冷維杰， 孫志峻， 彭瀚旻

(南京航空航天大學(xué)機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 南京，210016)

引 言

超聲電機(jī)作為一門(mén)多學(xué)科結(jié)合的新技術(shù)，其工作原理是利用壓電陶瓷的逆壓電效應(yīng)和超聲振動(dòng)來(lái)激發(fā)彈性體(定子)在超聲頻段內(nèi)的微幅振動(dòng)，并通過(guò)定、轉(zhuǎn)子(動(dòng)子)之間的摩擦作用將振動(dòng)轉(zhuǎn)換成轉(zhuǎn)子的直線(xiàn)或者旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，輸出功率，驅(qū)動(dòng)負(fù)載[1]。超聲電機(jī)運(yùn)行過(guò)程中，定子和轉(zhuǎn)子之間的預(yù)壓力對(duì)其摩擦性能有著重要影響，甚至直接決定了超聲電機(jī)的整體輸出性能，因此，對(duì)定子和轉(zhuǎn)子施加穩(wěn)定的預(yù)壓力十分重要[2]。

開(kāi)槽碟簧作為一種具有非線(xiàn)性剛度特性的承壓結(jié)構(gòu)，非常適用于超聲電機(jī)的預(yù)壓力加載。目前，部分超聲電機(jī)已經(jīng)采用碟形彈簧進(jìn)行定轉(zhuǎn)子之間的預(yù)壓力加載，但是對(duì)于小尺寸系列超聲電機(jī)，由于其尺寸的限制，需要對(duì)碟形彈簧進(jìn)行結(jié)構(gòu)改進(jìn)設(shè)計(jì)。同時(shí)，由于小尺寸系列超聲電機(jī)的輸出性能對(duì)預(yù)壓力的波動(dòng)非常敏感，碟形彈簧的設(shè)計(jì)對(duì)計(jì)算模型的精度提出了更高的要求。目前，在碟形彈簧的設(shè)計(jì)過(guò)程中[3-5]，普遍使用的傳統(tǒng)計(jì)算公式是從經(jīng)典的Almen-Laszlo 理論[6]出發(fā)，結(jié)合傳統(tǒng)的懸臂梁小變形理論，推導(dǎo)出的載荷-位移剛度特性的計(jì)算公式(簡(jiǎn)稱(chēng)Schremmer公式[7])。但是該計(jì)算公式精度較差，適用范圍受到諸多限制，不能滿(mǎn)足設(shè)計(jì)需求?？紤]到以上因素，筆者采用在碟形彈簧基礎(chǔ)上進(jìn)一步改進(jìn)結(jié)構(gòu)的開(kāi)槽碟簧作為小尺寸系列超聲電機(jī)的預(yù)壓力加載部件，并基于圓錐殼體理論建立了開(kāi)槽碟簧的力學(xué)計(jì)算模型。試驗(yàn)結(jié)果表明，該力學(xué)計(jì)算模型具有較高的準(zhǔn)確性。

1 開(kāi)槽碟簧的力學(xué)模型

1.1 開(kāi)槽碟簧的結(jié)構(gòu)

開(kāi)槽碟簧的幾何結(jié)構(gòu)以及截面受壓變形示意圖如圖1、圖2所示。開(kāi)槽碟簧可以看成由外圈的普通碟簧和內(nèi)圈的數(shù)個(gè)分離齒組成。通過(guò)滑動(dòng)簡(jiǎn)支條件的支承，開(kāi)槽碟簧承受豎直方向上的軸對(duì)稱(chēng)載荷P作用。

圖1 開(kāi)槽碟簧的基本幾何結(jié)構(gòu)Fig.1 Basic geometry of slotted belleville spring

圖2 開(kāi)槽碟簧A-A剖面受壓變形圖Fig.2 Deformation image of A-A profile

1.2 外圈普通碟簧的力學(xué)計(jì)算模型

取外圈碟簧的一段變形微元進(jìn)行分析，如圖3所示。其中：左邊表示未變形時(shí)候的狀態(tài)；右邊表示變形后的狀態(tài)，變形后相應(yīng)的變量用*號(hào)進(jìn)行了標(biāo)記；α為變形前微元沿徑向的切線(xiàn)與對(duì)稱(chēng)軸的夾角；θ=α*-α為半徑R處微元徑向切線(xiàn)的轉(zhuǎn)角；ξ為圓周方向；η為徑向方向。

