江西
碰撞是一種典型的物理模型,彈性碰撞又是歷年高考中??疾榈膬?nèi)容之一,人民教育出版社物理選修3-5第十六章第4節(jié)《碰撞》重點(diǎn)研究了彈性碰撞。學(xué)生對(duì)教材中提到的簡(jiǎn)單彈性碰撞不難理解,可是在平時(shí)做題中卻常常陷入困境,不能靈活地遷移應(yīng)用此模型解決問(wèn)題。本文列出幾種情況探析,以期幫助學(xué)生走出困境。
1.定義:如果碰撞過(guò)程中機(jī)械能守恒,這樣的碰撞叫做彈性碰撞。
根據(jù)機(jī)械能守恒定律有
聯(lián)立可得
3.彈性碰撞模型的特殊情況
根據(jù)機(jī)械能守恒定律有
討論:
在很多情況下,如果兩個(gè)物體相互作用的過(guò)程中,滿足動(dòng)量守恒定律的條件,而且在相互作用過(guò)程中的初、末狀態(tài)的總機(jī)械能也不變,那么在解決此類問(wèn)題時(shí),可以當(dāng)做彈性碰撞來(lái)處理,我們把這樣的情況叫作類彈性碰撞。
圖1
【例1】一質(zhì)量為m的小車,帶有四分之一光滑的圓弧軌道,在光滑水平面上處于靜止?fàn)顟B(tài),如圖1所示,另外一個(gè)質(zhì)量也為m的小球,給它一個(gè)水平初速度v1沖上小車,小球沒(méi)有從另一邊沖出,之后又返回到小車的左端,那么小球之后的運(yùn)動(dòng)情況是
( )
A.小球以后將向左以速度v1做平拋運(yùn)動(dòng)
B.小球?qū)⒆鲎杂陕潴w運(yùn)動(dòng)
C.小球以后將向右以速度v1做平拋運(yùn)動(dòng)
【解析】從小球沖上小車,與小車作用過(guò)程中,小車和小球組成的系統(tǒng)在水平方向上符合動(dòng)量守恒定律,則
又因?yàn)閳A弧軌道是光滑的,所以沒(méi)有摩擦力做功,機(jī)械能守恒,根據(jù)機(jī)械能守恒定律有
【點(diǎn)評(píng)】對(duì)這一情景,學(xué)生會(huì)誤認(rèn)為動(dòng)量不守恒,沒(méi)有認(rèn)識(shí)到在水平方向守恒。因圓弧軌道光滑,機(jī)械能沒(méi)有損失,當(dāng)回到小車左端時(shí),二者速度在同一水平方向上,與彈性碰撞情景很契合。
【拓展】上面例1中,小球在弧形槽上上升的最大高度為多少?
【解析】小球上升到最高點(diǎn)時(shí)與小車相對(duì)靜止(注意:速度不為零),有相同的速度v′,由動(dòng)量守恒定律可知
mv1=2mv′ ①
根據(jù)機(jī)械能守恒定律可知
【例2】如圖2所示,四分之一圓弧軌道AB,內(nèi)壁粗糙,半徑R為0.4 m,光滑水平軌道BC與其最低點(diǎn)B相切。一質(zhì)量m2為0.4 kg的小球b,左端連接一輕質(zhì)彈簧,靜止在光滑水平軌道上,另一質(zhì)量m1為0.4 kg的小球a從圓弧軌道頂端無(wú)初速度釋放,運(yùn)動(dòng)到圓弧軌道最低點(diǎn)B時(shí),受到軌道對(duì)其的支持力為小球a重力的兩倍。彈簧始終沒(méi)有超出彈性限度,重力加速度g取10 m/s2。不計(jì)空氣阻力,求小球a通過(guò)彈簧與小球b相互作用的整個(gè)過(guò)程中,彈簧對(duì)小球b的沖量I的大小。
圖2
根據(jù)題意可知FN=2m1g
小球a和b通過(guò)彈簧相互作用的整個(gè)過(guò)程中,彈簧先被壓縮,壓縮到最短之后再恢復(fù)到原長(zhǎng),此時(shí)a和b又分離,設(shè)小球a最終的速度為v2,小球b最終的速度為v3,根據(jù)動(dòng)量守恒定律可得
m1v1=m1v2+m2v3
由機(jī)械能守恒定律可得
由動(dòng)量定理可得I=m2v3
代入數(shù)據(jù)可得I=0.8 N·s
即小球a與小球b通過(guò)彈簧相互作用的整個(gè)過(guò)程中,彈簧對(duì)小球b的沖量I的大小為0.8 N·s。
【點(diǎn)評(píng)】多物體多過(guò)程結(jié)合彈簧,解題的難點(diǎn)在于學(xué)生對(duì)小球a與小球b通過(guò)彈簧相互作用的過(guò)程不是很清楚,從而不知用什么規(guī)律入手。此類問(wèn)題應(yīng)該扣住系統(tǒng)符合動(dòng)量守恒的條件,同時(shí)小球在作用前和作用后離開彈簧時(shí),這兩個(gè)狀態(tài)彈簧的彈性勢(shì)能不變,兩個(gè)小球的機(jī)械能保持不變,與彈性碰撞類似,求出分離時(shí)小球b的速度,再利用動(dòng)量定理即可求解。
【拓展】上面例2中小球a通過(guò)彈簧與小球b相互作用的過(guò)程中,彈簧的最大彈性勢(shì)能Ep是多少?
