何 團(tuán)，唐 波，張 進(jìn)，張 玉

(國(guó)防科技大學(xué)電子對(duì)抗學(xué)院，安徽 合肥 230037)

0 引言

空時(shí)自適應(yīng)處理(Space-Time Adaptive Processing，STAP)是用于強(qiáng)雜波背景中運(yùn)動(dòng)目標(biāo)檢測(cè)的關(guān)鍵技術(shù)。在STAP中，需要精確估計(jì)待檢測(cè)距離單元的雜波協(xié)方差矩陣(Clutter Covariance Matrix，CCM)。傳統(tǒng)的STAP方法使用待檢測(cè)距離單元附近距離單元的訓(xùn)練樣本來(lái)估計(jì)CCM。根據(jù)STAP理論[1]，要使估計(jì)雜波協(xié)方差矩陣帶來(lái)的雜波抑制性能損失小于3 dB，訓(xùn)練樣本數(shù)至少為2倍系統(tǒng)自由度。然而，實(shí)際環(huán)境中雜波分布往往是非均勻的，尤其是在非正側(cè)視條件下非均勻性更加嚴(yán)重，這就使得用于估計(jì)CCM的訓(xùn)練樣本數(shù)很難滿足要求，從而導(dǎo)致估計(jì)的CCM不準(zhǔn)確，雜波抑制性能?chē)?yán)重下降。

作為機(jī)載雷達(dá)最有效的雜波抑制手段，STAP技術(shù)已由單輸入多輸出(Single-Input Multiple-Output，SIMO)雷達(dá)拓展到了多輸入多輸出(Multiple-Input Multiple-Output，MIMO)雷達(dá)[2]。相比SIMO-STAP，MIMO-STAP可以實(shí)現(xiàn)更窄的雜波凹口，更優(yōu)的最小可探測(cè)速度性能，更高的多普勒分辨率，且更能降低雜波水平[3-4]。近年來(lái)，稀疏恢復(fù)技術(shù)被應(yīng)用到SIMO-STAP中，與傳統(tǒng)的STAP算法相比，稀疏恢復(fù)技術(shù)能夠在訓(xùn)練樣本數(shù)較少的情況下較為精確地估計(jì)出雜波譜[5]?，F(xiàn)在稀疏恢復(fù)技術(shù)也慢慢擴(kuò)展到了MIMO-STAP中。

基于貝葉斯學(xué)習(xí)的稀疏恢復(fù)算法[6]在雜波滿足一定概率分布的前提下可恢復(fù)出精確的雜波譜，但如果雜波實(shí)際的概率分布模型與假設(shè)的概率分布模型存在偏差，該方法的性能就會(huì)嚴(yán)重下降。正則化FOCUSS[7]等眾多需要引入正則化參數(shù)的算法也可用于雜波譜的稀疏恢復(fù)，但這些算法都需要設(shè)定恰當(dāng)?shù)某瑓?shù)，才能獲得較好的性能，而實(shí)際上超參數(shù)的設(shè)定往往不易把握。OMP[8]等貪婪算法通過(guò)不斷挑選與殘差矢量相關(guān)性最大的原子進(jìn)入支撐集，從而不斷減小殘差，直到殘差小于門(mén)限值。但如果原子間相關(guān)性較強(qiáng)，其恢復(fù)性能就會(huì)嚴(yán)重下降。以上算法應(yīng)用于MIMO-STAP都會(huì)存在相應(yīng)不足，因此亟需尋求一種能彌補(bǔ)以上不足的稀疏方法來(lái)求解非正側(cè)視條件下的雜波譜。

貪婪算法中OMP算法不需考慮雜波的先驗(yàn)分布模型，且不需設(shè)置任何超參數(shù)，具有簡(jiǎn)單、高效的特點(diǎn)，但由于MIMO-STAP中原子間相關(guān)性較強(qiáng)使得OMP并不適用于恢復(fù)雜波譜。但如果能將OMP算法因原子間相關(guān)性強(qiáng)而帶來(lái)性能損失這一缺點(diǎn)進(jìn)行改善，就可以得到一種優(yōu)秀的雜波譜求解算法。因此，針對(duì)MIMO-STAP在非正側(cè)視條件下雜波抑制性能?chē)?yán)重下降的問(wèn)題，本文提出了一種改進(jìn)OMP算法用于雜波譜的稀疏恢復(fù)。

