王振 王軍 陳鑠 唐順 / 上海市質(zhì)量監(jiān)督檢驗(yàn)技術(shù)研究院

0 引言

函數(shù)逼近在計(jì)量各專業(yè)里廣泛應(yīng)用，如位移傳感器校準(zhǔn)規(guī)范中要求采用最小二乘法計(jì)算參比直線方程[1]，壓力傳感器檢定規(guī)程要求用最小二乘法擬合其工作直線[2]，壓電式加速度計(jì)要求用正余弦函數(shù)做基擬合調(diào)相值[3]等。最小二乘法廣泛應(yīng)用于解決計(jì)量中各類數(shù)值問(wèn)題，任國(guó)營(yíng)[4]應(yīng)用最小二乘法建立圓錐在局部采樣情況下的幾何要素形位模型，俞阿龍[5]基于徑向基函數(shù)最小二乘法探討了多維力傳感器的標(biāo)定等。鑒于最小二乘法在計(jì)量中的廣泛應(yīng)用，本文將以多項(xiàng)式為例推導(dǎo)最佳一致逼近和最佳平方逼近，特別是特殊的最佳平方逼近——最小二乘法的原理公式，以便于在計(jì)量中理解其實(shí)質(zhì)意義和處理以其他函數(shù)為基的擬合問(wèn)題。

1 函數(shù)逼近

通常函數(shù)逼近問(wèn)題根據(jù)度量逼近函數(shù)p(x)與被逼近函數(shù)f(x)的近似程度的標(biāo)準(zhǔn)不同一般分為一致逼近和平方逼近兩類。

用函數(shù)f(x)和p(x)的最大誤差：

即[a,b]區(qū)間內(nèi)最大誤差作為度量逼近函數(shù)p(x)對(duì)被逼近函數(shù)f(x)的逼近程度，稱為一致逼近。

用下面表達(dá)式：

即[a,b]整個(gè)區(qū)間內(nèi)誤差的平方作為度量逼近函數(shù)p(x)與被逼近函數(shù)f(x)的近似程度稱為平方逼近，具體∞-范數(shù)和2-范數(shù)概念詳見引文[6]。

實(shí)際數(shù)值上求f(x)的一致逼近函數(shù)和平方逼近函數(shù)是困難的，并且實(shí)際問(wèn)題中人們感興趣的是最佳一致逼近函數(shù)和最佳平方逼近函數(shù)。計(jì)量中應(yīng)用較多的是以多項(xiàng)式為基的線性最佳一致逼近和最小二乘擬合，如引文[2]采用端點(diǎn)平移直線或最小二乘擬合直線作為壓力傳感器工作直線。

2 最佳一致逼近

設(shè)有多項(xiàng)式序列pn(x)，若要求的逼近精度高，則找到的多項(xiàng)式次數(shù)就高，最佳一致多項(xiàng)式是在多項(xiàng)式次數(shù)n固定的情況下，求一個(gè)多項(xiàng)式pn*(x)使式（3）最小

最佳一致逼近多項(xiàng)式計(jì)算是困難的，下面只對(duì)n= 1 的情況進(jìn)行討論。

例1：設(shè)f(x)在區(qū)間[a,b]上有二階導(dǎo)數(shù)，且f ''(x)在[a,b]上不變號(hào)且f ''(x)≠0，求解f(x)的線性最佳一致逼近多項(xiàng)式：

解：由切比雪夫定理[7]：若pn*(x)是f(x)的最佳一致逼近多項(xiàng)式，則在[a,b]上至少存在n+ 2 個(gè)點(diǎn)

a≤x1≤x2≤Lxn+2≤b

使得

其中，σ= ±1，k= 1，2，L，n+ 2

可知此例存在點(diǎn)

a≤x1≤x2≤x3≤b

使

由于f ''(x)在[a,b]上不變號(hào)且f ''(x)≠0，故

其中，σ= ±1，k= 1，2，3

f '(x)在 [a,b]上單調(diào)，可知要使pn*(x) -f(x)取極值必須：

由此得在[a,b]上只有一個(gè)根x2，故p1*'(x) -f '(x)的另外兩個(gè)極值點(diǎn)只能在[a,b]的端點(diǎn)，故由x1=a，x3=b，由此可得