圖3 徑向微元的幾何結(jié)構(gòu)變形Fig.3 Structure deformation of radial infinitesimal

由幾何關(guān)系可知，周向曲率的變化量xξ為

(1)

徑向方向上，由于初始狀態(tài)下，碟簧的曲率為零，因此徑向方向上的中面曲率就是曲率變化量，徑向曲率變化為

(2)

周向線(xiàn)應(yīng)變?yōu)?/p>

(3)

徑向位移為

ur=Rεξ=R*-R

(4)

徑向方向上，中面線(xiàn)應(yīng)變?yōu)?/p>

(5)

對(duì)式(4)微分并結(jié)合式(5)可得協(xié)調(diào)性條件

(6)

在豎直方向上， 微元在z方向的高度增量為

(7)

定義NR，Nz，Mx和Mh為微元中面單位長(zhǎng)度上受到的力和力矩?？紤]到幾何結(jié)構(gòu)和受力的軸對(duì)稱(chēng)性，微元所受的剪切力、扭矩以及橫向剪切力Qx均為0，微元的受力情況如圖4所示。

圖4 微元受力示意圖Fig.4 Free-body diagram of radial infinitesimal

記微分算子

(8)

其中：f為可微函數(shù)。

Nξ=-[V]′sinα

(9)

其中：V=NRR。

如圖4所示，對(duì)K點(diǎn)取彎矩平衡有∑Mk=0，即有

(10)

沿徑向方向的合力為

(11)

根據(jù)Kirchhoff-Love假設(shè)，可得圓錐殼的彈性定律為

(12)

其中：E為圓錐殼的彈性模量；v為泊松比；D=Eh3/[12(1-v2)]為彎曲剛度；h為圓錐殼的厚度。

將式(9)、式(11)代入式(12)，并結(jié)合式(6)可得

(13)

將式(1)、式(2)代入式(12)，并結(jié)合式(10)可得

(14)

碟簧的力學(xué)計(jì)算模型包含2個(gè)2階微分方程式(13)和式(14)，為了便于計(jì)算，先將上述2階微分方程轉(zhuǎn)化為只包含1階變量的狀態(tài)方程，并引入待求微元變形后的豎直位置變量z*和變形后的徑向位置變量R*，得到以下包含變量組(θ,Rθ′,V,RV′,z*,R*)的狀態(tài)方程組

(15)

求解上述方程組，即可得到碟簧在載荷P下的內(nèi)徑處豎直方向上的位移

(16)

由于開(kāi)槽碟簧外圈碟簧部分的邊界條件分布在內(nèi)外徑處，方程組(15)的求解問(wèn)題為邊值問(wèn)題，采用打靶法將其處理為初值問(wèn)題，并結(jié)合Runge-Kutta方法可進(jìn)行求解。

1.3 內(nèi)圈分離齒的力學(xué)計(jì)算模型

開(kāi)槽碟簧的受載過(guò)程中，受豎直方向上集中力作用的內(nèi)圈分離齒變形，可看作漸變截面懸臂梁自由端受集中載荷大變形問(wèn)題進(jìn)行求解，如圖5所示。

圖5 懸臂梁自由端受集中載荷作用圖Fig.5 Loading diagram of cantilever beam with concentrated load on the free end

目前，對(duì)于懸臂梁大變形問(wèn)題，針對(duì)不同的受力情況和邊界條件，已經(jīng)得到了有效的計(jì)算方法[8-10]。由材料力學(xué)推導(dǎo)[11]可以得到任意情況彎曲變形的撓曲線(xiàn)微分方程

(17)