1 雜波譜稀疏恢復(fù)問(wèn)題建模

1.1 MIMO雷達(dá)雜波信號(hào)模型

考慮機(jī)載MIMO雷達(dá)在非正側(cè)視條件下的雜波模型[9]。

圖1為機(jī)載MIMO雷達(dá)幾何模型，其中φ為雜波塊的俯仰角，θ為雜波塊的方位角(為方便建模，設(shè)θ∈[-π,π]，從y軸正軸開(kāi)始逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)半圈，θ取值變化為0→π，從y軸正軸開(kāi)始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)半圈θ取值變化為0→-π)，Φ為線陣方向與雜波塊方向所成的空間錐角，Δ為偏航角；V為載機(jī)速度(V方向位于x、y軸正方向之間，且平行于xoy平面)，h為載機(jī)距離地面的高度。

圖1 機(jī)載MIMO雷達(dá)幾何模型Fig.1 Geometric model of airborne MIMO radar

設(shè)陣列天線中發(fā)射陣元個(gè)數(shù)為M，接收陣元個(gè)數(shù)為N，1個(gè)相干處理間隔內(nèi)發(fā)射K個(gè)脈沖，脈沖重復(fù)頻率為fr，發(fā)射波長(zhǎng)為λ，發(fā)射陣元間距和接收陣元間距分別為dt和dr(一般為避免柵瓣問(wèn)題，取dr=λ/2)。

天線陣列在平臺(tái)上的具體安裝布局如圖2所示。

圖2 機(jī)載MIMO雷達(dá)陣列配置圖Fig.2 Array configuration diagram of airborne MIMO radar

天線為均勻線陣，發(fā)射陣元和接收陣元都為線性排列，兩線陣方向一致。各發(fā)射陣元間距均為dt，接收陣元間距均為dr。

MIMO雷達(dá)各發(fā)射陣元發(fā)射的信號(hào)為碼分正交信號(hào)[10]，各信號(hào)間滿足正交關(guān)系。且發(fā)射陣元都為全向發(fā)射，其能量覆蓋沒(méi)有方向性，在所有方向增益相同。通過(guò)匹配濾波,可以在接收端分離出各個(gè)正交的發(fā)射陣元信號(hào)。

設(shè)第l個(gè)距離環(huán)俯仰角為φl(shuí)，將其均勻切分為Nc個(gè)雜波塊，其中第p個(gè)雜波塊的方位角為θp。設(shè)fs表示雜波塊的空間頻率，fd表示雜波塊的多普勒頻率，則第p個(gè)雜波塊對(duì)應(yīng)的空時(shí)導(dǎo)向矢量可表示為：

v(fd,fs)=vd(fd)?vt(fs)?vr(fs)

(1)

式(1)中，?表示Kronecker積；vt為發(fā)射導(dǎo)向矢量，vr為接收導(dǎo)向矢量，vd為時(shí)域?qū)蚴噶俊０l(fā)射和接收導(dǎo)向矢量分別為：

vt(fs)=[1 ej2πγfs… ej2π(M-1)γfs]T

(2)

vr(fs)=[1 ej2πfs… ej2π(N-1)fs]T

(3)

式(2)、(3)中，γ為發(fā)射陣元間距與接收陣元間距之比；第p個(gè)雜波塊的空間頻率與θp、φl(shuí)關(guān)系式為fs(θp,φl(shuí)) =drcos(θp)cos(φl(shuí))/λ。

時(shí)域?qū)蚴噶繛椋?/p>

vd(fd)=[1 ej2πfd…ej2π(K-1)fd]T

(4)

其中，第p個(gè)雜波塊的多普勒頻率與θp、φl(shuí)關(guān)系式為fd(θp,φl(shuí))=2Vcos(θp+Δ)cos(φl(shuí))/(λfr)。

則可將第l個(gè)距離環(huán)對(duì)應(yīng)的雜波表示為：

(5)

式(5)中，σp為第p個(gè)雜波塊的回波幅度；fs,p為第p個(gè)雜波塊的空間頻率，fd,p為第p個(gè)雜波塊的多普勒頻率。

1.2 MIMO雷達(dá)雜波譜的稀疏恢復(fù)模型

一般情況下，為得到稀疏恢復(fù)所需的字典，需將整個(gè)空時(shí)二維平面網(wǎng)格化，將所有網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的空時(shí)導(dǎo)向矢量取出組成超完備字典ψ。設(shè)Q=NM，將空時(shí)二維平面空間頻率和多普勒頻率分別離散為Ns格和Nd格，設(shè)Ns=ρsQ，Nd=ρdK，其中ρs和ρd分別為fs和fd的離散化系數(shù)。字典ψ的大小取決于ρs和ρd，但目前ρs和ρd尚沒(méi)有明確的最優(yōu)值，只能結(jié)合具體問(wèn)題給出經(jīng)驗(yàn)化的取值。

