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        月面多機(jī)器人的分布式協(xié)同定位算法研究

        2019-10-31 01:34:52魏明珠謝曉梅徐利梅
        載人航天 2019年5期
        關(guān)鍵詞:移動(dòng)機(jī)器人步長(zhǎng)分布式

        魏明珠,謝曉梅,嚴(yán) 鵬,徐利梅

        (電子科技大學(xué)航空航天學(xué)院,成都611731)

        1 引言

        隨著我國(guó)載人航天工程和月球探測(cè)工程的發(fā)展,月面探測(cè)的技術(shù)條件在不斷突破,但月面環(huán)境苛刻,不適合人類的長(zhǎng)期作業(yè)[1]。在有人參與的深空探測(cè)前期,需要無人深空探測(cè)任務(wù)突破關(guān)鍵問題[2]。目前機(jī)器人技術(shù)發(fā)展迅猛,很多領(lǐng)域理論漸趨成熟,應(yīng)用研究也深入到工業(yè)、軍事等多個(gè)層面。因此,利用月面機(jī)器人進(jìn)行探測(cè),可完成更廣泛區(qū)域的月球科學(xué)探測(cè)任務(wù),并為載人登月提供科學(xué)與工程數(shù)據(jù)和先期基礎(chǔ)設(shè)施。攜帶各種傳感器和采樣裝置的月面移動(dòng)機(jī)器人是月面探測(cè)的重要工具[3-5]。單個(gè)機(jī)器人的負(fù)載能力、數(shù)據(jù)處理能力等有限,利用多個(gè)月面移動(dòng)機(jī)器人系統(tǒng)可以獲得更大的探測(cè)效率,通過分布式的信息處理獲得更高效和更廣泛的信息量[6]。

        多機(jī)器人協(xié)同進(jìn)行月表探測(cè)的前提是每個(gè)機(jī)器人能夠快速準(zhǔn)確地獲得自身在環(huán)境中的位置信息,因此多機(jī)器人系統(tǒng)中的定位是首要問題[7-8]。多機(jī)器人系統(tǒng)作為一個(gè)整體,機(jī)器人之間的協(xié)同定位可以利用機(jī)器人彼此的信息,獲得各自的位置。多機(jī)器人協(xié)同定位的方法有兩類:一類是集中式協(xié)同定位,每個(gè)機(jī)器人的信息都傳輸?shù)街醒胩幚韱卧M(jìn)行處理,然后再發(fā)送給各個(gè)機(jī)器人[9];另一類是分布式處理,即每個(gè)機(jī)器人利用與鄰居機(jī)器人交互的信息計(jì)算自己的位置[10]。因此分布式定位方法具有實(shí)際的價(jià)值,也是人們研究的熱點(diǎn)。Costa等[11]提出了基于分布式加權(quán)多維標(biāo)度的算法,基于凸包中不含錨點(diǎn)的假設(shè),利用質(zhì)心計(jì)算方法,定位網(wǎng)絡(luò)中機(jī)器人的位置,但成本函數(shù)本身建立比較復(fù)雜,算法的運(yùn)算量較大。Cui等[12]采用不依賴錨點(diǎn)的分布式定位方法,本質(zhì)是通過多邊法的原理定位,定位后的節(jié)點(diǎn)作為虛擬錨點(diǎn),該方法在網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)上有局限。王玲等[13]提出了基于擴(kuò)展卡爾曼濾波的相對(duì)位姿測(cè)量方法,該方法需要機(jī)器人交互除位置信息外還有方位信息,同時(shí)沒有考慮大規(guī)模多機(jī)器人網(wǎng)絡(luò)的定位情況。

        本文重點(diǎn)考慮基于測(cè)距信息的多機(jī)器人系統(tǒng)的分布式定位問題,對(duì)多機(jī)器人協(xié)同定位問題建立優(yōu)化方程模型,并提出基于自適應(yīng)步長(zhǎng)的分布式梯度下降的定位方法,通過仿真試驗(yàn)分析算法的性能。