其中：w為x處懸臂梁的撓度；M(x)為x處懸臂梁所受到的轉(zhuǎn)矩；I(x)為x處懸臂梁的截面慣性矩。

設(shè)定Q(x)=M(x)/I(x)，y(x)=dw/dx，原曲線(xiàn)微分方程(1)可變換為

(18)

分離變量并積分可得

(19)

其中

(20)

從式(20)中解出y(x)并積分可得懸臂梁撓度

(21)

由于懸臂梁固定端處不發(fā)生移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)，因此該處的邊界條件為

(22)

w|x=0=0

(23)

代入式(21)中可得積分常數(shù)C1=0，C2=0。

假設(shè)懸臂梁的原長(zhǎng)為L(zhǎng)0，受載變形后自由端水平位移為Δ，受載變形后的懸臂梁在水平方向上的投影長(zhǎng)度為L(zhǎng)，則有L=L0-Δ，如圖5所示。由于變形前后懸臂梁的總長(zhǎng)度保持不變，因此有條件

即

(24)

由以上推導(dǎo)可知，一旦確定了自由端的水平位移Δ，就可求得g(x)。水平位移Δ可以通過(guò)試誤法確定，即先給定Δ某個(gè)初值，然后用二分法，當(dāng)式(24)右邊表達(dá)式的計(jì)算結(jié)果與懸臂梁原長(zhǎng)L0的誤差在設(shè)定的誤差范圍內(nèi)時(shí)，可視作Δ即為所求。得到g(x)即可通過(guò)式(21)求得懸臂梁變形的撓度曲線(xiàn)。對(duì)于漸變截面懸臂梁，其基本幾何結(jié)構(gòu)如圖6所示。其中：b1為齒根寬度；b0為齒頂寬度；b(x)為距離固定端x處的截面寬度。

圖6 漸變截面懸臂梁的基本幾何結(jié)構(gòu)Fig.6 Basic geometry of cantilever beam with gradual change section

由幾何關(guān)系可知

b(x)=(1-x/L0)b1+(x/L0)b2

(25)

截面慣性矩I(x)為

I(x)=b(x)h3/12=b1h3/12+h3x(b2-b1)/12L0

(26)

將上述推導(dǎo)的b(x),I(x)代入式(20)可得

(27)

將g(x)代入式(24)，利用二分法確定懸臂梁自由端水平位移Δ，然后重新代入式(27)求得g(x)，最后通過(guò)式(21)求得懸臂梁變形的撓曲線(xiàn)方程。

1.4 開(kāi)槽碟簧的力學(xué)計(jì)算模型

分離齒齒頂處的豎直方向上總位移由兩部分組成：a.外圈蝶形彈簧變形帶動(dòng)分離齒的剛性轉(zhuǎn)動(dòng)；b.內(nèi)圈分離齒的受載彎曲變形。

1.4.1 外圈碟簧部分

通過(guò)載荷移置，將作用在懸臂梁自由端的載荷P移置到外圈碟簧的頂部，其大小不變，并設(shè)定其均勻作用在整個(gè)圓周上，則作用在碟簧頂部圓周的線(xiàn)載荷大小為Pl=P/(πd1)。另外，由于載荷的移置，產(chǎn)生的移置彎矩Ml也作用在碟簧頂部圓周處，周向的線(xiàn)彎矩大小為Ml=Mp/(πd1)，其方向如圖2所示。開(kāi)槽碟簧工作過(guò)程中，碟簧外徑自由端水平方向受力NR為零，并且沒(méi)有彎矩作用，即碟簧外徑有邊界條件

(28)

將式(9)、式(11)代入式(12)，并結(jié)合式(4)可得外圈碟簧受載變形后的外徑位置

(29)

同時(shí)，碟簧外徑處豎直方向位移為零，即

(30)

碟簧內(nèi)徑處，由于移置彎矩Ml的影響，其邊界條件為

(31)

即

(32)

