何修宇 王雪璇 趙哲惟 張爽

隨著社會發(fā)展和世界人口的劇烈增長,能源問題逐漸成為國際上第一熱點問題.為解決即將來臨的化石能源枯竭問題以及日益嚴重的環(huán)境污染問題,人們轉向對可再生的清潔能源的探索,例如,太陽能、風能、地熱能、海洋能、潮汐能等.海洋占地球表面近70%,蘊含著極為豐富的能量,對于海洋能的開發(fā)吸引了越來越多的關注.

海洋溫差能是一種典型海洋熱能,資源蘊含量豐富,具有巨大的開發(fā)潛力.海洋熱能轉換系統(tǒng)(Ocean thermal energy conversion,OTEC)是一種能有效實現海洋熱能–電能的能源轉換系統(tǒng)[1?3].該系統(tǒng)利用海洋不同深度海水間的溫度差,通過將冷海水輸送到洋表和溫海水進行冷熱交換來驅動渦輪機產生電能并匯集到海底電纜傳輸到主輸電網中[4].相比于其他可再生能源,OTEC 系統(tǒng)具有生產穩(wěn)定、應用廣泛等優(yōu)點[5?6],此外,OTEC 系統(tǒng)在生產過程中還可以生成包括淡水、海洋營養(yǎng)物質等在內的副產物.綜上所述,OTEC 系統(tǒng)具有良好的發(fā)展前景,并將在可見的未來得到廣泛應用[7].

海洋熱能轉換平臺通常需要安裝在廣袤的海上,遠離海濱.相比于固定的生產平臺,利用浮臺或船只來安裝轉換裝置具有很多的優(yōu)勢,它不僅生產靈活,能夠隨著海洋環(huán)境的變化而變更工作地點,而且安裝成本低廉,維護便利.然而,在OTEC 系統(tǒng)所處的深海環(huán)境中,存在諸多的擾動,如:洋流、海浪以及向岸風等,另外,隨著水深和管道重量的增加,用于連接海面浮臺與下端鎮(zhèn)重物,輸送深層低溫海水的柔性管道(上下跨度較大)可能會產生嚴重的形變以及劇烈的振動,這都將導致柔性管道的過早疲勞,甚至是損毀OTEC 系統(tǒng),給生產和設備維護帶來巨大的損失[8].現有的針對OTEC 的研究工作主要集中于發(fā)電效率的優(yōu)化,抑或是平臺結構力學方面的研究,而鮮有工作來研究用于輸送海水的管道結構的振動抑制問題以及主動的振動控制設計.因此,如何設計有效的控制策略來解決OTEC 系統(tǒng)中柔性結構的振動問題對于深入研究OTEC 系統(tǒng)的研究具有一定的實際應用價值和理論指導意義.

從物理特性上來分析,OTEC 系統(tǒng)中的柔性管道因其大跨度特點,可以視為一個典型的歐拉–伯努利梁結構,即,柔性結構的橫截面一直與中軸線垂直,柔性結構中的剪切形變量相較而言很小.根據其無窮維的物理特性而言,它是一個分布參數系統(tǒng)[9?14],通常用一組偏微分方程來描述其管道主體部分的動力學特性,以及用一組常微分方程來描述其邊界位置的動力學特性[15].針對于分布參數系統(tǒng)的研究,主要是從兩個方面著手,即,直接基于無窮維的系統(tǒng)模型[16?17]以及基于離散原系統(tǒng)后得到的有窮維模型[18?19].相比于后一種方法,直接基于系統(tǒng)的無窮維模型的方法在進行控制設計和穩(wěn)定性分析時考慮了系統(tǒng)中所有狀態(tài)量的動力學特性,常用的控制方法包括分布式控制和邊界控制.它們由不同位置的信號組成并實施于不同的位置.在文獻[20]中,作者研究了一類熱傳導方程,并基于系統(tǒng)的無窮維模型設計了分布式控制器來解決系統(tǒng)的溫度變化問題以及系統(tǒng)中存在的全變量約束問題.然而,該控制器由分布式輸出狀態(tài)量構成并作用整個系統(tǒng)中,那么就需要無窮多個傳感器和執(zhí)行器來實現,顯然對于實際的系統(tǒng)而言具有很大的實現難度.

