■河南省平輿縣第一高級(jí)中學(xué) 晁明月

數(shù)學(xué)中的隱含條件往往最容易被忽視，這些隱含條件通常被稱為題中的“陷阱”，解題過程中一不小心就會(huì)掉進(jìn)去。本文列舉出了三角函數(shù)、平面向量中的易錯(cuò)點(diǎn)，希望同學(xué)們?cè)诮窈蟮膶W(xué)習(xí)中能引以為戒。

一、忽視函數(shù)的定義域?qū)欠秶闹萍s致錯(cuò)

注意定義域?qū)欠秶闹萍s，有些三角函數(shù)的定義域，因其相對(duì)隱蔽，解題時(shí)往往被忽略考慮，造成錯(cuò)解。

例1求函數(shù)的遞增區(qū)間。

錯(cuò)解：設(shè)于是由，解得函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間為

剖析：上述解法忽略了函數(shù)的定義域。因?yàn)轭}目中分母不能為零，即1+sinx+cosx≠且x≠2kπ-π。所以函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間為

二、忽視三角函數(shù)值對(duì)角范圍的制約致錯(cuò)

三角求值或求角的大小時(shí)，不僅要注意有關(guān)角的范圍，還要結(jié)合有關(guān)角的三角函數(shù)值把角的范圍縮小到盡可能小的范圍內(nèi)，不然容易出錯(cuò)。

例2已知α、β為銳角求β。

錯(cuò)解：由α、β為銳角，知0＜α+β＜π，所以

剖析：在上面的解法中，未能就題設(shè)條件進(jìn)一步縮小α+β的范圍，引起增解。我們可以作如下進(jìn)一步分析：因?yàn)榍?＜α+β＜π，所以或，得，從而，于是cos(α+β)=，故，即

三、忽視三角形的邊角關(guān)系對(duì)角范圍的制約致錯(cuò)

解與三角形有關(guān)的三角問題時(shí)，必須注意三角形中的邊角等量關(guān)系、邊角的不等關(guān)系及內(nèi)角和關(guān)系等對(duì)角范圍的制約，以免產(chǎn)生增解。

例3已知A、B、C為△ABC的內(nèi)角，且，求cosC的值。

錯(cuò)解：由，得，故又，且B∈(0，π)，所以從而

剖析：若則π-B∈由，得，與A+B＜π矛盾，故角B為銳角。從而故

四、忽視變形式子對(duì)角范圍的制約致錯(cuò)

在三角變形過程中，有時(shí)要利用變形后的式子來(lái)進(jìn)一步縮小角的范圍，這樣才能得出正確的結(jié)果。

例4已知0＜α＜β＜γ＜2 π，且求α-的值。β

錯(cuò)解：由已知等式得cosα+cosβ=

①2+②2得2+2 cos(α-β)=1，即cos(α

因?yàn)?＜α＜β＜2 π，所以-2 π＜α-β＜0，所以或

剖析：上述解錯(cuò)在于沒有利用題設(shè)條件進(jìn)一步縮小α-β的范圍，從而產(chǎn)生了增根。

又0＜α＜β＜γ＜2 π，所以-2 π＜α-γ＜0，0＜γ-β＜2 π，結(jié)合③得，所以-π＜α-β＜π。又α＜β，從而-π＜α-β＜0，故

五、忽視三角函數(shù)的值域致錯(cuò)

例 5若求sin2α+sin2β的最大值與最小值。

錯(cuò)解：由已知條件可得sin2β=cosα-，則 有所以當(dāng)cosα=1 時(shí) ，sin2α+sin2β取得最大值1，當(dāng)cosα=-1時(shí)，sin2α+sin2β取得最小值-1。

剖析：最小值求錯(cuò)了，錯(cuò)的原因就是未注意正弦函數(shù)的有界性。由sin2α+2 sin2β=2 cosα知2≥cos2α+2 cosα-1=2 sin2β≥0，解得故sin2α+sin2β的 最大值與最小值分別為1和2(2-1)。

六、三角代換不等價(jià)致錯(cuò)

例6已知|a|＜1，|b|＜1，求證：

錯(cuò)證：設(shè)則有

剖析：雖然題設(shè)條件中呈現(xiàn)正、余弦函數(shù)的有界性，但兩個(gè)字母a、b并非有一定的制約關(guān)系，因此不能設(shè)成同名，且最后一步正、余弦平方和大于零也欠推敲。

例7已知1，求x+y的取值范圍。

錯(cuò)解：由1-x2≥0，1-y2≥0，得-1≤x≤1，-1≤y≤1，所以可設(shè)x=sinα，y=cosβ，其中則有1由所設(shè)推得，所以α-β=0，即α=β。所以x+，所以，所以

剖析：仔細(xì)分析滿足已知不等式的x、y的取值范圍應(yīng)為[0，1]，故在三角代換時(shí)不等價(jià)，對(duì)角的范圍要限制成正確結(jié)果應(yīng)為