魏永濤 高原 孫文義 王秀蒙

隨著機(jī)動(dòng)車保有量的增加,城市交通擁堵現(xiàn)象日益嚴(yán)重,高峰期部分路段或區(qū)域常呈現(xiàn)過(guò)飽和狀態(tài).與此同時(shí),由于不同區(qū)域交通分布不均勻,導(dǎo)致部分道路資源浪費(fèi).目前,大部分交通信號(hào)燈配時(shí)控制策略都針對(duì)非飽和交叉口,當(dāng)?shù)缆诽幱谶^(guò)飽和狀態(tài)時(shí),路網(wǎng)交通效率顯著降低.另外,區(qū)域路網(wǎng)的信號(hào)燈協(xié)調(diào)優(yōu)化配時(shí)研究較少,尤其過(guò)飽和區(qū)域路網(wǎng)交通信號(hào)控制仍是公開的難題,急需尋求智能優(yōu)化控制方法.

針對(duì)過(guò)飽和區(qū)域交通信號(hào)燈優(yōu)化問(wèn)題,文獻(xiàn)[1]提出一種能平衡車輛數(shù)量增長(zhǎng)率的優(yōu)化配時(shí)算法,并基于隊(duì)列增長(zhǎng)給出了過(guò)飽和交通流條件下的交通信號(hào)最優(yōu)等式,即隊(duì)列增長(zhǎng)等式以及最小化區(qū)域交通隊(duì)列增長(zhǎng)等式,有效避免了特定路段車輛數(shù)量過(guò)多造成的排隊(duì)溢出現(xiàn)象.文獻(xiàn)[2]提出基于邊界需求控制和區(qū)域網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部平衡的過(guò)飽和區(qū)域主動(dòng)控制模型,給出了基于邊界目標(biāo)函數(shù)和內(nèi)部信號(hào)控制的雙層規(guī)劃優(yōu)化方法,提高了區(qū)域路網(wǎng)的通行能力.文獻(xiàn)[3]提出了一種基于區(qū)域路網(wǎng)固有屬性宏觀基本圖的過(guò)飽和區(qū)域控制優(yōu)化模型,建立了邊界控制信號(hào)和內(nèi)部控制信號(hào)目標(biāo)函數(shù)的雙層規(guī)劃優(yōu)化,設(shè)計(jì)了基于BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型.但是基于單個(gè)過(guò)飽和路口模型對(duì)多個(gè)路口疊加建模,不能充分保證跨區(qū)域交通的協(xié)調(diào)性.

為提高城市交通區(qū)域網(wǎng)絡(luò)協(xié)調(diào)控制性能,人們做了很多有益的探討,其中模型預(yù)測(cè)控制[4]即是常用的區(qū)域信號(hào)燈協(xié)調(diào)控制方法.Aboudolas 等[5]提出了基于滾動(dòng)優(yōu)化的交通信號(hào)燈協(xié)調(diào)控制策略.Lin提出了一種非線性宏觀交通模型,并以此為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)了一種全網(wǎng)交通信號(hào)模型預(yù)測(cè)控制方法[6],將優(yōu)化問(wèn)題歸結(jié)為一個(gè)混合整數(shù)線性規(guī)劃問(wèn)題來(lái)求解[7].此后,Zhou 等[8]提出一種新的模型預(yù)測(cè)方法,將機(jī)會(huì)約束應(yīng)用到城市交通信號(hào)燈控制之中.由于大型交通網(wǎng)絡(luò)高度復(fù)雜,上述集中式模型預(yù)測(cè)控制方法并不適合大型區(qū)域信號(hào)燈協(xié)調(diào)控制,必須采用分布式控制方法.Tettamanti 等[9]提出了一種基于模型預(yù)測(cè)控制的分布式交通控制方法,把整個(gè)城市交通網(wǎng)絡(luò)分解成若干小的子區(qū)域,每個(gè)子區(qū)域看作一個(gè)獨(dú)立控制和運(yùn)行的智能體,多個(gè)智能體之間通過(guò)網(wǎng)絡(luò)互聯(lián)、共享資源,從而實(shí)現(xiàn)全路網(wǎng)信號(hào)燈協(xié)調(diào)控制.文獻(xiàn)[10]提出了一種區(qū)域路網(wǎng)信號(hào)燈協(xié)調(diào)控制的多智能體模型預(yù)測(cè)控制框架,利用拉格朗日對(duì)偶原理處理智能體間的耦合約束.De Oliverira 等[11]也針對(duì)線性動(dòng)態(tài)城市區(qū)域交通流給出了多智能體分布式控制模型,將集中式模型預(yù)測(cè)控制問(wèn)題分解成幾個(gè)子問(wèn)題,由分布式智能體來(lái)求解.在此基礎(chǔ)上,Camponogara 等[12]考慮輸入–輸出約束,提出線性動(dòng)態(tài)交通網(wǎng)絡(luò)模型預(yù)測(cè)控制的分布式優(yōu)化算法.文獻(xiàn)[12]結(jié)合周邊控制和路徑誘導(dǎo)執(zhí)行器,提出了非線性模型預(yù)測(cè)控制方法,提高了城市路網(wǎng)的機(jī)動(dòng)性.Sirmatel 等[13]對(duì)上述非線性模型加以改進(jìn),提出一種用于協(xié)調(diào)信號(hào)拆分控制的分布式協(xié)調(diào)模型預(yù)測(cè)控制方法.但該方法計(jì)算較為復(fù)雜,為此文獻(xiàn)[14]將大型區(qū)域路網(wǎng)劃分成多個(gè)子區(qū)域,將交通流在多個(gè)子區(qū)域之間進(jìn)行存儲(chǔ)轉(zhuǎn)發(fā)[15],采用文獻(xiàn)[16]的存儲(chǔ)–轉(zhuǎn)發(fā)方法描述路網(wǎng)交通流變化,規(guī)避了模型需引入二進(jìn)制變量來(lái)描述信號(hào)燈處于紅綠狀態(tài)的問(wèn)題,并提出一種計(jì)算簡(jiǎn)便的分層模型預(yù)測(cè)控制算法,便于實(shí)現(xiàn)區(qū)域信號(hào)燈的最優(yōu)協(xié)調(diào)控制.