另一類控制方法,即邊界控制[21?24]是由系統(tǒng)的邊界位置的信號組成,并最終作用于系統(tǒng)的邊界位置上.相較于分布式控制而言,邊界控制具有更好的可實施性.在之前的研究中,邊界控制已經得到了一定的研究與應用.在文獻[22]中,Endo 等在柔性機械臂的邊界位置設計力控制器來控制柔性機械臂中的振動和角度位置.在文獻[17]中,Do 研究了三維空間下海洋柔性輸油立管的振動問題,設計一組邊界控制器來減小柔性立管的三維結構振動.Paranjape 等運用基于backstepping 的邊界控制策略來研究柔性機翼的機械振動抑制問題[25].在文獻[26]中,Liu 等研究了一個空中加油機系統(tǒng),通過在管道末端位置安裝邊界控制器來完成輸油管道的振動抑制問題.除此之外,邊界控制還被運用于其他的一些分布參數系統(tǒng)中[27?30].以上的系統(tǒng)通常只建立了一組偏微分方程來描述其自由運動端的動力學特性.本文的研究是針對兩端自由運動的OTEC 系統(tǒng)來設計主動的振動控制器,柔性系統(tǒng)本身復雜的數學模型以及系統(tǒng)無窮維的特性使得該主動控制的設計變得相對困難.

在實際的工作環(huán)境中,OTEC 系統(tǒng)還可能會受到系統(tǒng)所處環(huán)境空間的限制,柔性結構中材料特性的限制或安全指標的限制等,這些限制的存在對系統(tǒng)的控制性能提出了更高的要求.如何在抑制OTEC 系統(tǒng)結構振動的同時,解決OTEC 系統(tǒng)中可能存在的輸出約束問題也為主動振動控制器的設計帶來了更大的難度與挑戰(zhàn).本文直接基于OTEC系統(tǒng)的動力學模型設計主動的邊界控制器來分析閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性,抑制柔性管道的振動以及解決系統(tǒng)中存在的輸出約束問題.

與之前的研究相比,本文的創(chuàng)新之處在于:1)在本文中分析了在外界擾動作用下OTEC 系統(tǒng)的動力學特性,建立了一個偏微分方程— 常微分方程組耦合的系統(tǒng)模型,并直接基于OTEC 系統(tǒng)的無窮維模型來進行主動控制器的設計,通過系統(tǒng)的邊界位置信號來構成主動的邊界控制器,從而有效地減小系統(tǒng)中柔性管道的結構振動;2)本文研究了OTEC 系統(tǒng)中可能存在的輸出信號約束的問題,通過將對數障礙項引入系統(tǒng)的邊界控制設計中來保證期望的邊界輸出信號不超出所給定的約束值,同時保證系統(tǒng)中浮式平臺在初始位置的約束范圍內運動.此外,還針對系統(tǒng)的外界擾動設計擾動觀測器用以減小外界環(huán)境擾動對系統(tǒng)的影響.

本文結構如下:第1 節(jié)給出了浮式OTEC 系統(tǒng)的動力學特性分析以及建模,并用PDE-ODEs 耦合模型來描述OTEC 系統(tǒng)中柔性管道的動力學特性,另外還給出后文分析時所需要用到的預備知識.在第2 節(jié)中,詳細描述了運用李雅普諾夫直接法進行主動邊界控制律設計的過程以及系統(tǒng)穩(wěn)定性的分析過程.在第3 節(jié)中,對浮式OTEC 系統(tǒng)做了幾組數字仿真實驗,來驗證所設計控制策略理論證明的合理性.第4 節(jié)針對全文的研究工作做了總結和展望.

1 問題描述與系統(tǒng)建模

一個典型的浮式OTEC 系統(tǒng)主要由3 部分組成:能量轉換平臺、傳輸深層低溫海水的柔性管道以及安裝在柔性管道下端用于固定的鎮(zhèn)重物體,如圖1 所示.從OTEC 系統(tǒng)柔性管道的物理特性來看,可以將其視為一個典型的歐拉–伯努利梁結構.本文中,為了簡化研究過程,只研究柔性管道在水平方向上的振動,多方向上的振動控制問題可以作為進一步的拓展研究.

