河南省新密市第二高級中學(xué) 申偉洲

線性規(guī)劃問題是高考的重點(diǎn)，它是數(shù)形結(jié)合思想的載體。線性規(guī)劃問題具有代數(shù)和幾何的雙重形式，多與函數(shù)、平面向量、數(shù)列、三角、概率、解析幾何等問題交叉滲透，自然地融合在一起，使數(shù)學(xué)問題的解答變得更加新穎別致。

歸納起來常見的命題探究角度有：

1.求線性目標(biāo)函數(shù)的最值；

2.求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值；

3.求線性規(guī)劃中的參數(shù)；

4.線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用。

下面主要講解線性規(guī)劃的常見基礎(chǔ)類題型。

一、求可行域的面積

例1不等式組表示的平面區(qū)域的面積為( )。

A.4 B.1

C.5 D.6

圖1

解析：如圖1，作出對應(yīng)可行域，△ABC的面積即為所求，由梯形OMBC的面積減去梯形OMAC的面積即可，答案為B。

二、求可行域中整點(diǎn)個(gè)數(shù)

例2滿足|x|+|y|≤2的點(diǎn)(x，y)中整點(diǎn)(橫縱坐標(biāo)都是整數(shù))有( )。

A.9個(gè) B.10個(gè)

C.13個(gè) D.14個(gè)

解析：|x|+|y|≤2 等價(jià)于

作出可行域如圖2，正方形內(nèi)部(包括邊界)，容易得到整點(diǎn)個(gè)數(shù)為13，選C。

圖2

三、求線性目標(biāo)函數(shù)的取值范圍

(一)“截距”型考題

在線性約束條件下，求形如z=ax+by(a，b∈R)的線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題，通常轉(zhuǎn)化為求直線在y軸上的截距的取值。結(jié)合圖形易知，目標(biāo)函數(shù)的最值一般在可行域的頂點(diǎn)處取得。掌握此規(guī)律可以有效避免因畫圖太草而造成的視覺誤差。

例 3若x，y滿足約束條件則z=x+y的最大值為_____。

解析：由不等式組畫出可行域，圖3中陰影部分(含邊界)。目標(biāo)函數(shù)x+y取得最大值，即斜率為-1的直線x+y=z(z看作常數(shù))在y軸上的截距最大，由圖可知當(dāng)直線x+y=z過點(diǎn)C時(shí)，z取得最大值。

故zmax=5+4=9。

圖3

例4若x，y滿足約束條件則z=3x-4y的最小值為_____。

圖4

解析：由z=3x-4y，得作出不等式對應(yīng)的可行域(圖4 中陰影部分)。平移直線由平移可知當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)B(1，1)時(shí)，直線y=的截距最大，此時(shí)z取得最小值。

將B的坐標(biāo)代入z=3x-4y，目標(biāo)函數(shù)z=3x-4y的最小值為-1。

例5已知x，y∈R，且滿足則z=|x+2y|的最大值為( )。

A.10 B.8 C.6 D.3

解析：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，如圖5中的陰影部分。

由z=|x+2y|，平移直線，由圖像可知當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，z取得最大值，此時(shí)z最大。即A(-2，-2)，代入目標(biāo)函數(shù)z=|x+2y|得z=2×2+2=6。(此題也可利用點(diǎn)到直線的距離公式求解)

(二)“距離”型考題

在線性約束條件下，求形如z=(x-a)2+(y-b)2的線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題，通常轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)(a，b)到陰影部分的某個(gè)點(diǎn)的距離的平方的值。

圖5

例6(2016年山東卷)若變量x，y滿足則x2+y2的最大值是( )。

A.4 B.9 C.10 D.12

解析：由約束條件作出可行域，如圖6所示。

圖6

因?yàn)锳(0，-3)，C(0，2)，所以|OA|＞|OC|。

例 7如果實(shí)數(shù)x，y滿足則z=x2+y2-2x的最小值是( )。

解析：z=x2+y2-2x=(x-1)2+y2-1。

設(shè)m=(x-1)2+y2，則m的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到點(diǎn)D(1，0)的距離的平方，作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，如圖7所示。

圖7

由圖像知D到AC的距離為最小值。

(三)“斜率”型考題

例8若x，y滿足不等式組的最大值是( )。

圖8

例 9已知變量x，y滿足的取值范圍是( )。

解析：作出滿足所對應(yīng)的區(qū)域(如圖9中的陰影)。

由圖像可知當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)B(2，0)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取最小值1+；當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)C(0，2)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取最大值選B。

圖9

總結(jié)：1.求目標(biāo)函數(shù)最值的一般步驟為：一畫，二移，三求。關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出可行域，理解目標(biāo)函數(shù)的意義。

2.常見的目標(biāo)函數(shù)有以下幾種。

(1)截距型。形如z=ax+by。

求這類目標(biāo)函數(shù)的最值時(shí)，常將函數(shù)z=ax+by轉(zhuǎn)化為直線的斜截式，通過求直線的截距的最值，間接求出z的最值。