        2 多機(jī)器人系統(tǒng)問題建模

        假設(shè)n個(gè)月面機(jī)器人構(gòu)成一個(gè)自主移動(dòng)的網(wǎng)絡(luò), p(τ)={pi(τ)},i=1,…,n, 表示 n 個(gè)機(jī)器人在τ時(shí)刻的位置,其中第i個(gè)機(jī)器人的位置表示為 pi(τ)=[xi(τ),yi(τ)]T。 D={dij},i,j∈ n,表示機(jī)器人之間的測(cè)距信息的集合。對(duì)于機(jī)器人i與j,dij表示機(jī)器人之間距離的測(cè)量值,而|pipj|表示兩個(gè)機(jī)器人之間的真實(shí)距離,因此滿足如下計(jì)算公式,表示兩個(gè)機(jī)器人之間距離真值與測(cè)量值之間的誤差。

        假設(shè)機(jī)器人之間量測(cè)的距離信息組成集合ε,則系統(tǒng)目標(biāo)是通過最小化均方差的擬合優(yōu)度準(zhǔn)則(式(1)),獲得多機(jī)器人系統(tǒng)的最佳位置的估計(jì),或者機(jī)器人通過移動(dòng)形成最佳的預(yù)定的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)洹?/p>

        因此,多機(jī)器人系統(tǒng)定位問題表示為優(yōu)化方程,如式(2)所示。

        其中,pi和pj是待估計(jì)的機(jī)器人位置,dij是機(jī)器人之間的距離量測(cè)值。估計(jì)量與測(cè)量值之間的差越小,表明機(jī)器人估計(jì)的位置信息越準(zhǔn)確。

        3 基于梯度的分布式定位方法

        3.1 梯度下降定位法

        在優(yōu)化理論中,采用梯度下降法可以獲得目標(biāo)函數(shù)的局部最優(yōu)值。對(duì)于多機(jī)器人系統(tǒng),如果將每個(gè)機(jī)器人看作一個(gè)節(jié)點(diǎn),機(jī)器人之間的聯(lián)系看作線段,則多機(jī)器人系統(tǒng)可以假設(shè)為一個(gè)圖,若這個(gè)圖是廣義的全局剛性圖,則上述優(yōu)化問題具有唯一的最優(yōu)值,即局部最優(yōu)解就是該問題的全局最優(yōu)解,因此每個(gè)機(jī)器人獲得唯一的最優(yōu)位置[14]。

        其中 ατ是步長(zhǎng);(p);Δgij(p) = 2[OT,…, (pi-pj)T,OT…OT,(pj-pi)T,…,OT],ij(p) 含有 n 個(gè)向量,每個(gè)向量的維數(shù)是2×1,因此ij(p)是一個(gè)包含2n個(gè)元素的行向量。

        3.2 自適應(yīng)步長(zhǎng)的計(jì)算

        在梯度下降法中,步長(zhǎng)決定算法收斂的速度和穩(wěn)定性,固定步長(zhǎng)通常無法有效平衡收斂的快速性和穩(wěn)定性,為此尋找合適的步長(zhǎng)成為該方法的主要問題。這里采用了一種自適應(yīng)的步長(zhǎng)計(jì)算方法,Barzilai-Borwein步長(zhǎng)(簡(jiǎn)稱BB步長(zhǎng)),可以在每次迭代過程中找到最大或最小的步長(zhǎng),從而提高算法效率。BB步長(zhǎng)的計(jì)算公式為式(4)。

        分布式梯度算法采用BB步長(zhǎng),分為2個(gè)階段進(jìn)行,第1階段是分布式步長(zhǎng)計(jì)算,第2階段是每個(gè)機(jī)器人利用鄰居的測(cè)量信息分布式迭代更新定位[15]。