圖1 典型的浮式熱能轉換系統(tǒng)示意圖Fig.1 Floating ocean thermal energy conversion system

定義1.為了簡化分析,對文中所用到的符號進行了簡化,即,

對于柔性系統(tǒng)而言,哈密頓原理能夠為系統(tǒng)提供一種確定動力學特性的有效方法.它是基于柔性系統(tǒng)的能量方程分析的,描述為

其中,δ是一個變分運算符,其他的能量項將在接下來的部分給出.OTEC 的系統(tǒng)動能Ek(t)描述為

其中,Ms和M0分別描述了OTEC 系統(tǒng)中柔性管道下端鎮(zhèn)重物體和轉換平臺的質量,ρ描述了單位柔性管道的均勻質量.此外,p(t)和y(L,t)描述了OTEC 系統(tǒng)中柔性管道上下兩端點的水平位移量,即,能量轉換平臺和鎮(zhèn)重物體的位移.

OTEC 的系統(tǒng)勢能Ep(t)描述為

其中,EI描述了柔性管道的抗彎剛度,w(x,t)描述了OTEC 系統(tǒng)中柔性管道水平形變量,其與系統(tǒng)位移量的關系為y(x,t)=p(t)+w(x,t).T描述了柔性管道的張力.OTEC 系統(tǒng)所受到外界非保守力做的總虛功為

其中包括系統(tǒng)受到阻尼作用產生的虛功δWd(t)為

其中,c,d0和ds分別為柔性管道、轉換平臺和鎮(zhèn)重物體上的阻尼系數.系統(tǒng)所受到外界環(huán)境擾動作用產生的虛功δWf(t)為

其中,f(x,t),pz(t)和pv(t)分別為作用在柔性管道、轉換平臺和鎮(zhèn)重物體上的外界擾動.系統(tǒng)所受到設計控制力作用產生的虛功δWc(t)為

其中,u0(t)和u1(t)分別為作用在柔性管道上下端的控制作用力.

作用于OTEC 系統(tǒng)所有非保守力所做的虛功為

運用哈密頓原理,并結合式(2)～(4)和式(8),可以得到系統(tǒng)的主控方程為

?(x,t)∈(0,L)×[t0,∞),以及邊界條件

?t ∈[t0,∞).

假設1.假設OTEC 系統(tǒng)中柔性管道所受到的分布式擾動f(x,t)在L2[0,L]范數中是有界的,即

上式說明了環(huán)境擾動具有有限的能量.

假設2.對于OTEC 系統(tǒng)邊界位置所受的海洋環(huán)境擾動pz(t)以及pv(t),假設它們是有界的,并且存在兩個個未知的正實數Pz,Pv為擾動的界值,即|pz(t)| ≤Pz以及|pv(t)|≤Pv.

性質1[31?32].對于兩個正實函數ψ1(x,t),ψ2(x,t),其中(x,t)∈[0,L]×[t0,∞),滿足

其中,σ是一個正的常數.

性質2[33].對于實函數?1(t),其中,t ∈[t0,∞],下列不等式成立

2 控制設計與系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

針對OTEC 系統(tǒng),本文設計主動的邊界控制器,用來減小柔性管道的彈性形變,補償輸入約束的非線性特性對系統(tǒng)的影響,保證系統(tǒng)的穩(wěn)定.

構造李雅普諾夫函數為

函數中各部分為

其中α是一個正常數.

H2(t)中的輔助函數由邊界信號構成,定義為

設計合適的邊界控制律為

其中,ξ0和ξ1是兩個正的常數.和是兩個邊界擾動觀測器,分別設計為

引理1.通過選擇合適的參數,能夠保證上文中所構造的李雅普諾夫函數(15)是一個有界的正函數,其上下界值表示為

證明.構造一個函數G(t)為

運用性質1,將構造的函數H3(t)變形為

將上式展開并結合式(16)得

進一步,式(26)推導為

引理2.上文中所構造的李雅普諾夫函數(15)的時間導數是一個有界限的函數,其界值表示為

證明.對構造的李雅普諾夫函數求導為

其中,H1(t)的時間導數為

以及H3(t)的時間導數為

通過選擇合適的參數k1,k2,k3,k4以及函數?(x)使得下列式子成立

那么,可以得到

定理1.當柔性系統(tǒng)中的初始狀態(tài)值有界時,基于有關外界擾動的假設1,我們可以得出OTEC 系統(tǒng)中柔性管道的彈性形變和振動減小,具體為