轉(zhuǎn)化為：

由式（7）得

式中x2由求解方程f '(x2) =a1得到，由此則得到f(x)在[a,b]上的線性最佳一致逼近多項(xiàng)式p1*(x) =a0+a1x。

其幾何意義如圖1 所示，用文字表述為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上具有二階導(dǎo)數(shù)，且在[a,b]上為凸函數(shù)或凹函數(shù)，則函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的線性最佳一致逼近多項(xiàng)式一定與曲線f(x)在區(qū)間[a,b]上的割線相平行，且通過(guò)左端點(diǎn)[a，f(a)]和點(diǎn)[x2，f(x2)]的中點(diǎn)，其中點(diǎn)[x2，f(x2)]處的切線和曲線f(x)在區(qū)間[a,b]上的割線相平行，即若如果函數(shù) 在區(qū)間[a,b]上具有二階導(dǎo)數(shù)，且在[a,b]上為凸函數(shù)或凹函數(shù)，此割線即為力傳感器檢定規(guī)程中的平均端點(diǎn)直線[8]含義，此線性最佳一致逼近多項(xiàng)式即為壓力傳感器檢定規(guī)程中的端點(diǎn)平移直線含義。

圖1 最佳線性一致逼近多項(xiàng)式幾何意義

3 最佳平方逼近

若φ0(x)，φ1(x)，Lφn(x)是 [a,b]上的已知線性無(wú)關(guān)的連續(xù)函數(shù)，設(shè)函數(shù)

其中a0，a1，Lan是任意待定實(shí)數(shù)，稱

φ0(x)，φ1(x)，Lφn(x)為生成函數(shù)sn(x)的一組基底。最佳平方逼近為求sn*(x)∈sn(x)使

則sn*(x)是f(x)的最佳平方逼近函數(shù)。sn*(x)的求解如下：求多元函數(shù)I(a0，a1，Lan)的極小值，其中

是關(guān)于a0，a1，Lan的函數(shù)，由多元函數(shù)取極值的必要條件得

于是有

這是關(guān)于a0，a1，Lan的線性方程組，把其寫成矩陣形式可求得a0，a1，Lan，進(jìn)而求得

同樣道理，若取

則就稱求得的sn*(x)是f(x)的n次最佳平方逼近多項(xiàng)式。假如區(qū)間取為[0,1],設(shè)

此時(shí)由式（14）得

由此式（14）形成線性方程組矩陣表示如下：

求解ak，k= 0,1L，n由此則得到最佳平方逼近多項(xiàng)式為：pn*(x) =a0+a1x+Lanxn

4 最小二乘法

計(jì)量中通常大部分f(x)是由實(shí)驗(yàn)或觀測(cè)值得到的，則其函數(shù)表為：

[xi,f(xi)]，i= 0，1，Lm

求最小二乘擬合即為求一條曲線sn*(x)，使數(shù)據(jù)點(diǎn)均在離曲線的上方或下方不遠(yuǎn)處，如圖2。此擬合曲線既能反映數(shù)據(jù)的總體分布，又能從總體上來(lái)說(shuō)其偏差滿足：

圖2 最小二乘擬合示意

其實(shí)質(zhì)是f(x)為離散形式的最佳平方逼近，這樣求連續(xù)函數(shù)的最佳平方逼近方法可以用到曲線擬合的最小二乘上，具體表述如下。

求sn*(x)的問(wèn)題等價(jià)于求多元函數(shù)：

的極小值，由多元函數(shù)取極值的必要條件得線性方程組：

求aj，j= 0, 1,Ln進(jìn)而求得sn*(x)。

最小二乘逼近中如何選擇數(shù)學(xué)模型很重要，即如何根據(jù)給定的f(x)來(lái)選擇基函數(shù)，通常需要根據(jù)物理定義或f(xi)，i= 0, 1,Lm的數(shù)據(jù)分布的大致圖形選擇相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，如基于徑向基函數(shù)的最小二乘法[5]，以正余弦函數(shù)為基[3]的最小二乘等，下面論述計(jì)量中曲線擬合的常用情況即代數(shù)多項(xiàng)式擬合，即取