值得指出的是,文獻(xiàn)[15]未考慮交通流變化擾動(dòng)對(duì)區(qū)域交通協(xié)調(diào)控制的影響,其方法不夠?qū)嵱?為此,本文在文獻(xiàn)[15]的基礎(chǔ)上,考慮交通流的動(dòng)態(tài)變化,通過(guò)改進(jìn)存儲(chǔ)–轉(zhuǎn)發(fā)機(jī)制,建立了更貼近實(shí)際排隊(duì)長(zhǎng)度的區(qū)域交通模型,進(jìn)而提出一種區(qū)域交通信號(hào)協(xié)調(diào)控制的分層優(yōu)化求解的模型預(yù)測(cè)控制方法.

本文結(jié)構(gòu)安排如下:第1 節(jié),考慮交通流的動(dòng)態(tài)特性,引入存儲(chǔ)–轉(zhuǎn)發(fā)的思想,建立區(qū)域交通模型;第2 節(jié),提出模型預(yù)測(cè)優(yōu)化模型;第3 節(jié),將優(yōu)化模型進(jìn)行分層,求解出控制變量最優(yōu)解,并給出區(qū)域交通的控制算法;第4 節(jié),給出本文算法的仿真分析;第5 節(jié),對(duì)本文內(nèi)容進(jìn)行總結(jié).

1 區(qū)域交通建模

為了簡(jiǎn)化表示,城市區(qū)域交通可以被定義為一個(gè)有向圖.其中,節(jié)點(diǎn)代表交叉路口i,弧線代表交通流r.不失一般性,假設(shè)區(qū)域中交通流r1轉(zhuǎn)彎率為τr1,r2和飽和流率Sr1是可測(cè)的常數(shù).另外,交叉路口i中相位p的有效綠燈時(shí)間gi,p,損失時(shí)間Li和周期時(shí)長(zhǎng)Ci滿足其中Fi是允許車輛離開交叉路口i的相位集合.為了協(xié)調(diào)整個(gè)區(qū)域,對(duì)于任意一個(gè)交叉路口i,都有Ci=C成立.

考慮從交叉路口i流向交叉路口的單交通流j(見圖1(a)),對(duì)于下一個(gè)時(shí)刻k+1 末,交通流r上的車輛排隊(duì)長(zhǎng)度等于在k末,路口剩余的排隊(duì)長(zhǎng)度加上到來(lái)的車輛流量Ii,r,減去在有效綠燈時(shí)間內(nèi)流出的流量Oi,r.圖1(b)表示區(qū)域中交通流linkr只有外界輸入流量.

圖1 交通流r 的交通動(dòng)態(tài)圖((a)交通流無(wú)外界輸入;(b)交通流有外界輸入(虛線))Fig.1 Traffic dynamics ((a)Traffic without input;(b)Traffic with inputdotted lines)

可以通過(guò)下面的離散時(shí)間模型建立r的交通流動(dòng)態(tài)模型.

其中,xi,r(k)表示在第k個(gè)信號(hào)周期開始時(shí),位于i交叉路口的交通流r上的車輛數(shù)量.xi,r(k+1)表示在第k個(gè)信號(hào)周期結(jié)束時(shí)(第k+1 個(gè)信號(hào)周期開始時(shí)),位于i交叉路口的交通流r上的車輛數(shù)量.Ii,r(k)和Oi,r(k)表示交通流r的流入流量和流出流量.較之文獻(xiàn)[15]中采用經(jīng)驗(yàn)值的做法,用ein(k)表示在第k個(gè)信號(hào)周期內(nèi)由路口進(jìn)入交通流r的車輛數(shù)量.eout(k)表示在第k個(gè)信號(hào)周期內(nèi)由路口離開交通流r的車輛數(shù)量.令ei,r(k)=ein(k)?eout(k)稱為交通流的擾動(dòng),比如路邊停車位的車輛.由此分析可知ei,r(k)是一個(gè)隨機(jī)變量.T表示控制間隔.本文假設(shè)控制間隔T為一個(gè)信號(hào)周期C.