證明.將式(28)兩端乘以并積分得到

基于上式且運用性質2,關于OTEC 系統(tǒng)的彈性形變的不等式可以推導為

進一步地,上式變形為

說明1.OTEC 系統(tǒng)中柔性管道的彈性形變最終收斂于系統(tǒng)的平衡位置附近,即

說明2.在上文中所設計的邊界控制器(21)和(22)都是由柔性結構的邊界信號做成,以及所有的組成信號都能由安裝在柔性結構邊界處的傳感器檢測或通過后向差分算法計算得到.信號y(L,t)和p(t)可以由激光位移傳感器檢測得到,(L,t)可以由傾角計檢測得到,可以由剪切力傳感器檢測得到.此外,它們的時間導數信號可以基于檢測的信號并通過后向差分算法計算得到.

說明3.由式(36)可以看出,H(t)是一個有上界的函數,那么,組成H(t)的正實函數H2(t)也是有界的,從該函數的表達式(17)可以推導知道期望的輸出信號y(0,t),w(L,t)不會趨近所設定的約束值Y0,WL.如果系統(tǒng)中的邊界初始值y(0,0),w(L,0)在所設定的約束范圍內,那么,在上文所設計邊界控制器(21)和(22)的作用下,所期望的輸出信號y(0,t),w(L,t)就一直不會達到設定的約束界值Y0,WL,即,OTEC 系統(tǒng)中存在的輸出約束問題得到了解決.

3 數字仿真

在上一節(jié)中,在OTEC 系統(tǒng)的兩端設計了兩個邊界控制器,并通過理論的證明驗證了所設計控制器的有效性.為了進一步地對設計控制器進行驗證,我們將運用有限差分法(Finite differential method,FDM)來對OTEC 系統(tǒng)進行數字仿真,通過所得到的仿真結果來顯示控制器的控制性能.在表1 中列出了OTEC 系統(tǒng)的各個參數,系統(tǒng)的初始值設定為y(x,0)=x/L以及˙y(x,0)=0.

OTEC 系統(tǒng)中所受到的分布式擾動f(x,t)借鑒之前的工作[34?35]直接給出

表1 浮式OTEC 系統(tǒng)的參數Table 1 Parameters of floating OTEC system

由上式可知,作用于柔性輸水管上的分布式擾動f(x,t)由兩部分組成,即,一個平均的作用力以及一個振蕩的作用力,其中,ρs是海水密度,D為柔性管道的直徑,CD為拉力系數.θ是相位角以及AD為幅值,其大小通常為分布式擾動中第1 項的20%.渦流頻率fv表示為fv=StU(x,t)/D,其中,St為斯特勞哈爾數,時變海洋涌流U(x,t)和洋表涌流U(t)設定為

邊界擾動pz(t)和pv(t)[36?37]設定為

表2 擾動參數Table 2 Parameters of ocean disturbances

針對OTEC 系統(tǒng)并基于以上設定的環(huán)境與系統(tǒng)參數,我們將做3 組仿真實驗,然后將3 組的仿真結果進行對比分析:

1)不施加控制.首先,在這種情況下,針對OTEC 系統(tǒng)不施加任何控制,即,u1(t)=u0(t)=0,得到了3 個仿真結果來描述系統(tǒng)的運動情況.通過描繪柔性輸水管道運動的三維圖(如圖2 所示),我們看到柔性輸水管道的呈現一個發(fā)散式的增長.通過觀察結構兩端位置的運動情況,如圖3(a)和圖4(a)可以看到,系統(tǒng)下端位置的振動也是呈現發(fā)散式增長,海洋表面的浮式平臺漂移偏離了原始的位置.由以上的仿真圖,我們可以看到該系統(tǒng)處于一個不穩(wěn)定狀態(tài),不斷增大的柔性結構振動可能會導致系統(tǒng)的損毀,同時,OTEC 系統(tǒng)在外界海洋擾動的影響下會偏離初始的位置.處于系統(tǒng)安全的考慮,需要提出有效的方法來減小系統(tǒng)的振動,保證系統(tǒng)的工作安全.