(2)距離型。情形一：如z=，此類目標(biāo)函數(shù)常轉(zhuǎn)化為點(diǎn)(x，y)與定點(diǎn)的距離；

情形二：z=(x-a)2+(y-b)2，z=x2+y2+Dx+Ey+F，此類目標(biāo)函數(shù)常轉(zhuǎn)化為點(diǎn)(x，y)與定點(diǎn)的距離的平方。

四、線性規(guī)劃中的含參數(shù)問題

(一)“求約束條件中的參數(shù)”型考題

當(dāng)參數(shù)在線性規(guī)劃問題的約束條件中時(shí)，作可行域要注意應(yīng)用“過定點(diǎn)的直線系”知識，使直線“初步穩(wěn)定”，再結(jié)合題中的條件進(jìn)行全方面分析，才能準(zhǔn)確獲得答案。

例10若不等式組所表示的平面區(qū)域被直線分為面積相等的兩部分，則k的值是( )。

解析：不等式組表示的平面區(qū)域，如圖10所示。

由于直線y=kx+過定點(diǎn)，因此只有直線過AB中點(diǎn)時(shí)，直線能平分平面區(qū)域。因?yàn)锳(1，1)，B(0，4)，所以AB中點(diǎn)。當(dāng)y=kx+過點(diǎn)，所以選A。

圖10

例11若x，y滿足不等式組的最大值為2，則實(shí)數(shù)m的值為( )。

解析：因?yàn)榈淖畲笾禐?，所以此時(shí)滿足

作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，如圖11。

圖11

同時(shí)A也在直線y=mx上，則選D。

例12(2014 年高考北京卷)若x，y滿足且z=y-x的最小值為-4，則k的值為( )。

解析：作出線性約束條件的可行域。

圖12

圖13

當(dāng)k＞0時(shí)，可行域如圖12中陰影部分所示，顯然此時(shí)z=y-x無最小值。

當(dāng)k＜-1時(shí)，z=y-x取得最小值2；當(dāng)k=-1時(shí)，z=y-x取得最小值-2，均不符合題意。

當(dāng)-1＜k＜0時(shí)，可行域如圖13中陰影部分所示，當(dāng)直線z=y-x經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，有最小值，即，選D。

(二)“求目標(biāo)函數(shù)中的參數(shù)”型考題

目標(biāo)函數(shù)中含有參數(shù)時(shí)，要根據(jù)問題的意義，轉(zhuǎn)化成“直線的斜率”、“點(diǎn)到直線的距離”等模型進(jìn)行討論與研究。

例13設(shè)x，y滿足約束條件若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by(a＞0，b＞0)的最小值為2，則ab的最大值為( )。

解析：滿足約束條件的可行域，如圖14所示。

圖14

因?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)z=ax+by(a＞0，b＞0)，故zA=2a+2b，zB=2a+3b。

目標(biāo)函數(shù)z=ax+by(a＞0，b＞0)的最小值為2，則2a+2b=2，即a+b=1。則，ab的最大值為，選C。

圖15

例14已知x，y滿足以下約束條件，使z=x+ay(a＞0)取得最小值的最優(yōu)解有無數(shù)個(gè)，則a的值為( )。

A.-3 B.3 C.-1 D.1

解析：如圖15，作出可行域，作直線l：x+ay=0，要使目標(biāo)函數(shù)z=x+ay(a＞0)取得最小值的最優(yōu)解有無數(shù)個(gè)，則將l向右上方平移后與直線x+y=5重合，故a=1，選D。

五、線性規(guī)劃與其他問題結(jié)合

例15已知函數(shù)f(x)=-x2+ax-b，若a，b都是從區(qū)間[0，4]內(nèi)任取的一個(gè)數(shù)，則f(1)＞0成立的概率是( )。

圖16

解析：f(1)=-1+a-b，令f(1)＞0，則a-b＞1。又0≤a≤4，0≤b≤4，滿足ab＞1的陰影部分，如圖16所示。

例16(2016 年湖州質(zhì)檢)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)均滿足不等式組則tan∠AOB的最大值等于( )。

解析：如圖17 所示，陰影部分為不等式組表示的平面區(qū)域。

觀察圖形可知當(dāng)A為(1，2)，B為(2，1)時(shí)，tan∠AOB取得最大值，此時(shí)由于tanα=，故tan∠AOB=tan(β-α)=，選C。

圖17

六、實(shí)際問題

例17某高科技企業(yè)生產(chǎn)A產(chǎn)品和B產(chǎn)品需要甲、乙兩種新型材料，生產(chǎn)一件A產(chǎn)品需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5個(gè)工時(shí)；生產(chǎn)一件B產(chǎn)品需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3個(gè)工時(shí)。生產(chǎn)一件A產(chǎn)品的利潤為2 100 元，生產(chǎn)一件B產(chǎn)品的利潤為900 元。該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150 kg，乙材料90 kg，則在不超過600 個(gè)工時(shí)的條件下，求生產(chǎn)A產(chǎn)品、B產(chǎn)品的利潤之和的最大值。

解析：A、B兩種產(chǎn)品每件分別是x件和y件，獲利為z元。

圖18

目標(biāo)函數(shù)z=2 100x+900y經(jīng)過A時(shí)，直線的截距最大，利潤之和的最大值為2 100×60+900×100=216 000(元)。