假設(shè)交叉路口i和相鄰交叉路口j之間的偏移量等于零.針對(duì)交通流r,流入的車輛來(lái)自于路口j中的交通流w1,w2,w3,然而并不是交通流w1中所有的車輛都會(huì)流入r,只有左轉(zhuǎn)車流最終會(huì)駛?cè)虢煌鱮,假設(shè)左轉(zhuǎn)車輛占整個(gè)交通流w1的比例為τj,w1;i,r,稱之為轉(zhuǎn)彎率,即τj,w1;i,r表示從交叉口j的w1交通流轉(zhuǎn)入到交叉口i的r交通流的轉(zhuǎn)彎率.同理交通流w2中只有直行車輛流入交通流r,交通流w3中只有右轉(zhuǎn)車輛流入交通流r.故r的流入流量Ii,r(k)=τj,w1;i,rOj,w1(k)+τj,w2;i,rOj,w2(k)+τj,w3;i,rOj,w3(k).即交通流r的流入流量Ii,r(k)可以寫成:

其中,G表示交叉口j中流入交通流r的交通流集合(對(duì)于交通流r來(lái)說(shuō),G=w1,w2,w3).τj,w;i,r表示從交叉口j的w交通流轉(zhuǎn)入到交叉口i的r交通流的轉(zhuǎn)彎率.

對(duì)于流出流量,文獻(xiàn)[15]將其表示為飽和流率(常量)乘以綠燈時(shí)間,但在實(shí)際的交通中,并不是每一時(shí)刻的車流量都是以飽和流率流出的.所以結(jié)合實(shí)際交通情況,本文把實(shí)時(shí)檢測(cè)到的交通流量和綠燈時(shí)長(zhǎng)作為控制變量.這樣建立的模型更符合實(shí)際交通.即對(duì)于流出流量Oi,r(k),它是由相位的綠燈時(shí)間gi,p(k)和單位周期內(nèi)的釋放的車流量q決定的.即交通流r的流出流量Ii,r(k)可以寫成:

其中,vi,r代表允許交通流r通行的相位集合.qi,r稱為交通流r的交通流量.

以一天的交通流量為例進(jìn)行分析,早上7 點(diǎn)到9 點(diǎn)屬于上班高峰期,下午5 點(diǎn)到7 點(diǎn)屬于下班高峰期.很大程度上高峰期車流量可以以飽和流率駛離路口,但是在一天中的非高峰期,車輛通常不能按照飽和流率通行.對(duì)一周內(nèi)交通流分析,周一到周五工作日的交通流量和周末的交通流量特性肯定不同,所以僅依靠飽和流率計(jì)算車輛的流出量不夠準(zhǔn)確.智能交通系統(tǒng)中,可以實(shí)時(shí)檢測(cè)車流量,這為車流量的取值提供方便.如果將交通流考慮成時(shí)變量,處理排隊(duì)長(zhǎng)度優(yōu)化問(wèn)題會(huì)很復(fù)雜,所以本文將仿真一個(gè)仿真周期內(nèi)的交通流量平均值作為整個(gè)仿真周期的交通流量,即在每一個(gè)仿真周期內(nèi)交通流量為常數(shù).但是每個(gè)仿真周期開始時(shí),會(huì)更新交通流量的值,交通流量的大小隨著仿真周期的變化而變化,這也能體現(xiàn)交通流的動(dòng)態(tài)特性.

據(jù)上述分析,本文把ui,p(k)=qi,rgi,p(k)作為整體控制變量.將式(2)和式(3)及ui,p(k)=qi,rgi,p(k)代入式(1)得:

根據(jù)式(3)中Oj,w(k)的定義,式(4)中的Oj,w(k)可以寫成以及T=C.所以式(4)可以寫成:

然后,整個(gè)區(qū)域都應(yīng)用式(5),可得到整個(gè)區(qū)域的離散時(shí)間狀態(tài)空間表達(dá)式:

另外,若區(qū)域中交通流只有外界輸入流量(見圖1(b)),則式(2)和式(4)必須寫成如下的形式:

其中,di,r代表i交叉口進(jìn)入流r的交通需求.為了簡(jiǎn)化,假設(shè)di,r已知.然后,式(6)可以寫成:

其中,X(k),U(k),d(k),e(k)分別表示狀態(tài)向量、控制向量、需求向量和擾動(dòng)向量,且d(k)是常數(shù)向量,e(k)是一組隨機(jī)數(shù)組成的常數(shù)向量.狀態(tài)矩陣A為單位矩陣,B是控制輸入矩陣,D是需求矩陣.值得注意的是一些網(wǎng)絡(luò)特性(如拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)、飽和流率、轉(zhuǎn)彎率)都包含在輸入矩陣B中.

2 區(qū)域交通分解和優(yōu)化目標(biāo)

2.1 動(dòng)態(tài)子區(qū)域的劃分

隨著城市建設(shè)的發(fā)展,城市空間結(jié)構(gòu)和城市功能有了新的變化與發(fā)展,而不同的布局結(jié)構(gòu)和功能對(duì)交通需求是不一樣的,由此造成的交通流分布形態(tài)也是不一樣的,不同的交通流分布形態(tài)對(duì)交通誘導(dǎo)與控制的要求是不一樣的.因此要實(shí)現(xiàn)有效的交通控制,應(yīng)該根據(jù)城市空間和功能的發(fā)展變化來(lái)對(duì)整個(gè)交通絡(luò)系統(tǒng)進(jìn)行分區(qū).但是值得注意的是,許多資料中顯示,系統(tǒng)結(jié)構(gòu)或模型的分解在大規(guī)模復(fù)雜系統(tǒng)的協(xié)調(diào)和控制方面都存在先決條件.因此,為了控制和優(yōu)化的目的,在接下來(lái)的部分引入網(wǎng)絡(luò)分解策略.