由于外圈碟簧在受載過(guò)程中產(chǎn)生了彎曲變形，計(jì)算外圈碟簧變形對(duì)開(kāi)槽碟簧分離齒自由端總位移的作用大小時(shí)，應(yīng)該考慮外圈碟簧頂端處的內(nèi)錐角度變化的影響。設(shè)定碟簧頂端處的內(nèi)錐角度變化量為θi，其具體數(shù)值可由1.2節(jié)求解碟簧剛度特性計(jì)算微分方程組中的變量θ得到，頂端處的內(nèi)錐角度為βi=β-θi，則由圖2中的幾何關(guān)系可知，外圈碟簧受載變形對(duì)總位移的作用大小為

(33)

1.4.2 內(nèi)圈分離齒部分

開(kāi)槽碟簧的分離齒部分可以當(dāng)做漸變截面懸臂梁進(jìn)行計(jì)算，在1.3節(jié)中已經(jīng)推導(dǎo)了漸變截面懸臂梁的計(jì)算模型。注意到開(kāi)槽碟簧的幾何結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，m個(gè)分離齒共同承載外部載荷P,因此對(duì)于單個(gè)分離齒，所受到的載荷Pi=P/m。由開(kāi)槽碟簧的內(nèi)錐角度β，可得外部載荷P在垂直于懸臂梁的y方向上的分力為Pv=Picosβ，可知距離分離齒齒根x距離處截面的彎矩為

M(x)=Pv(L-x)

(34)

其中：L=L0-Δ,Δ為懸臂梁自由端在x方向上的位移。

將式(34)代入式(27)可得

(35)

進(jìn)一步將式(35)代入式(24)，并通過(guò)試誤法可計(jì)算得懸臂梁自由端的x方向上的位移Δ，然后通過(guò)式(21)

(36)

可求得懸臂梁自由端沿y軸方向的位移w，根據(jù)所求結(jié)果可得懸臂梁自由端在豎直方向上的位移為

W2=wcosθ+Δsinθ

(37)

由以上分析可得，開(kāi)槽碟簧在外載P作用下的總位移大小為

W=Wi+W2=W1+W2+L0sinβ-

(38)

2 開(kāi)槽碟簧力學(xué)模型的計(jì)算

選取試驗(yàn)開(kāi)槽碟簧的基本結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示。

表1 開(kāi)槽碟簧的結(jié)構(gòu)參數(shù)

將本研究的計(jì)算結(jié)果與有限元計(jì)算結(jié)果、傳統(tǒng)Schremmer公式結(jié)果以及試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析，如圖7所示。

圖7 開(kāi)槽碟簧載荷-位移曲線(xiàn)對(duì)比Fig.7 Comparison of force-displacement curves

由對(duì)比結(jié)果可知，筆者提出的理論方法比傳統(tǒng)的Schremmer公式以及有限元方法更加準(zhǔn)確。相對(duì)于試驗(yàn)值，各個(gè)計(jì)算方法的相對(duì)誤差如下：同一變形量情況下，Schremmer公式計(jì)算結(jié)果的最大相對(duì)誤差達(dá)到了±23%，平均相對(duì)誤差達(dá)到±18%；有限元方法計(jì)算結(jié)果的最大相對(duì)誤差為±9.3%，平均相對(duì)誤差為±5.8%；理論計(jì)算方法結(jié)果的最大相對(duì)誤差僅為±3.5%，平均相對(duì)誤差僅為±1.7%。在小變形階段(變形量在0～0.7 mm之間)，開(kāi)槽碟簧的載荷-位移剛度特性近似呈線(xiàn)性關(guān)系，該線(xiàn)性段的壓力值范圍可達(dá)0～127 N。變形量在0.7～1.39 mm范圍時(shí)，開(kāi)槽碟簧的剛度逐漸較小，在變形量WP=1.393 mm時(shí)，剛度變?yōu)榱悖⑦_(dá)到受載的最大值Pmax=168 N。當(dāng)變形量大于Wp，開(kāi)槽碟簧特性曲線(xiàn)處于負(fù)剛度階段。另外，有限元方法的計(jì)算值與試驗(yàn)值在曲線(xiàn)的末端均有一個(gè)壓力值隨位移迅速增大的上翹階段，而筆者提出的計(jì)算方法得到的曲線(xiàn)沒(méi)有上翹階段。主要原因在于開(kāi)槽碟簧試驗(yàn)和有限元模擬過(guò)程中，在曲線(xiàn)末端處已經(jīng)處于壓平狀態(tài)，上下壓板開(kāi)始擠壓開(kāi)槽碟簧，此時(shí)壓力隨著變形的增加而迅速增大。但是對(duì)于理論計(jì)算方法，由于壓力與邊界條件始終限定在內(nèi)外徑處，開(kāi)槽碟簧被壓平之后還可以繼續(xù)沿受載方向發(fā)生變形，因此不會(huì)出現(xiàn)壓力值隨位移迅速增大的上翹階段。

