像遠像變大”的成像特點，很容易判斷該選擇題的正確選項應(yīng)該是D。

該題源自2008年上海市大同杯第22屆初中物理競賽(初賽)中的第24題，但原題給出的四個選項中圖片跟上面例2給出的圖形不一樣，前兩個是轉(zhuǎn)動方向相反的圓形，后面兩個是轉(zhuǎn)動方向相反的橢圓。例2和原競賽題目的四個選項對應(yīng)的圖形相比，只有一個圓形是相同的圖形，如果在凸透鏡左側(cè)做圓周運動的點光源經(jīng)凸透鏡所成實像點的軌跡不是圓形的話，那么，例2和原競賽題所給的4個選項中一定有一個題目給出的圖出現(xiàn)了問題，究竟哪一題存在問題？我們不妨從實像點運動軌跡的解析式來進行分析。

實際上，如果我們對滿足例2條件的點光源的運動軌跡圓形增添一個輔助圖形——圓的內(nèi)接正方形，使內(nèi)接正方形的一組對邊平行于凸透鏡的主軸，如圖5所示，并將該圓及其內(nèi)接正方形作為整體進行分析，更容易看出實像與物體各部分的對應(yīng)關(guān)系，從而理解在主軸平面內(nèi)圓形物體通過凸透鏡所成實像是橢圓的道理。

圖5

從以上分析還可以看出，判斷點光源經(jīng)凸透鏡所成實像點運動軌跡的形狀，需要用到較多的高中數(shù)學(xué)知識，初中階段還沒有學(xué)習(xí)到涉及橢圓及其形狀判斷的內(nèi)容，而單憑作圖又無法體現(xiàn)滿足這道競賽題目條件的實像的形狀，所以，這道選擇題不適合初中學(xué)生，作為高中物理競賽題倒是非常合適。