為保證控制小區(qū)內(nèi)各路口間協(xié)調(diào)合作,疏導(dǎo)擁擠交通流,將擁擠區(qū)域與臨近稀疏路口劃為同一個(gè)小區(qū),以便于路口間信號(hào)協(xié)同配時(shí).基于上述思想,本文主要以排隊(duì)比值的原則劃分子區(qū),具體原則如下:

當(dāng)相鄰交叉路口之間的路段距離較短或者交通需求較高,即排隊(duì)比值較小時(shí),通過(guò)關(guān)聯(lián)后實(shí)行協(xié)調(diào)控制,可降低排隊(duì)溢出而造成交通擁堵的風(fēng)險(xiǎn).最大可能存在的車輛數(shù)與路段堵塞車輛數(shù)比值稱之為排隊(duì)比值:

式中,Q表示相鄰兩個(gè)交叉口之間的路段存在的最大交通流量;γ表示相鄰交叉口路段交通流量的波動(dòng)系數(shù);L為車隊(duì)長(zhǎng)度,Kjam表示阻塞密度,n表示車道數(shù).

本文定義相鄰交叉口的排隊(duì)比值關(guān)聯(lián)度為:

所以,從排隊(duì)比值的角度,可以通過(guò)確定IB,來(lái)合并交叉路口.

對(duì)于城市交通網(wǎng)絡(luò),每個(gè)交叉口和流入的交通流都可以看成一個(gè)子區(qū)域.分解區(qū)域的依據(jù)是能保證優(yōu)化問(wèn)題相對(duì)應(yīng)的每個(gè)子區(qū)域考慮和相鄰子區(qū)域的所有獨(dú)立性.因此,每一個(gè)子區(qū)域Si ∈S包括一個(gè)中心交叉口i ∈I和流入的交通流,其中S為子區(qū)域集合,I為中心交叉口集合.圖2 就是區(qū)域分解的例子,可以看出交叉口1 和交通流x1,x2,x3組成子區(qū)域S1.圖2(b)是對(duì)應(yīng)圖2(a)中基準(zhǔn)網(wǎng)絡(luò)的分解示意圖.

2.2 優(yōu)化目標(biāo)

作為工業(yè)過(guò)程中最通用和最有效控制技術(shù),MPC 被廣泛用于解決大型多變量約束控制問(wèn)題.MPC 的基本原理是選擇一個(gè)未來(lái)控制行動(dòng)的序列,解決有限層約束最優(yōu)控制問(wèn)題.在每一步,只實(shí)現(xiàn)第一個(gè)元素的優(yōu)化計(jì)算控制序列.然后,通過(guò)樣品改變時(shí)域大小,這樣由測(cè)量的新信息重復(fù)整個(gè)過(guò)程.

圖2 區(qū)域分解的例子((a)實(shí)驗(yàn)區(qū)域;(b)實(shí)驗(yàn)區(qū)域的分解情況)Fig.2 Example of network decomposition((a)A test network;(b)The decomposition of (a))

由于MPC 具有解決實(shí)際交通的不確定性和避免近視控制方案的能力,采用MPC 協(xié)調(diào)城市區(qū)域網(wǎng)絡(luò)的信號(hào)控制也特別有利于本文的研究.因此,優(yōu)化的存儲(chǔ)–轉(zhuǎn)發(fā)的方法得出的交通動(dòng)態(tài)模型可以作為預(yù)測(cè)模型.開發(fā)了MPC 信號(hào)分割優(yōu)化框架.就像前文提到的那樣,把一個(gè)大型區(qū)域分割成無(wú)數(shù)個(gè)子區(qū)域的目的是減少計(jì)算的復(fù)雜性.因此,大型區(qū)域的優(yōu)化問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為各個(gè)子區(qū)域的相互協(xié)作和優(yōu)化問(wèn)題.

根據(jù)前面提到的子區(qū)域劃分方法,假定大型區(qū)域可以劃分成|S|個(gè)子區(qū)域.定義這些子區(qū)域的集合為S,那么子區(qū)域Si ∈S的離散時(shí)間動(dòng)態(tài)模型為:

假設(shè)當(dāng)前的時(shí)間索引為k0,預(yù)測(cè)時(shí)域?yàn)镹p.那么子區(qū)域Si ∈S的優(yōu)化問(wèn)題可以定義為:

其中,X(k+k0|k0)代表在t=k0T時(shí)刻對(duì)t=(k+k0)T時(shí)刻進(jìn)行預(yù)測(cè)的狀態(tài)向量.B和D分別代表控制輸入矩陣和需求矩陣.g(·)=C ?Li ?和h(·)分別代表綠燈時(shí)間約束和交通需求約束.Q ≥0 和R ≥0 是兩個(gè)對(duì)角權(quán)矩陣.Q是狀態(tài)(區(qū)域中車輛的數(shù))權(quán)重.R陣為控制量的權(quán)重.

