平行與垂直關(guān)系主觀題在高考中出現(xiàn)于文科卷中,一般設(shè)置二到三問,既有平行關(guān)系也有垂直關(guān)系,所用到的解答工具就是平行與垂直的性質(zhì)與判定定理。如果是證明線線垂直,那就需要用轉(zhuǎn)換思想,即把線線垂直轉(zhuǎn)換為線面垂直來證；若是證明線面平行,也可以用轉(zhuǎn)換思想來證,即把線面平行轉(zhuǎn)換為面面平行來證。2016年山東省文科數(shù)學(xué)高考題的第18題就是一道證明平行與垂直關(guān)系的主觀題,并且突出了證明線線垂直、線面平行的轉(zhuǎn)換思想。那么,在明確了證明思路后,如何做到完美答題、一分不丟呢?這就要看同學(xué)們規(guī)范答題的能力了。

圖1

例題(2016年·山東文18)在如圖1所示的幾何體中,D是AC的中點(diǎn),EF∥BD。

(1)已知AB=BC,AE=EC,求證：AC⊥FB；

(2)已知G,H分別是EC和FB的中點(diǎn),求證：GH∥平面ABC。

【審題流程】(1)切入點(diǎn)：把證明線線垂直AC⊥FB轉(zhuǎn)化為證明線面垂直,即證明直線AC垂直于FB所在的平面。

關(guān)注點(diǎn)：利用EF∥BD確定平面。

(2)切入點(diǎn)：把證明線面平行GH∥平面ABC轉(zhuǎn)化為證明面面平行,即證明包含直線GH的平面與平面ABC平行。

關(guān)注點(diǎn)：取FC的中點(diǎn)為I,連接GI,HI確定平面GHI,而平面GHI包含直線GH。

證明：(1)根據(jù)EF∥BD,知EF與BD確定一個平面,連接DE?！?分

由題設(shè)條件AB=BC,AE=EC,得到DE⊥AC,BD⊥AC。………4分

從而由線面垂直判定定理可得AC⊥平面BDEF,證得AC⊥FB?！?分

(2)如圖2所示,設(shè)FC的中點(diǎn)為I,連接GI,HI,確定平面GHI。………7分

在三角形△CEF中,G是CE的中點(diǎn),所以GI∥EF。又EF∥BD,所以GI∥BD。在三角形△CFB中,H是FB的中點(diǎn),所以HI∥BC。………10分

圖2

又GI∩HI=I,所以平面GHI∥平面ABC。因?yàn)镚H?平面GHI,所以GH∥平面ABC?！?2分

【答題流程】第一步,明確題意。分析題設(shè)條件,充分挖掘題設(shè)中所給的平行與垂直關(guān)系。第二步,落實(shí)答題方向。明確解答問題的方向,正確選擇證明平行或垂直的方法,比如對該題的第1問把證明線線垂直轉(zhuǎn)化為證明線面垂直；對該題的第2問把證明線面平行轉(zhuǎn)化為證明面面平行。這兩種證明途徑都是我們證明空間中線線垂直與線面平行的重要手段與思路。同時,證明過程必要時注意添加輔助線。第三步,寫出證明：利用平行垂直關(guān)系的判定或性質(zhì)給出問題的證明過程。第四步,反思回顧。查看關(guān)鍵點(diǎn)、易漏點(diǎn)、檢查使用定理時定理成立的條件是否遺漏,符號表達(dá)是否準(zhǔn)確。

【閱卷提示】閱卷速度以秒計,規(guī)范答題少丟分!高考閱卷是按步驟、按得分點(diǎn)給分的,題目的評分標(biāo)準(zhǔn)制定得非常細(xì),評閱是分步驟,踩“點(diǎn)”給分的。對于關(guān)鍵的步驟,關(guān)鍵的得分點(diǎn),有則給分,無則沒分。所以同學(xué)們在解答問題時,一定要規(guī)范答題,做到解答過程清楚明了。