雜波分布在空時(shí)二維平面上具有稀疏性[11]，可由超完備字典近似表示為：

(6)

式(6)中，v(fd,i，fs,j)表示空時(shí)二維平面上空間頻率為fs,j，多普勒頻率為fd,i時(shí)所對(duì)應(yīng)的空時(shí)導(dǎo)向矢量；σ為待求的稀疏參數(shù)矢量。

一般情況下，稀疏恢復(fù)的目的就是確定矢量σ，則雜波譜的稀疏恢復(fù)問(wèn)題最終可表述為：

(7)

式(7)中，y為不含目標(biāo)信號(hào)的觀測(cè)信號(hào)矢量；ε為誤差范圍值。

2 OMP改進(jìn)算法

2.1 雜波脊線的確定

OMP改進(jìn)算法的第一步就是確定非正側(cè)視條件下雜波脊線的大致位置。

首先，空間頻率fs可由下式求得：

fs=drcosθcosφ/λ

(8)

多普勒頻率fd可由下式求得：

fd=2Vcos(θ+Δ)cosφ/(λfr)

(9)

式(8)、式(9)中，接收陣元間距dr、信號(hào)波長(zhǎng)λ、脈沖重復(fù)頻率為fr和飛機(jī)速度V這幾個(gè)參數(shù)都可由先驗(yàn)知識(shí)精確得到。但偏航角Δ難以準(zhǔn)確獲得，且處在不同距離環(huán)的訓(xùn)練樣本對(duì)應(yīng)的俯仰角φ也會(huì)因距離模糊而略有差異。因此，要確定雜波脊線，偏航角Δ和俯仰角φ的求解非常關(guān)鍵。本文提出以下方法來(lái)求取偏航角Δ和俯仰角φ。

當(dāng)偏航角大小為0時(shí)，雜波脊線為一條直線，在圖3中由m表示。在此條件下，直線m的斜率可由式(8)除以式(9)求得，設(shè)直線斜率為k，則

(10)

圖3中，直線n與直線m相互垂直，則直線n的斜率為-1/k。

圖3 確定雜波脊線的示意圖Fig.3 Diagram of determining the clutter ridge

顯然，兩直線均過(guò)原點(diǎn)，且斜率都能由先驗(yàn)知識(shí)精確求得，故而兩直線的解析式都能明確。在確定兩直線后，先將直線m均勻離散為足夠多個(gè)點(diǎn)，并將這些點(diǎn)對(duì)應(yīng)的空時(shí)導(dǎo)向矢量與觀測(cè)信號(hào)矢量作內(nèi)積處理并取模。顯然，在點(diǎn)1、3處會(huì)獲得內(nèi)積模值的波峰值，根據(jù)波峰值的具體位置即可確定點(diǎn)1、3坐標(biāo)。同理，對(duì)直線n作相同處理，即可確定點(diǎn)2、4坐標(biāo)。

選取點(diǎn)1和點(diǎn)2坐標(biāo)值進(jìn)行后續(xù)處理。設(shè)點(diǎn)1在圖1幾何模型中對(duì)應(yīng)方位角為θ0，則點(diǎn)1的橫坐標(biāo)為：

fd,1=2Vcos(θ0+Δ)cosφ/(λfr)

(11)

點(diǎn)1的縱坐標(biāo)為：

fs,1=drcosθ0cosφ/λ

(12)

當(dāng)點(diǎn)1對(duì)應(yīng)方位角為θ0時(shí)，易得點(diǎn)2在幾何模型中對(duì)應(yīng)的方位角為(θ0+π/2)。

則點(diǎn)2的橫坐標(biāo)為：

fd,2=2Vcos(θ0+Δ+π/2)cosφ/(λfr)= -2Vsin(θ0+Δ)cosφ/(λfr)

(13)

點(diǎn)2的縱坐標(biāo)為：

fs,2=drcos(θ0+π/2)cosφ/λ= -drsin(θ0)cosφ/λ

(14)

式(14)除以式(12)可得：

(15)

式(13)除以式(11)可得：

(16)

結(jié)合式(15)，式(16)即可求得偏航角Δ為：

(17)

結(jié)合式(12)、式(15)即可求得俯仰角φ。

當(dāng)偏航角Δ和俯仰角φ都求得后，非正側(cè)視條件下的雜波脊線即可確定。當(dāng)然，由于估計(jì)誤差的存在，所確定的雜波脊線可能會(huì)有少許偏差，但完全在可接受范圍內(nèi)。在確定雜波脊線位置后，即可在此基礎(chǔ)上進(jìn)入下一步驟，得到最終所需的OMP改進(jìn)算法。