如前文描述,為了減少區(qū)域計(jì)算的復(fù)雜性,本文把區(qū)域分解成無(wú)數(shù)個(gè)小的子區(qū)域.因此,大型區(qū)域的優(yōu)化問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化成分解子區(qū)域的協(xié)同和優(yōu)化.假設(shè)利用上述分解原理,可以把大型區(qū)域分解成|S|個(gè)子區(qū)域.定義區(qū)域的集合是S,子區(qū)域的優(yōu)化問(wèn)題可以定義為:

為了簡(jiǎn)化zj,i(k+k0|k0)可縮寫成代表從相鄰子區(qū)域Sj流入到子區(qū)域Si的流入流量.表示從相鄰子區(qū)域Sj的r交通流流入到子區(qū)域Si的交通流量.zj,r;i,l是從相鄰子區(qū)域Si的r交通流流入到子區(qū)域Si的l交通流的預(yù)測(cè)流量.子區(qū)域Si和Sj的相互影響如圖3 所示.Ri和Rj分別代表子區(qū)域Si和Sj的總交通流數(shù).yi,j(k+k0|k0)表示從子區(qū)域Si流出的交通流量.

zj,i(k+k0|k0)和yi,j(k+k0|k0)區(qū)-別在于前者表示Sj的預(yù)測(cè)流入的交通流量,這個(gè)交通流來(lái)自于Si. 后者表示從Si流出的實(shí)際交通流量,這個(gè)交通流流入Sj.相對(duì)應(yīng)于zi,j(k+k0|k0),可以定義Mi,j和Mj,i是相互影響的矩陣,它們反映了子區(qū)域中交通流的輸入流和輸出流的關(guān)系.可以導(dǎo)出:

其中,IRj×Rj和IRi×Ri分別是維數(shù)Rj和Ri的單位矩陣.

圖3 相鄰區(qū)域之間的影響Fig.3 Influence between adjacent subnetworks

另外,為了更準(zhǔn)確地對(duì)實(shí)際交通情況建立模型,從子區(qū)域Si的r1 交通流駛出轉(zhuǎn)入子區(qū)域Sj的r2交通流的車輛數(shù)量可以通過(guò)下式計(jì)算:

基于上述討論,可以推導(dǎo)出每個(gè)子區(qū)域的優(yōu)化問(wèn)題.另外需要注意的是,基于預(yù)測(cè)輸入即zj,i的子區(qū)域Si的優(yōu)化問(wèn)題可以解決.因此,為了反映子區(qū)域和它相鄰的子區(qū)域之間的關(guān)系,必須添加下面的相互平衡的約束條件,

一般來(lái)說(shuō),為了協(xié)調(diào)分割后的子區(qū)域,整個(gè)區(qū)域的優(yōu)化問(wèn)題(10)可以定義為:

約束條件為式(13)～(17).

3 分層MPC 控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)

由于大規(guī)模系統(tǒng)通過(guò)集中控制結(jié)構(gòu)很難得到理想的魯棒性和可靠性,而且在大規(guī)模系統(tǒng)的最優(yōu)控制計(jì)算復(fù)雜性大.鑒于這些原因,在大規(guī)模系統(tǒng)中可使用分層控制結(jié)構(gòu),結(jié)合分解、協(xié)調(diào)和并行處理進(jìn)行改進(jìn).分級(jí)控制背后的基本原理是通過(guò)一些互相聯(lián)系的變量將給定的大規(guī)模系統(tǒng)分解為幾個(gè)子系統(tǒng),然后定義每個(gè)子系統(tǒng)的優(yōu)化問(wèn)題,協(xié)調(diào)子系統(tǒng)導(dǎo)出一個(gè)最優(yōu)的解決方案.目標(biāo)協(xié)調(diào)法和關(guān)聯(lián)預(yù)估法可用于協(xié)調(diào)改進(jìn),但目標(biāo)協(xié)調(diào)法通常需要額外的術(shù)語(yǔ)引入到代價(jià)函數(shù),以避免解決方案有奇點(diǎn),有奇點(diǎn)可能增加計(jì)算負(fù)擔(dān).相比之下,關(guān)聯(lián)預(yù)估方法有潛力加快計(jì)算過(guò)程.因此,在本文研究中將注意力放在關(guān)聯(lián)預(yù)估方法上.

如果子區(qū)域Si和相鄰子區(qū)域之間的交互可以通過(guò)通信估計(jì),然后為了減少較大的計(jì)算量,大規(guī)模的城市區(qū)域網(wǎng)絡(luò)可以分解成幾個(gè)小的子區(qū)域,與之相對(duì)應(yīng)的優(yōu)化問(wèn)題可以分為幾個(gè)子區(qū)域的優(yōu)化.因此,為了確保滿足子區(qū)域Si和相鄰子區(qū)域之間的互動(dòng)平衡約束,子區(qū)域Si需要和相鄰的子區(qū)域之間溝通和協(xié)調(diào).為了協(xié)調(diào)所有劃分的子區(qū)域、需要設(shè)計(jì)層次(或分布)控制結(jié)構(gòu)下協(xié)調(diào)算法.

需要注意的是,為了方便起見在接下來(lái)的討論中,時(shí)間步長(zhǎng)k+k0|k0簡(jiǎn)寫成k,例如z(k+k0|k0)和yi,r1;j,r2(k+k0|k0)分別簡(jiǎn)寫成z(k)和yi,r1;j,r2(k).

3.1 基于MPC 優(yōu)化目標(biāo)分析

一般來(lái)說(shuō),對(duì)偶優(yōu)化方法可以用來(lái)解決分解子網(wǎng)之間的協(xié)調(diào)問(wèn)題.所有相互約束條件可以考慮采用拉格朗日乘子向量λ.整個(gè)交通網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化問(wèn)題(13)的增廣拉格朗日函數(shù)可以被定義為:

其中,λi,j是對(duì)應(yīng)每個(gè)子系統(tǒng)的拉格朗日乘子,它與子網(wǎng)Si和Sj之間的約束有關(guān)[17].

