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        四種條件的判斷與應(yīng)用

        2019-11-07 05:31:32河南省平頂山一高劉鄧輝
        關(guān)鍵詞:充分條件等價(jià)實(shí)數(shù)

        河南省平頂山一高 劉鄧輝

        一、利用定義判斷

        例1設(shè)x∈R,則是“x3<1”的( )。

        A.充分而不必要條件

        B.必要而不充分條件

        C.充要條件

        D.既不充分也不必要條件

        解析:由得0<x<1,則0<x3<1,即

        由x3<1,得x<1,但 當(dāng)x≤0 時(shí),

        點(diǎn)評(píng):直接判斷“若p,則q”、“若q,則p”的真假時(shí),要確定條件是什么、結(jié)論是什么。

        練習(xí)1:“a=0”是“函數(shù)f(x)=sinx-為奇函數(shù)”的( )。

        A.充分不必要條件

        B.必要不充分條件

        C.充要條件

        D.既不充分也不必要條件

        解析:f(x)的定義域?yàn)閧x|x≠0},關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。當(dāng),故f(x)為奇函數(shù)。

        二、利用集合間的關(guān)系進(jìn)行判斷

        例2設(shè)p:實(shí)數(shù)x,y滿足(x-1)2+(y-1)2≤2,q:實(shí)數(shù)x,y滿足則p是q的( )。

        A.必要不充分條件

        B.充分不必要條件

        C.充要條件

        D.既不充分也不必要條件

        解析:如圖1,作出p,q表示的區(qū)域,其中☉M及其內(nèi)部為p表示的區(qū)域,△ABC及其內(nèi)部(陰影部分)為q表示的區(qū)域,故p是q的必要不充分條件。

        圖1

        點(diǎn)評(píng):利用集合中的包含思想,抓住“以小推大”的技巧,即小范圍推得大范圍,即可解決充分必要性的問題。

        練習(xí)2:已知m∈R,“函數(shù)y=2x+m-1有零點(diǎn)”是“函數(shù)y=logmx在(0,+∞)上是減函數(shù)”的( )。

        A.充分不必要條件

        B.必要不充分條件

        C.充要條件

        D.既不充分也不必要條件

        解析:由y=2x+m-1=0,得m=1-2x,則m<1,即A={m|m<1}。

        由于函數(shù)y=logmx在(0,+∞)上是減函數(shù),故0<m<1,即B={m|0<m<1}。

        因?yàn)锽?A,所以“函數(shù)y=2x+m-1有零點(diǎn)”是“函數(shù)y=logmx在(0,+∞)上是減函數(shù)”的必要不充分條件。

        三、利用互為逆否命題的等價(jià)性進(jìn)行判斷

        由于互為逆否命題是相互等價(jià)的,當(dāng)我們對(duì)原命題判斷較為困難時(shí),可將其轉(zhuǎn)化為逆否命題來判斷。

        例3已 知p:|3x-4|>2;q:,問:?p是?q的什么條件?

        解析:由|3x-4|>2,得x>2或也即p:x>2或,得x>2或x<-1,即q:x>2或x<-1。容易判斷q是p的充分不必要條件,從而?p是?q的充分不必要條件。

        點(diǎn)評(píng):條件和結(jié)論帶有否定性詞語的命題,常轉(zhuǎn)化為其逆否命題來判斷真假。

        練習(xí)3:p:x≠3且y≠2,q:x+y≠5,說明p是q的什么條件。

        解析:原命題等價(jià)于判斷?q:x+y=5是?p:x=3或y=2的什么條件。

        顯然?q?/?p,?p?/?q,所以p是q的既不充分也不必要條件。

        四、充分條件、必要條件的探究

        例4命題“?x∈[1,3],x2-a≤0”為真命題的一個(gè)充分不必要條件是( )。

        A.a≥9 B.a≤9

        C.a≥10 D.a≤10

        解析:命題“?x∈[1,3],x2-a≤0”?“?x∈[1,3],x2≤a”,9≤a。則a≥10是命題“?x∈[1,3],x2-a≤0”為真命題的一個(gè)充分不必要條件。

        點(diǎn)評(píng):充分條件、必要條件的探究,關(guān)鍵是正確化簡(jiǎn)條件,尋求問題成立的充要條件。

        練習(xí)4:圓x2+y2=1與直線y=kx-3有公共點(diǎn)的充分不必要條件是( )。

        解析:若直線與圓有公共點(diǎn),則圓心(0,0)到直線kx-y-3=0的距離≤1,即,k2+1≥9,k2≥8,k≥所以圓x2+y2=1 與直線y=kx-3有公共點(diǎn)的充分不必要條件是,選B。

        五、充分條件、必要條件的應(yīng)用

        例5已知p:|2x-3|<m,q:x(x-3)<0,若p是q的充分不必要條件,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是____。

        解析:設(shè)|2x-3|<m和x(x-3)<0的解集分別為A,B。易知B={x|0<x<3},當(dāng)m≤0時(shí)A=?,符合題意;當(dāng)m>0時(shí),A要使p是q的充分不必要條件,則AB,應(yīng)有

        綜上,實(shí)數(shù)m的取值范圍是m<3。

        點(diǎn)評(píng):根據(jù)充分、必要條件求解參數(shù)范圍的方法及注意點(diǎn):

        (1)把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系,然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(或不等式組)求解。

        (2)要注意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn)。尤其是利用兩個(gè)集合之間的關(guān)系求解參數(shù)的取值范圍時(shí),不等式是否能夠取等號(hào)決定端點(diǎn)值的取舍,處理不當(dāng)容易出現(xiàn)漏解或增解的現(xiàn)象。

        練習(xí)5:設(shè)p:實(shí)數(shù)x滿足x2-4ax+3a2<0,a∈R;q:實(shí)數(shù)x滿足x2-x-6≤0 或x2+2x-8>0。若a<0且p是q的充分不必要條件,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

        解析:由p得(x-3a)(x-a)<0,當(dāng)a<0時(shí),3a<x<a。

        由q得x2-x-6≤0或x2+2x-8>0,解得x<-4或x≥-2。

        設(shè)A=(3a,a),B=(-∞,-4)∪[-2,+∞)。

        由p是q的充分不必要條件,可知AB,故a≤-4或3a≥-2,即a≤-4或a≥

        又因?yàn)閍<0,所以a≤-4或≤a<0,即實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-∞,-4]∪

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