在近幾年的高考中,雖然對(duì)數(shù)列題目的考核比較靈活,但一些?？嫉念}型也會(huì)反復(fù)出現(xiàn)在高考中。因此,掌握數(shù)列題目的重點(diǎn)題型及解題策略,對(duì)掌握數(shù)列知識(shí)和提高數(shù)列解題能力有重要意義。下面對(duì)幾個(gè)?？肌⒅攸c(diǎn)題型及其解題策略進(jìn)行分析。

一、求數(shù)列通項(xiàng)公式

數(shù)列的通項(xiàng)公式是研究數(shù)列的重要內(nèi)容之一,也是每年高考數(shù)列題目中出現(xiàn)和應(yīng)用最多的題型。

例1若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和是Sn,并且2Sn=3n+3,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。

解析：根據(jù)2Sn=3n+3可以得出2Sn-1=3n-1+3(n≥2),兩個(gè)式子相減,得an=3n-1。因?yàn)?a1=3+3,可求出a1=3,因此可求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)是an=

策略：解答本題利用了Sn和an之間的關(guān)系,求解通項(xiàng)時(shí)需要驗(yàn)證首項(xiàng)。在近幾年的高考中用公式法求通項(xiàng)的題占大部分,其次是用Sn和an之間的關(guān)系求通項(xiàng),而其他方法用得較少。許多數(shù)列問題需要將遞推關(guān)系變形,再利用相應(yīng)方法求通項(xiàng)。

二、求數(shù)列前n項(xiàng)和

例2已知一個(gè)數(shù)列{an}滿足條件an+2=qan(q為實(shí)數(shù),并且q≠1),n∈N*,a1=1,a2=2,并且a2+a3,a3+a4,a4+a5成等差數(shù)列。(1)求q的值和數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。(2)假如求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn。

解析：(1)可求得q=2,{an}的通項(xiàng)是

策略：求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn時(shí),根據(jù)通項(xiàng)公式特點(diǎn),可運(yùn)用錯(cuò)位相減的方法求出前n項(xiàng)和。從近幾年各地的考題看,運(yùn)用錯(cuò)位相減法、公式法、裂項(xiàng)相消法解題的類型較多。

三、證明數(shù)列不等式

例3已知數(shù)列{an}滿足條件并且證明：1≤

證明：根據(jù)題意可得an+1-an=-≤0,也就是an+1≤an,因此可得出本數(shù)列是遞減數(shù)列。因?yàn)?所以,根據(jù)an+1=an-a2n可得出an=(1-an-1)an-1,an=(1-an-1)·(1-an-2)…(1-a1)a1＞0。因?yàn)榭傻贸鲇纱说贸鯪*)成立。

策略：本題通過遞推式變形后可判斷出是遞減數(shù)列,因而能確定數(shù)列的最大項(xiàng)就是其首項(xiàng),確定數(shù)列的取值范圍是其證明重點(diǎn)。在本題的證明中,運(yùn)用了數(shù)列的單調(diào)性來證明不等式成立,此方法的證明策略為：一是直接證明數(shù)列的單調(diào)性,確定最值后方便證明；二是構(gòu)建一個(gè)新數(shù)列,來證明新數(shù)列的單調(diào)性,求出新數(shù)列的最值后求證不等式成立。