拉格朗日對(duì)偶原理:定義函數(shù)θP(X,U)=maxλL(X,U,λ),下標(biāo)P表示原始問(wèn)題.假設(shè)給定某個(gè)U,如果違反原始問(wèn)題的約束問(wèn)題,即存在某個(gè)使得zj,i(k)=yj,i(k),那么就有

相反的,如果滿足約束條件,則由式(17)和式(18)可知:θP(X,U)=J(X,U)

因此:

稱為原始問(wèn)題的值.

定義θD(λ)=minU L(X,U,λ),再考慮極大化D(λ),即P?=minU θP(X,U)

問(wèn)題maxλminU L(X,U,λ)稱為廣義拉格朗日函數(shù)的極大極小問(wèn)題.可以將廣義拉格朗日函數(shù)的極大極小問(wèn)題表示為約束最優(yōu)化問(wèn)題:

稱為原始問(wèn)題的對(duì)偶問(wèn)題.定義對(duì)偶問(wèn)題的最優(yōu)值

稱為對(duì)偶問(wèn)題的值.

定理1.若原始問(wèn)題與對(duì)偶問(wèn)題都有最優(yōu)值,則

證明.對(duì)于任意的λ和(X,U),有

由于原始問(wèn)題和對(duì)偶問(wèn)題都有最優(yōu)值,所以

基于拉格朗日對(duì)偶原理,拉格朗日對(duì)偶函數(shù)可以定義為:

約束條件是式(13)～(17),優(yōu)化變量U稱之為原始變量,拉格朗日算子λ也被稱為對(duì)偶變量.然后,與問(wèn)題(19)相關(guān)的增廣對(duì)偶優(yōu)化問(wèn)題可以定義為:

約束條件是(13)～(17),并且

為了減少計(jì)算的復(fù)雜性,也為了保證每個(gè)子網(wǎng)絡(luò)都能獨(dú)立被優(yōu)化.給出下面這個(gè)引理.

引理1.如果拉格朗日乘子λ和作用矢量zj,i(k)固定不變,拉格朗日函數(shù)可以被擴(kuò)展成:

然后將(24)代入到對(duì)偶優(yōu)化問(wèn)題(22)中,可以得到:

約束條件為式(11)～(16)和式(24).

3.2 分層MPC 控制器設(shè)計(jì)

基于以上討論:可以采用兩層模型預(yù)測(cè)控制解決對(duì)偶優(yōu)化問(wèn)題.在上層控制中優(yōu)化協(xié)調(diào)量λ,z,在下層控制中通過(guò)求解每一個(gè)子區(qū)域的優(yōu)化問(wèn)題φi(·),求得下層控制的優(yōu)化目標(biāo)U.

下層控制:在下層控制中,每一個(gè)子區(qū)域的優(yōu)化問(wèn)題是:

約束于式(13)～(17).值得注意的是,在解決子優(yōu)化問(wèn)題(26)過(guò)程中,拉格朗日乘子以及作用矢量在解決子區(qū)域的優(yōu)化過(guò)程中被認(rèn)為是常量.

為了方便說(shuō)明,定義:

然后,對(duì)于任意的子區(qū)域Si和它的相鄰子區(qū)域Sj,拉格朗日算子λi,r1;j,r2和λj,r3;i,r4可以更新如下:

其中,β1和β2是正定的常量,表示給定的步長(zhǎng),可以是所有迭代的固定值,或者可以針對(duì)每次迭代變化和優(yōu)化.上標(biāo)表示迭代步驟.

基于交互預(yù)測(cè)方法的理論基礎(chǔ),任意兩個(gè)子網(wǎng)絡(luò)Si和Sj之間的作用矢量zi,j和zj,i通過(guò)上層協(xié)調(diào)量估算.作用矢量在下層控制的各個(gè)子區(qū)域的MPC 優(yōu)化量中收集信息.因此,在(+1)步迭代中,作用矢量的估計(jì)量可以更新如下:

將式(29)代入式(27),可得:

然后結(jié)束協(xié)同的條件可以定義為:

其中,0<ε是給定誤差容限閾值.

另外,在式(28)和式(29)中值得注意的是,迭代過(guò)程是從開始的.因此,任意的子區(qū)域Si和它的相鄰子區(qū)域Sj,拉格朗日算子和以及作用矢zi,j和zj,i都必須在第一步迭代中初始化.

圖4 說(shuō)明了所提出的方法的方案圖.

3.3 區(qū)域交通信號(hào)控制算法

算法1(區(qū)域交通信號(hào)控制算法).

步驟1 (初始化).假設(shè)在當(dāng)前采樣步長(zhǎng)k0的所有初始狀態(tài)Xi(k0)(i=1,2,···,|S|)均是可測(cè)的,對(duì)于k=k0+1,···,k0+Np,關(guān)聯(lián)向量都能被初始化.令c=1.

步驟2 (預(yù)測(cè)).對(duì)于k=k0+c ?1,···,k0+c ?2+Np,假設(shè)可以預(yù)測(cè)子區(qū)域Si的交通流r的交通需求di(k)和擾動(dòng)ei(k).令-=1.如果c=1,則跳轉(zhuǎn)到步驟4.

圖4 所提出方法的方案圖Fig.4 Scheme of the proposed method

步驟3 (啟動(dòng)).對(duì)于任意的i=1,2,···,|S|和k=k0+c ?1,···,k0+c ?2+Np,

步驟4 (下層優(yōu)化).對(duì)于任意的i=1,2,···,|S|和k=k0+c ?1,···,k0+c ?2+Np,由于關(guān)聯(lián)向量量可以由上層控制得到,每個(gè)子區(qū)域Si的MPC 優(yōu)化量記憶可以通過(guò)解決式(27)中的最優(yōu)化問(wèn)題得到?jīng)Q策向量同時(shí),可以通過(guò)(16)計(jì)算得到輸出交通流量,然后將這組數(shù)據(jù)傳送到上層優(yōu)化控制.