【解析】小球a與小球b把彈簧壓縮至最短時(shí),彈簧彈性勢(shì)能最大,此時(shí)二者速度相同,此過(guò)程中由動(dòng)量守恒定律得m1v1=(m1+m2)v4
由機(jī)械能守恒定律得
聯(lián)立解得,彈簧的最大彈性勢(shì)能
Ep=0.4 J
【例3】如圖3所示,四分之一光滑絕緣軌道PM的半徑為R,勻強(qiáng)磁場(chǎng)僅在該軌道內(nèi),方向垂直紙面向外,磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B。水平絕緣軌道MN光滑而且足夠長(zhǎng),PM最低點(diǎn)與水平軌道MN相切于M點(diǎn)。一個(gè)質(zhì)量為m的小球b靜止在水平軌道上,小球b帶正電。另一個(gè)質(zhì)量為2m的帶正電小球a、帶電量為q,從P點(diǎn)無(wú)初速度釋放,在小球a進(jìn)入水平軌道MN后,a和b兩個(gè)小球之間只有靜電力作用,并且a和b兩個(gè)小球始終沒(méi)有接觸。帶電小球都可以看作是點(diǎn)電荷,假設(shè)小球b離最低點(diǎn)M足夠遠(yuǎn),重力加速度是g。求a和b兩個(gè)小球最終的速度va和vb的大小。
圖3
【解析】小球a從P到M過(guò)程中,洛倫茲力和彈力都不做功,只有重力做功
在水平軌道,兩小球受到靜電力排斥作用,系統(tǒng)受到合外力為零,整個(gè)過(guò)程根據(jù)動(dòng)量守恒定律可得
2mvM=2mva+mvb
由初、末狀態(tài)的機(jī)械能相等可得
【點(diǎn)評(píng)】這個(gè)題目也是多過(guò)程,而且引入了磁場(chǎng),有復(fù)合場(chǎng)情景,同時(shí)a、b兩小球在靜電力作用過(guò)程,有電場(chǎng)力做功,但系統(tǒng)受到的合外力為零,符合動(dòng)量守恒的條件,最終兩小球分離時(shí)與最初的狀態(tài)機(jī)械能相等,還是類似于彈性碰撞情景。
【拓展】在上面例3中,求a、b兩小球系統(tǒng)的電勢(shì)能最大值Ep。
【解析】?jī)汕蛩俣认嗟葧r(shí)系統(tǒng)電勢(shì)能最大,以向右為正方向,由動(dòng)量守恒定律有2mvM=3mv共
圖4
【例4】如圖4所示,天車質(zhì)量為M,靜止在光滑水平軌道上。沙箱的質(zhì)量為m,用長(zhǎng)為L(zhǎng)的細(xì)線懸掛在天車的下面,一顆子彈的質(zhì)量為m0,以水平速度v0射入沙箱并且沒(méi)有穿出,在以后運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,天車運(yùn)動(dòng)的最大速度為多少?