2.2 OMP改進(jìn)

一般情況下，稀疏恢復(fù)所需字典中的每個(gè)原子都由空間頻率fs和多普勒頻率fd決定。而fs和fd本身取值范圍較小，故而字典原子間的相關(guān)性較大。OMP算法在挑選原子時(shí)，原子與殘差的相關(guān)性大小是唯一的挑選依據(jù)，但在字典原子間相關(guān)性較大的條件下，此挑選依據(jù)就會(huì)出現(xiàn)問(wèn)題。

如果挑選出的原子都位于雜波脊線，則OMP算法恢復(fù)出的雜波譜精度較高。但實(shí)際上由于字典原子間相關(guān)性較大，就會(huì)造成某些距離雜波脊線較遠(yuǎn)的原子與殘差的相關(guān)性很大，甚至超過(guò)了部分與雜波脊線較近的原子。這也就使得在挑選字典原子時(shí)，可能將距離雜波脊線較遠(yuǎn)的原子挑出，導(dǎo)致支撐集內(nèi)的原子組成與實(shí)際雜波的原子組成出入較大，最終使得挑選出的原子在空時(shí)二維平面上分布散亂，恢復(fù)出的雜波譜精度較低。

為解決這一問(wèn)題，可考慮增加另一條原子挑選依據(jù)，即原子對(duì)應(yīng)點(diǎn)與雜波脊線的距離是否滿足距離門(mén)限。只有同時(shí)滿足兩個(gè)挑選依據(jù)時(shí)，才將原子放入支撐集，也就是說(shuō)在原子滿足與殘差相關(guān)性最大的前提下再判斷該原子對(duì)應(yīng)點(diǎn)與雜波脊線的距離是否小于設(shè)定門(mén)限。如果滿足則將該原子放入支撐集，反之則舍棄該原子并對(duì)下一個(gè)原子進(jìn)行判斷，直到找到同時(shí)滿足兩條挑選準(zhǔn)則的原子并將其放入支撐集。不斷擴(kuò)充支撐集以減小殘差，直到最后的殘差小于設(shè)定門(mén)限值。

其中空時(shí)二維平面上點(diǎn)與雜波脊線距離的計(jì)算方法如下：

首先將確定好的雜波脊線離散化為T(mén)(T足夠大)個(gè)點(diǎn)，令Δθ=2π/T。則這些點(diǎn)的集合可表示為：

P={(fd,fs)|fs=drcosθcosφ/λ,fd=2Vcos(θ+Δ)cosφ/(λfr)(θ=-π,-π +1·Δθ,-π +2·Δθ…,+π)}

(18)

設(shè)某原子與殘差相關(guān)性最大，其空間頻率為fs,0，多普勒頻率為fd,0，則該原子對(duì)應(yīng)點(diǎn)與雜波脊線的距離可近似求解為：

在求得該原子與雜波脊線的最小距離后，即可判斷其是否小于設(shè)定的距離門(mén)限d0，從而決定該原子是否可以進(jìn)入支撐集。

OMP改進(jìn)算法具體步驟如下：

1) 任務(wù)：近似求解問(wèn)題：

2) 參數(shù)：給定觀測(cè)矢量y，字典矩陣ψ和誤差閥值ε。

3) 初始化：初始設(shè)置k=0，并設(shè)置：

①初始解為σ0=0；

②初始?xì)埐顬閞0=y；

③初始解的支撐集為S0=support{σ0}=?。

4) 主要迭代：每次k增加1，且執(zhí)行以下步驟：

②更新支撐集：確定使ξ(j)取最小值的j0，?j?Sk-1，ξ(j0)≤ξ(j)，且計(jì)算aj0在空時(shí)二維平面對(duì)應(yīng)點(diǎn)與雜波脊線的距離d。若d滿足d≤d0，則更新支撐集Sk=Sk-1∪{j0}，且進(jìn)入③，反之則現(xiàn)殘差條件下不再考慮該原子，重新進(jìn)入②；

④更新殘差：計(jì)算rk=y-ψσk；

⑤停止條件：如果‖rk‖2≤ε，則停止迭代，否則，返回4)繼續(xù)迭代。

5) 輸出：在k次迭代滿足停止條件后輸出優(yōu)化解σk。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