圖2 不加控制器下的柔性輸水管道的位移量Fig.2 Displacement of the flexible pipe without control

圖3 柔性輸水管道下端鎮(zhèn)重物的位移量Fig.3 Displacement of the ballast

2)PD 控制.在工程中,比例–微分(Proportional-derivative,PD)控制器是十分常用的一種控制方法.在這種情況中,我們在柔性輸水管道的端點位置施加典型的PD 控制器來分析其對系統(tǒng)振動抑制的情況.我們將該控制器設計為:u1(t)=?100×y(L,t)?100 000 ˙y(L,t)和u2(t)=?200y(0,t)?50 000 ˙y(0,t).同樣地,我們得到了系統(tǒng)各位置運動情況的仿真圖,從仿真得到的圖5 和圖3(b)可以看出,OTEC 系統(tǒng)中柔性結構的形變量得到了一定的減小.系統(tǒng)上端的浮式平臺也被控制在原始點附近位置做類周期往復運動,如圖4(b)所示.將這種情況與未施加任何控制的情況相比較,可以看到PD 邊界控制器能夠一定程度上保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性以及固定OTEC 裝置平臺的工作位置,但是效果并不特別理想.

圖4 上端浮式平臺的位移量Fig.4 Displacement of the floating platform

圖5 施加PD 控制器下的柔性輸水管道的位移量Fig.5 Displacement of the flexible pipe with PD controllers

3)所設計邊界控制.在這種情況下,我們將設計主動邊界控制器(22)和(21)施加到柔性輸水管道上.通過上一節(jié)中確定的控制增益范圍結合實際的仿真結果,選定各控制增益為:ka=0.01,kb=1 000,kc=106,kd=106,k1=500,k2=0.7,k3=155 以及k4=1.作為比較,我們也得到一個三維圖和兩個端點位置的運動圖,圖6 描繪了在本文所設計控制器的作用下,系統(tǒng)中柔性管道的形變量的變化情況,從圖形的變化可以很容易地看出,柔性輸水管道的形變量得到了減小.同時,系統(tǒng)中柔性管道的下端負載的形變量也減小到了零附近,如圖3(c)圖.除此之外,從圖4(c)的下圖可以看出,系統(tǒng)的浮式平臺也在出現大幅振蕩往復之后逐漸向初始位置運動.最后,給出了控制器的變化圖,如圖7 所示.

圖6 施加所設計控制器下的柔性輸水管道的位移量Fig.6 Displacement of the flexible pipe with the designed controllers

通過以上三種情況下系統(tǒng)動力學特性的相互比較,可以清楚地看到,構造的PD 控制器和本文所設計的控制器都能夠減小由外界擾動引起的OTEC系統(tǒng)中柔性管道的劇烈振動.通過比較這兩種控制器的控制性能,可以看到本文所設計的控制器具有更好的控制效果,能夠得到更好的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)特性,此外,該控制器還能保證海洋表面系統(tǒng)的浮式工作平臺固定在初始的工作點附近.總體上來說,通過仿真實驗,得到了和理論分析一致的結果,從分析的結果中均可以看到所設計的主動邊界控制能夠有效地抑制OTEC 系統(tǒng)中的不良振動,保證系統(tǒng)的穩(wěn)定.

4 結論

本文針對OTEC 系統(tǒng)中柔性管道的振動問題設計了主動的邊界控制器,利用柔性結構邊界位置的信號組成控制器并實施在邊界位置上來抑制整段柔性管道的形變以及保證系統(tǒng)滿足存在的輸出約束問題.通過理論和數字仿真的分析與研究驗證了所設計的振動控制器的有效性.然而,本文只是考慮了OETC 系統(tǒng)在水平方向的振動,忽略了柔性結構在其他兩個方向的振動以及各方向上振動的耦合關系.三維空間下浮式OTEC 系統(tǒng)的振動研究是一個具有挑戰(zhàn)性的工作.此外,對于浮式的平臺,錨鏈常用固定洋表浮式平臺,柔性管道結構和柔性錨泊結構的耦合也是今后能夠繼續(xù)研究的方向.此外,本文中所設計的邊界控制是由可測量值構成.然而,在控制器的執(zhí)行過程中可能還會存在超出最大功率等輸入約束的影響,我們也將在接下來的工作中綜合考慮輸入約束對系統(tǒng)的影響以及進行設計抗輸入約束的主動振動控制設計的研究.

圖7 設計的主動振動控制力Fig.7 Designed vibration control forces