【解析】子彈射入沙箱并且沒(méi)有穿出,二者有共同速度v1,由動(dòng)量守恒定律可得m0v0=(m0+m)v1
之后二者以共同速度v1向右擺動(dòng),擺到最高點(diǎn)后再往回?cái)[,當(dāng)擺回最低點(diǎn)時(shí),天車速度最大,假設(shè)此時(shí)天車的速度是v3,子彈和沙箱的共同速度是v4,根據(jù)動(dòng)量守恒定律可得(m0+m)v1=Mv3+(m+m0)v4
三者構(gòu)成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒
聯(lián)解以上三式可求得天車運(yùn)動(dòng)的最大速度為
【點(diǎn)評(píng)】該題涉及的對(duì)象、運(yùn)動(dòng)過(guò)程比較復(fù)雜,在子彈進(jìn)入沙箱的過(guò)程中符合動(dòng)量守恒定律條件,但不符合機(jī)械能守恒條件,因?yàn)樽訌椷M(jìn)入沙箱過(guò)程中機(jī)械能會(huì)減小,這點(diǎn)是易錯(cuò)點(diǎn),一定要分析清楚。一起擺動(dòng)過(guò)程中,子彈、沙箱和天車組成的系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒,系統(tǒng)機(jī)械能也守恒。列出兩個(gè)式子后,容易發(fā)現(xiàn)其與彈性碰撞兩個(gè)式子相同,所以兩速度可以直接寫出,節(jié)省了很多時(shí)間,從這里可以看出熟悉運(yùn)用這一碰撞模型是很重要的。
【拓展】在上面例4中,求沙箱運(yùn)動(dòng)過(guò)程中能夠上升的最大高度。
【解析】子彈射入沙箱過(guò)程中,根據(jù)動(dòng)量守恒定律
m0v0=(m0+m)v1
擺動(dòng)過(guò)程中,沙箱擺到最大高度時(shí),子彈、沙箱、天車三者構(gòu)成的系統(tǒng)有相同的速度v2,系統(tǒng)在水平方向根據(jù)動(dòng)量守恒定律可得(m0+m)v1=(m0+m+M)v2
系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中機(jī)械能守恒,則
聯(lián)立以上三式可得沙箱上擺的最大高度為
【例5】(2016全國(guó)卷Ⅱ第35(2)題改編)如圖5所示,在光滑冰面上有一個(gè)處于靜止?fàn)顟B(tài)表面光滑的斜面體,斜面體右端有一個(gè)蹲在滑板上的小孩,他與面前的冰塊都靜止在冰面上。某時(shí)刻小孩將冰塊以相對(duì)水面3 m/s的速度向斜面體推出,冰塊在斜面體上上滑的最大高度h為0.3 m(沒(méi)有從斜面體左邊滑出且冰塊滑上斜面體不計(jì)能量損失)。已知小孩和滑板的總質(zhì)量是30 kg,冰塊的質(zhì)量是10 kg,小孩和滑板一直沒(méi)有相對(duì)運(yùn)動(dòng)。重力加速度大小取10 m/s2。通過(guò)分析計(jì)算,求出冰塊滑離斜面體后能否再與小孩相遇?
圖5
【解析】取水平向左為速度正方向。小孩和滑板總的質(zhì)量是m1,冰塊的質(zhì)量為m2,v0=3 m/s是冰塊被推出時(shí)的速度,斜面體質(zhì)量是m3。冰塊在斜面體上上滑到最大高度時(shí)它們有相同的速度,設(shè)此共同速度為v,水平方向上動(dòng)量守恒m2v0=(m2+m3)v①
再由機(jī)械能守恒定律可得
聯(lián)解①②式,代入已知數(shù)據(jù)可得m3=20 kg ③
假設(shè)把冰塊推出之后小孩的速度是v1,根據(jù)動(dòng)量守恒定律可得m1v1+m2v0=0 ④
代入數(shù)據(jù)解得v1=-1 m/s ⑤
設(shè)冰塊滑離斜面體后二者速度分別是v2、v3,由動(dòng)量守恒定律可得m2v0=m2v2+m3v3⑥
再由機(jī)械能守恒定律可得
聯(lián)立③⑥⑦式并代入數(shù)據(jù)得v2=-1 m/s
可見v1=v2=-1 m/s,即冰塊滑離斜面體后的速度與推出冰塊后小孩的速度相同,而且處在后方,所以冰塊不能與小孩相遇。
【點(diǎn)評(píng)】這個(gè)題目乍一看是追及問(wèn)題,而且斜面體的質(zhì)量沒(méi)有說(shuō)明,又增加了研究對(duì)象和過(guò)程,學(xué)生會(huì)產(chǎn)生畏難情緒。其實(shí)此題與例1很相似,只不過(guò)這里要先根據(jù)小孩推冰塊的過(guò)程求出冰塊滑上斜面體最大高度時(shí)的共同速度,再根據(jù)最大高度求出斜面體的質(zhì)量,進(jìn)而利用動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律,求出分離時(shí)冰塊的速度,然后與小孩速度比較大小即可。