步驟 5 (上層優(yōu)化).對(duì)于任意的i=1,2,···,|S|和k=k0+c ?1,···,k0+c ?2+Np,基于迭代預(yù)測(cè)的方法,應(yīng)用下層優(yōu)化得到的根據(jù)式(30)和式(31)更新

步驟6 (檢驗(yàn)和更新).檢測(cè)是否滿足最終的迭代條件,如果在迭代次數(shù)時(shí)滿足停止條件,然后結(jié)束迭代過(guò)程,跳轉(zhuǎn)至步驟7;否則,返回到步驟4.

步驟7 (完成).對(duì)于任意的交叉路口i=1,2,···,|S|,最優(yōu)控制變量序列應(yīng)用到子區(qū)域Si.

步驟8 (滾動(dòng)時(shí)域).將時(shí)域移動(dòng)到下一個(gè)控制間隔,令c=c+1,跳轉(zhuǎn)至步驟2.

4 仿真結(jié)果及分析

為了驗(yàn)證本文改進(jìn)模型后分層協(xié)調(diào)模型預(yù)測(cè)控制算法的有效性,本節(jié)主要通過(guò)與文獻(xiàn)[15]中所提出的存儲(chǔ)–轉(zhuǎn)發(fā)模型進(jìn)行對(duì)比,從計(jì)算成本和算法性能兩個(gè)方面對(duì)比分析,評(píng)估本文算法的優(yōu)越性.對(duì)于計(jì)算成本的度量,本文采用了在不同的預(yù)測(cè)范圍Np內(nèi),用于解決在線優(yōu)化問(wèn)題的模擬的平均CPU運(yùn)行時(shí)間.對(duì)于算法性能的度量,采用在測(cè)試網(wǎng)絡(luò)中1 小時(shí)(即30 個(gè)模擬步驟)的測(cè)試中車輛的總時(shí)間消耗(TTS).

研究對(duì)象主要是圖2 所示的交通網(wǎng)絡(luò),測(cè)試網(wǎng)絡(luò)中包括18 條交通流,其中有5 條是流出的交通流,其余13 條是流入的交通流.因此x1,x2,x3和x8,x9是所研究網(wǎng)絡(luò)的流入交通流.x3和x4的長(zhǎng)度是一樣的,都是1 200 m,x6和x11是1 440 m,其他長(zhǎng)度都是600 m.此外,為了保證同步,假定任意兩個(gè)交叉口之間的偏移量都是零.表1 給出了基本參數(shù)的定義,表2 給出了測(cè)試路網(wǎng)中各個(gè)交通流的轉(zhuǎn)彎率,不存在直接轉(zhuǎn)彎關(guān)系的交通流轉(zhuǎn)彎率為零.

表1 基本參數(shù)的定義Table 1 Definitions of basic parameters

圖5 給出了5 條輸入交通流在仿真時(shí)間段的隨機(jī)變化情況,變化周期是10 min (相當(dāng)于5 個(gè)仿真步數(shù)).圖5 測(cè)試網(wǎng)中的每條流入的交通流的變化周期是10 min (相當(dāng)于5 個(gè)仿真步數(shù)),初始狀態(tài)和擾動(dòng)是隨機(jī)產(chǎn)生的,為了簡(jiǎn)化,初始狀態(tài)和擾動(dòng)的定義如表3 所示.

圖6 說(shuō)明了在預(yù)測(cè)時(shí)間窗不同的情況下,每個(gè)仿真周期中基于兩種不同模型的CPU 運(yùn)行時(shí)間.

表2(a) 測(cè)試網(wǎng)中的轉(zhuǎn)彎率Table 2(a) Turning rates of the test network

表2(b) 測(cè)試網(wǎng)中的轉(zhuǎn)彎率Table 2(b) Turning rates of the test network

表3 初始狀態(tài)和擾動(dòng)Table 3 initial states and disturbances

從表中可以看出,隨著Np的增長(zhǎng),基于兩種模型的CPU 運(yùn)行時(shí)間都在迅速的增加.同時(shí),與文獻(xiàn)[15]中的存儲(chǔ)–轉(zhuǎn)發(fā)模型相比,因?yàn)楦倪M(jìn)模型對(duì)流量的高效疏散,本文改進(jìn)的存儲(chǔ)–轉(zhuǎn)發(fā)模型的每個(gè)仿真的CPU 運(yùn)行時(shí)間會(huì)減少0.25%～70.25%.另外,從表中可以看出,隨著Np的增長(zhǎng),本文改進(jìn)模型控制策略的性能優(yōu)勢(shì)更為明顯.

圖7～10 表明了不同預(yù)測(cè)窗下,對(duì)應(yīng)測(cè)試的6 種不同狀態(tài)(低初態(tài)低擾動(dòng)LSLD、低初態(tài)高擾動(dòng)LSHD、中初態(tài)低擾動(dòng)MSLD、中初態(tài)高擾動(dòng)MSHD、高初態(tài)低擾動(dòng)HSLD、高初態(tài)高擾動(dòng)HSHD)下,測(cè)試區(qū)域中車輛總的消耗時(shí)間(TTS)的情況.