3 準(zhǔn)零剛度特性的參數(shù)敏感性分析

3.1 參數(shù)敏感性試驗(yàn)流程

為了滿(mǎn)足超聲電機(jī)對(duì)開(kāi)槽碟簧準(zhǔn)零剛度特性的需求，建立基于準(zhǔn)零剛度特性需求的開(kāi)槽碟簧結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方法，需要分析準(zhǔn)零剛度特性對(duì)開(kāi)槽碟簧的結(jié)構(gòu)參數(shù)的敏感性。

在實(shí)際超聲電機(jī)用碟簧的制作過(guò)程中，考慮到制作工藝和原材料成本，一般選用彈簧鋼進(jìn)行開(kāi)槽碟簧的設(shè)計(jì)制作，因此，其基本的材料屬性(如彈性模量E和泊松比v)已經(jīng)確定，本研究主要對(duì)開(kāi)槽碟簧的幾何結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行設(shè)計(jì)。另外，由于小尺寸系列超聲電機(jī)的尺寸限制以及開(kāi)槽碟簧的裝配限制，開(kāi)槽碟簧的外徑D1一般根據(jù)實(shí)際情況設(shè)定。因此，對(duì)于超聲電機(jī)用開(kāi)槽碟簧的結(jié)構(gòu)參數(shù)設(shè)計(jì)，設(shè)計(jì)參數(shù)組包含的結(jié)構(gòu)參數(shù)為

(d1,D2,t,H,c)

筆者基于Matlab編制的準(zhǔn)零剛度計(jì)算程序，利用Isight數(shù)字化分析軟件平臺(tái)，建立了敏感性分析試驗(yàn)流程，如圖8所示。

圖8 敏感性分析試驗(yàn)流程Fig.8 Flow of parameter sensitivity analysis

試驗(yàn)過(guò)程中，試驗(yàn)?zāi)K首先將樣本點(diǎn)傳遞給計(jì)算程序Matlab，計(jì)算得到結(jié)果之后，將結(jié)果由Matlab傳遞給試驗(yàn)?zāi)K。如此不斷進(jìn)行循環(huán)計(jì)算，直到試驗(yàn)方案中的樣本點(diǎn)全部計(jì)算完成，試驗(yàn)結(jié)束。整個(gè)試驗(yàn)過(guò)程，樣本點(diǎn)的選擇對(duì)試驗(yàn)分析結(jié)果有很大的影響。因此，為了使樣本點(diǎn)的選取更加容易，對(duì)設(shè)計(jì)參數(shù)組進(jìn)行變量代換處理，設(shè)定

(39)

試驗(yàn)參數(shù)組變化為(q1,q2,q3,H,t)，根據(jù)開(kāi)槽碟簧的實(shí)際使用情況，參數(shù)組的約束范圍為

(40)

在以上約束范圍內(nèi)，布置2 000個(gè)試驗(yàn)樣本點(diǎn)，并進(jìn)行均勻優(yōu)化處理。設(shè)定參數(shù)組(q1,q2,q3,H1,t)為試驗(yàn)因子，準(zhǔn)零剛度區(qū)間長(zhǎng)度L(q1,q2,q3,H1,t)為試驗(yàn)響應(yīng)。