OMP改進(jìn)算法性能可以有較大的提升，現(xiàn)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證。機(jī)載MIMO雷達(dá)發(fā)射、接收天線都為均勻線陣，具體的仿真條件如表1所示。

表1 仿真參數(shù)

3.1 確定雜波脊線和所挑原子分布

圖4為某個(gè)訓(xùn)練樣本求解偏航角和俯仰角所得的曲線圖，其中俯仰角余弦值設(shè)置為0.8。圖4(a)、4(b)分別為直線m、n上各點(diǎn)對(duì)應(yīng)導(dǎo)向矢量與觀測(cè)矢量的內(nèi)積模值曲線。顯然，兩幅圖中波峰值對(duì)應(yīng)點(diǎn)即為直線m、n與雜波脊線的4 個(gè)交點(diǎn)，找到點(diǎn)1、2并計(jì)算出其橫、縱坐標(biāo)值。在得到點(diǎn)1、2的坐標(biāo)值后，經(jīng)計(jì)算可得偏航角大小為1.045 4 rad(59.897°)，俯仰角余弦值大小為0.790 4。由此可見(jiàn)，估計(jì)的偏航角和俯仰角與仿真設(shè)定值偏差較小，確定的雜波脊線比較接近設(shè)定的雜波脊線。

圖5為OMP算法和OMP改進(jìn)算法最后挑選出的原子在空時(shí)二維平面上的分布。從圖中可以看出，OMP算法挑選出的部分原子分布比較離散，與雜波脊線的距離較遠(yuǎn)。OMP改進(jìn)算法挑選出的原子均分布在雜波脊線附近，比較接近實(shí)際雜波在空時(shí)二維平面上的原子分布。

3.2 雜波空時(shí)二維譜比較

圖6(a)為已知CCM對(duì)應(yīng)的精確雜波譜。圖6(b)為OMP算法估計(jì)的雜波譜，相較于精確雜波譜，該雜波譜在空時(shí)二維平面上分布比較離散，恢復(fù)效果總體較差。圖6(c)為OMP改進(jìn)算法估計(jì)的雜波譜，該雜波譜展寬較小，能量均勻集中分布在雜波脊線附近，恢復(fù)效果比較接近精確雜波譜。顯然，OMP改進(jìn)算法所恢復(fù)的雜波譜精度較高。

圖4 直線上各點(diǎn)與觀測(cè)數(shù)據(jù)內(nèi)積模值曲線Fig.4 Inner product modulu curves of points on the line and the observed data

圖5 各算法所挑原子分布Fig.5 The distribution of atoms selected by each algorithm

圖6 各算法估計(jì)的雜波譜Fig.6 The clutter spectrum estimated by each algorithm

3.3 輸出SINR比較

為比較各算法的雜波抑制性能，采用輸出信干噪比(SINR)作為衡量基準(zhǔn)。輸出信干噪比(無(wú)有源干擾時(shí))定義為輸出信號(hào)與輸出雜波加噪聲的比值，具體表述為：

(20)

式(20)中，w為濾波權(quán)矢量；vt為目標(biāo)信號(hào)矢量；RI為雜波協(xié)方差矩陣與噪聲協(xié)方差矩陣之和。

圖7中曲線均為100次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)所得。從圖中可以看出，OMP算法的輸出SINR曲線凹口展寬較大，且遠(yuǎn)低于最優(yōu)濾波器的輸出SINR曲線，總體輸出SINR性能較差。OMP改進(jìn)算法輸出SINR曲線凹口較小，總體比較接近最優(yōu)濾波器的輸出SINR曲線?？梢?jiàn)OMP改進(jìn)算法輸出SINR性能較好，且要顯著優(yōu)于改進(jìn)前的OMP算法。

圖7 輸出SINR比較Fig.7 Comparison of the output SINR

4 結(jié)論

本文提出了基于改進(jìn)OMP的非正側(cè)視MIMO-STAP算法。該算法首先確定非正側(cè)視條件下的雜波脊線，然后進(jìn)行原子挑選，在OMP算法的基礎(chǔ)上，增加了一條原子挑選依據(jù)，即將原子與殘差的相關(guān)性大小和對(duì)應(yīng)點(diǎn)與雜波脊線的距離大小同時(shí)作為挑選依據(jù)，不斷挑選原子進(jìn)入支撐集，直到殘差小于門(mén)限值。仿真結(jié)果表明，OMP改進(jìn)算法挑選出的字典原子都分布在雜波脊線附近，使用OMP改進(jìn)算法恢復(fù)出的雜波譜精度較高，得到的空時(shí)二維濾波器雜波抑制性能良好。