那么相應(yīng)的線性方程組式（22）矩陣表示為：

求解aj，j= 0, 1,Ln此時(shí)為數(shù)據(jù)多項(xiàng)式最小二乘擬合。計(jì)量中對(duì)于線性問(wèn)題一般用一次多項(xiàng)式或二次多項(xiàng)式擬合，其相應(yīng)的線性方程組矩陣表示為：

求解式（25）得a0和a1，進(jìn)而得

求解式（26）得a0、a1和a2，進(jìn)而得

例如實(shí)驗(yàn)室用的標(biāo)準(zhǔn)測(cè)力儀在長(zhǎng)期使用中，由于使用頻次過(guò)高或過(guò)載等原因，導(dǎo)致力值不準(zhǔn)，因此定期需要用上一級(jí)標(biāo)準(zhǔn)力標(biāo)準(zhǔn)機(jī)進(jìn)行重新再次標(biāo)定，其方法是用力標(biāo)準(zhǔn)機(jī)將傳感器承受的負(fù)荷穩(wěn)定在某一標(biāo)準(zhǔn)數(shù)值上，用數(shù)據(jù)采集器采集此時(shí)電信號(hào)mV/V，將這些負(fù)荷和對(duì)應(yīng)的采集到的電信號(hào)mV/V運(yùn)用最小二乘擬合出一條校準(zhǔn)曲線。

例2：以實(shí)驗(yàn)室的GTM 標(biāo)準(zhǔn)測(cè)力儀為例，采用GTM 數(shù)據(jù)采集器（如圖3）進(jìn)行電信號(hào)采集，采集界面如圖4。

圖3 GTM 數(shù)據(jù)采集器

圖4 GTM 數(shù)據(jù)采集器采集界面

設(shè)5 kN 力傳感器在標(biāo)定中，根據(jù)不同標(biāo)準(zhǔn)力值測(cè)得的靈敏度電信號(hào)如表1 所示。

最小二乘法擬合力F與靈敏度電信號(hào)關(guān)系：

F=Ax3+Bx2+Cx+D

式中：F—— 力值；

x—— 電信號(hào)靈敏度

表1 不同標(biāo)準(zhǔn)力值測(cè)得的靈敏度電信號(hào)

解：根據(jù)式（22）得

進(jìn)而得：

利用MATLAB 軟件求解方程組得：

F= 10.555x3- 17.066x2+ 4996.6x+ 1.4072

將其中的待定系數(shù)輸入到標(biāo)定系統(tǒng)中保存如圖5，即完成了力傳感器的重新標(biāo)定。

圖5 GTM 傳感器標(biāo)定界面

5 結(jié)語(yǔ)

本文論述了函數(shù)逼近的含義，推導(dǎo)了最佳一致逼近和最佳平方逼近和最小二乘算法過(guò)程并以多項(xiàng)式為例進(jìn)行分析，把最小二乘化為矩陣分析求解線性方程組的問(wèn)題，闡述了最佳一致線性逼近的幾何意義。

特別對(duì)于計(jì)量中非線性問(wèn)題，多項(xiàng)式做基的最小二乘并不合適，此文為選擇其他函數(shù)做基的最小二乘提供了方法借鑒。另外對(duì)于大型的線性方程組，可不必人工計(jì)算，現(xiàn)在專業(yè)的數(shù)值計(jì)算軟件如MATLAB[9]可以進(jìn)行矩陣分析，并且含有專門的函數(shù)命令進(jìn)行多項(xiàng)式最小二乘擬合，方便快捷。