圖5 外界輸入交通流Fig.5 Input traffic flow from outside

圖6 不同預(yù)測(cè)窗的運(yùn)行時(shí)間Fig.6 Running time under different prediction window

圖7 Np=1 時(shí)不同狀態(tài)下兩種模型的TTSFig.7 TTS of each model under Np=1

圖8 Np=2 時(shí)不同狀態(tài)下兩種方法的TTSFig.8 TTS of each model under Np=2

圖9 Np=3 時(shí)不同狀態(tài)下兩種方法的TTSFig.9 TTS of each model under Np=3

圖10 Np=4 時(shí)不同狀態(tài)下兩種方法的TTSFig.10 TTS of each model under Np=4

從上述4 圖中,可以看出在不同狀態(tài)下,分布式模型預(yù)測(cè)控制的TTS 都短于集中式模型預(yù)測(cè),并且隨著預(yù)測(cè)窗的增大,TTS 呈增長(zhǎng)的趨勢(shì).

下面從不同類型交通流的車輛消耗情況來(lái)探究本文所述方法的有效性.選取兩個(gè)具有代表性的交通流進(jìn)行研究,分別是有外界輸入的交通流x3,無(wú)外界輸入的x7.圖11～14 給出所研究的兩個(gè)交通流在不同狀態(tài)下,由兩種控制策略分別控制的車輛數(shù)量的對(duì)比.

圖11 本文改進(jìn)模型控制的交通流x3的變化Fig.11 The changing of traffic x3under proposed model

圖12 存儲(chǔ)轉(zhuǎn)發(fā)模型控制的交通流x3的變化Fig.12 The changing of traffic x3under store and forward model

圖13 本文改進(jìn)模型控制的交通流x7的變化Fig.13 The changing of traffic x7under proposed model

觀察上述4 圖,首先在相同狀態(tài)下,由兩種不同模型控制的交通流,車輛排隊(duì)數(shù)量的變化趨勢(shì)幾乎是一樣的.由圖11 和圖12 對(duì)比可以發(fā)現(xiàn),不管初始排隊(duì)車輛處于什么狀態(tài),低擾動(dòng)下交通流x3的車輛排隊(duì)數(shù)量遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于高擾動(dòng)狀態(tài)下的車輛排隊(duì)數(shù)量.由圖13 和圖14 對(duì)比可以發(fā)現(xiàn),相同狀態(tài)不同控制策略下對(duì)交通流x7的控制性能幾乎相同.

圖14 存儲(chǔ)轉(zhuǎn)發(fā)模型控制的交通流x7的變化Fig.14 The changing of traffic x7under store and forward model

對(duì)比圖11 和圖12 可見,圖11 中,約10 個(gè)仿真步數(shù)(即20 min)后,排隊(duì)數(shù)量出現(xiàn)了遞增的趨勢(shì),并且出現(xiàn)了最大值.這是因?yàn)閤3是有外界輸入的交通流,所以排隊(duì)長(zhǎng)度的車輛數(shù)量遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于沒(méi)有外界流入的交通流排隊(duì)數(shù)量.圖11 的隊(duì)列長(zhǎng)度峰值比圖12 提前出現(xiàn),但到仿真結(jié)束時(shí),平均隊(duì)列長(zhǎng)度下降到了圖12 的1/3 左右.

綜上所述,本文提出改進(jìn)的存儲(chǔ)–轉(zhuǎn)發(fā)模型在計(jì)算損耗和總的損失時(shí)間(TTS)上,性能優(yōu)于文獻(xiàn)[15]的存儲(chǔ)–轉(zhuǎn)發(fā)模型,尤其是隨著預(yù)測(cè)時(shí)間窗長(zhǎng)度的增加,優(yōu)勢(shì)越來(lái)越明顯.同時(shí),相同條件下,兩種控制模型對(duì)排隊(duì)車輛的消耗情況是一樣甚至更優(yōu)的.也就是說(shuō),在能達(dá)到相同的控制性能情況下,本文提出的改進(jìn)的存儲(chǔ)–轉(zhuǎn)發(fā)模型在整個(gè)運(yùn)行的計(jì)算速度上更優(yōu),這也是大型控制系統(tǒng)追求的目標(biāo).

5 結(jié)論

本文主要是針對(duì)區(qū)域交通進(jìn)行研究,根據(jù)交通流的動(dòng)態(tài)特性,提出了改進(jìn)的存儲(chǔ)–轉(zhuǎn)發(fā)模型,建立相應(yīng)的區(qū)域交通狀態(tài)方程.為了減小計(jì)算復(fù)雜度,本文根據(jù)相應(yīng)的子區(qū)域劃分原則,把大型區(qū)域劃分成小的子區(qū)域.根據(jù)模型預(yù)測(cè)控制理論,提出區(qū)域交通的優(yōu)化問(wèn)題,給出相應(yīng)的約束條件.為了協(xié)調(diào)各子區(qū)域,引進(jìn)了分布式模型預(yù)測(cè)控制算法.仿真結(jié)果表明,在能達(dá)到相同的控制性能情況下,本文提出的基于改進(jìn)的存儲(chǔ)–轉(zhuǎn)發(fā)模型的算法在解決問(wèn)題的計(jì)算速度上優(yōu)于文獻(xiàn)[15]中基于存儲(chǔ)–轉(zhuǎn)發(fā)模型的分層模型預(yù)測(cè).