數(shù)學(xué)中的解析幾何和平面向量不僅是學(xué)習(xí)中的重難點,還是在高考試卷中占重要分量的題型,但是對于大部分同學(xué)而言,解析幾何復(fù)習(xí)與平面向量的融合一直是學(xué)習(xí)的難點。我們知道平面向量具有代數(shù)形式和幾何形式的雙重身份,是數(shù)形結(jié)合的典范。所以,在復(fù)習(xí)解析幾何時將其與平面向量進行融合,會收到很好的學(xué)習(xí)效果。

一、高中數(shù)學(xué)解析幾何的重要性

在高中數(shù)學(xué)的整個內(nèi)容中,解析幾何這部分內(nèi)容占據(jù)了非常重要的分量。這部分知識對于計算能力和思維能力有很好的培養(yǎng)作用。第一,解析幾何具有承上啟下的作用,這部分內(nèi)容不僅可以補充初中時期平面幾何的不足,還可以為以后更深層次的學(xué)習(xí)打下堅實的基礎(chǔ)【1】。第二,在高中數(shù)學(xué)所有的知識點內(nèi),解析幾何這部分的內(nèi)容具有交叉的作用。這部分內(nèi)容能夠?qū)⒁呀?jīng)學(xué)習(xí)過的平面向量和代數(shù)知識進行結(jié)合。所以,如果對于這部分知識理解不夠透徹,就會導(dǎo)致在學(xué)習(xí)解析幾何的時候有一定的障礙。在學(xué)習(xí)和掌握解析幾何的時候,需要靈活地運用,以此來提升自身的學(xué)習(xí)水平。第三,解析幾何部分注重的是方法論,它的特點是非常抽象,同時系統(tǒng)性非常強,并且知識體系也較為完善,所以,在解析幾何的學(xué)習(xí)過程中,可以增強對于其他學(xué)科的應(yīng)用能力【2】。

二、解析幾何復(fù)習(xí)與平面向量的融合策略

(一)與數(shù)乘向量的融合

向量在數(shù)形結(jié)合中起到橋梁的作用,通過向量可將解析幾何中的運算問題轉(zhuǎn)化成坐標(biāo)運算,所以數(shù)乘向量與解析幾何的融合問題是近年來大家廣泛關(guān)注的一個問題。

例1在直角坐標(biāo)系xOy中,已知點A(1,1),B(2,3),C(3,2),點P(x,y)在△ABC三邊所圍成的區(qū)域(含邊界)上。

解：(1)方法1：因為又因為=(1-x,1-y)+(2-x,3-y)+(3-x,2-y)=(6-3x,6-3y),所以(2,2),故

令y-x=t,那么由圖1所示,當(dāng)直線y=x+t過點B(2,3)時,t取得最大值為1,所以m-n的最大值也為1。

圖1

評析：這道題考查了向量知識與線性規(guī)劃的融合。利用數(shù)乘向量的知識,可將解析幾何的問題轉(zhuǎn)化成向量坐標(biāo)的運算問題,簡化解題過程。

(二)與共線向量的融合

由于向量具有數(shù)形結(jié)合融為一體的特點,所以常常會成為高中數(shù)學(xué)知識的一個交集點,平面向量與解析幾何的融合是高三同學(xué)需要復(fù)習(xí)的重點內(nèi)容,因為這種類型的題目已發(fā)展成為高考命題的熱點,特別是共線向量與解析幾何的融合更是近年來高考的熱點題型。

例2已知拋物線C：y2=4x的焦點是F。

(1)點A,P滿足當(dāng)點A在拋物線C上運動時,求動點P的軌跡方程。

(2)在x軸上是否存在點Q,使得點Q關(guān)于直線y=2x的對稱點在拋物線C上?如果這種情況存在,請求出所有可以滿足條件的點Q的坐標(biāo)；如果這種情況不存在,請說明理由。

分析：可以確認(rèn)這是一道直線與圓錐曲線位置關(guān)系的題目。首先,應(yīng)該根據(jù)題目的條件設(shè)出向量以及；然后,利用共線向量求出動點P的軌跡方程；最后,根據(jù)點Q關(guān)于直線y=2x對稱點的條件,求出點Q的坐標(biāo)。

解：(1)設(shè)P(x,y),A(xA,yA),則(x-xA,y-yA)。因為F(1,0),因此(xA-1,yA),由可得(x-xA,y-yA)=-2(xA-1,yA),即解得代入y2=4x,從而得到動點P的軌跡方程為y2=8-4x。

(2)設(shè)點Q為(t,0),則點Q關(guān)于直線y=2x的對稱點為Q′(x,y),所以：

若點Q′在C上,將點Q′的坐標(biāo)代入y2=4x,得出4t2+15t=0,即t=0或

所以滿足題意的點Q是存在的,并且它的坐標(biāo)為(0,0)和

評析：這道題目通過交匯融合共線向量與解析幾何,變成了一道探求點P的軌跡方程問題,并在此基礎(chǔ)上變成了探求點Q是否真實存在的一道具有綜合性特點的問題。這道題目既考查了平面向量的運算和概念,也考查了關(guān)于解析幾何中的圓錐曲線和直線問題的解題水平。

三、掌握復(fù)習(xí)方法,提升學(xué)習(xí)興趣

解析幾何近年來已成為高考的重點,對于解析幾何的復(fù)習(xí)也是困擾同學(xué)們的一個難題。因此,掌握解析幾何的解題方法才是學(xué)習(xí)的重中之重,而解答解析幾何問題的主要方法就是數(shù)形結(jié)合法。希望同學(xué)們都要自己探索解題方法,增強探究能力,提升解題的能力。