3.2 試驗(yàn)結(jié)果分析

通過(guò)試驗(yàn)方案流程的計(jì)算，得到試驗(yàn)響應(yīng)對(duì)試驗(yàn)因子的敏感性分析Pareto圖，如圖9所示。

圖9 試驗(yàn)響應(yīng)的Pareto圖Fig.9 Pareto diagram of test response

圖9表示試驗(yàn)因子對(duì)試驗(yàn)響應(yīng)的影響程度，并以百分比的形式按照影響程度的大小從上到下排列出來(lái)。其中：藍(lán)色代表試驗(yàn)因子和試驗(yàn)響應(yīng)呈正相關(guān)；紅色代表試驗(yàn)因子和試驗(yàn)響應(yīng)呈負(fù)相關(guān)。由圖可以看出：開(kāi)槽碟簧的厚度t與準(zhǔn)零剛度段長(zhǎng)度L整體呈負(fù)相關(guān)，并且相比于其他參數(shù)量，其影響程度最大，百分比超過(guò)了45%；外圈碟簧的自由高H1對(duì)準(zhǔn)零剛度段長(zhǎng)度L的影響程度百分比將近40%，二者整體呈正相關(guān)；其余參數(shù)量對(duì)準(zhǔn)零剛度區(qū)間長(zhǎng)度L影響不大。

從樣本點(diǎn)計(jì)算結(jié)果中輸出外圈碟簧自由高H1和開(kāi)槽碟簧厚度t對(duì)準(zhǔn)零剛度段長(zhǎng)度L的三維結(jié)果圖，如圖10所示。

圖10 高度H1和厚度t與長(zhǎng)度L的關(guān)系圖Fig.10 Relation graph of height H1, thickness t and length L

由圖10可以看出，沿圖中紅色箭頭方向，準(zhǔn)零剛度段長(zhǎng)度L的大小一直處于峰值附近，該方向是指向零剛度段長(zhǎng)度影響的最優(yōu)方向。因此，進(jìn)一步考慮高厚比H1/t對(duì)準(zhǔn)零剛度段長(zhǎng)度L的影響情況。由計(jì)算結(jié)果輸出高厚比H1/t與L的等值線(xiàn)圖，如圖11所示，其中H1/t為無(wú)量綱單位。

圖11 高厚比H1/t與厚度t等值線(xiàn)圖Fig.11 Contour plot of H1/t and thickness t

由圖11可以看出，試驗(yàn)響應(yīng)存在一個(gè)峰值區(qū)域，該區(qū)域?qū)?yīng)的高厚比H1/t的最優(yōu)取值范圍為

1.5

(41)

由以上分析可知，在開(kāi)槽碟簧的設(shè)計(jì)過(guò)程中，可以先設(shè)定開(kāi)槽碟簧的高厚比最優(yōu)取值范圍，然后基于最優(yōu)取值范圍，對(duì)其他變量進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。

4 結(jié) 論

1) 基于圓錐殼體理論以及漸變截面懸臂梁大變形理論，建立了開(kāi)槽碟簧在滑動(dòng)簡(jiǎn)支條件下受軸向載荷的力學(xué)模型。對(duì)比分析結(jié)果表明，該力學(xué)模型比傳統(tǒng)計(jì)算公式和有限元方法更加準(zhǔn)確，相對(duì)誤差在±3.5%以?xún)?nèi)。

2) 基于本研究提出的開(kāi)槽碟簧準(zhǔn)零剛度特性計(jì)算方法，設(shè)計(jì)了準(zhǔn)零剛度特性的結(jié)構(gòu)參數(shù)敏感性試驗(yàn)。由試驗(yàn)結(jié)果分析得到了準(zhǔn)零剛度特性的最優(yōu)高厚比取值范圍為1.5～1.8之間，可作為準(zhǔn)零剛度特性開(kāi)槽碟簧結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)參考。