        3.3 BB步長(zhǎng)的分布式計(jì)算

        假設(shè)每個(gè)機(jī)器人都可以獲得自身與近鄰的當(dāng)前位置信息和上一個(gè)時(shí)刻的位置估計(jì)。上述步長(zhǎng)計(jì)算公式(4)中的分子和分母分別用標(biāo)量θ和γ表示,則第 i個(gè)機(jī)器人在 τ(0)時(shí)刻的初值θi(τ(0)) 和γi(τ(0)) 如式(5)所示。

        任意時(shí)刻τ(t+1)的θi(τ(t+1))和 γi(τ(t+1))迭代如式(6)、式(7)所示。

        其中Wij滿足Metropolis準(zhǔn)則;Ni表示機(jī)器人i的鄰居集合,即 Ni={j:(i,j) ∈ε}; Ni表述集合Ni的基數(shù),即集合中元素個(gè)數(shù)。

        對(duì)于多機(jī)器人系統(tǒng)構(gòu)成的通信網(wǎng)絡(luò),如果該網(wǎng)絡(luò)表示的圖是連接圖,即機(jī)器人之間可以彼此交互,則每個(gè)機(jī)器人在有限的時(shí)間內(nèi)可以計(jì)算迭代步長(zhǎng),如式(8)所示。

        證明:式(8)中的分子寫成如下形式:

        θ(τ(t+1))=W·θ(τ(t)),θ(τ(t))=Wt·θ(τ(0)),其中,θ(τ)=[θ1(τ),…,θn(τ)]。 由于矩陣 W滿足如下條件: Wkz-1ζ≤λ2(W)k·‖z‖, λ2(W)< 1,λ2(W) 是矩陣W的第2個(gè)特征值,ζ是向量z中所有元素的均值,則,‖θ(τ(0))‖。 由于 ‖·‖≥ ‖·‖∞( ‖·‖與‖·‖∞分別表示元素·的二范數(shù)與無窮范數(shù)),式(9)和式(10)成立。

        隨著 t→∞,θi(τ(t))和γi(τ(t)) 分別收斂到 θ(τ(0))和 γ(τ(0)),因此各個(gè)機(jī)器人獨(dú)立計(jì)算的迭代步長(zhǎng)可以收斂到算法統(tǒng)一的步長(zhǎng)值,如式(12)所示。

        3.4 機(jī)器人位置更新過程

        第i個(gè)機(jī)器人的位置更新過程如式(14)所示。

        將式(13)代入到式(14),則每個(gè)機(jī)器人的位置更新的計(jì)算方法,如式(15)所示。

        注意,式(15)表明每個(gè)機(jī)器人進(jìn)行位置更新的時(shí)候,分布式步長(zhǎng)αi(τ)已經(jīng)收斂到一致的步長(zhǎng)值ατ[16]。算法流程如下:

        1)初始化。設(shè)定一致步長(zhǎng)計(jì)算階段最大的迭代次數(shù)tmax,定位容忍誤差οtolerance。 假設(shè)位置更新迭代次數(shù)τ=0,對(duì)機(jī)器人位置進(jìn)行初始估計(jì),采用均勻分布或者高斯分布的位置假設(shè)。

        2)一致步長(zhǎng)的計(jì)算。假設(shè)t=0,根據(jù)式(5)計(jì)算 θi(τ(t)) 和 γi(τ(t));t=t+1,根據(jù)式(6)和式(7)更新θi(τ(t))和γi(τ(t)) ;直到t≤tmax停止迭代。

        3)機(jī)器人位置更新。根據(jù)式(8)計(jì)算αi(τ(t));τ=τ+1,根據(jù)式(15)計(jì)算新的位置;當(dāng)‖pi(τ+1)-pi(τ)‖≤οtolerance成立,停止位置更新。

        4)輸出每個(gè)機(jī)器人的定位終值。p(τ+1)=[p1(τ +1),…pn(τ +1)]。

        4 仿真試驗(yàn)

        多個(gè)機(jī)器人在未知環(huán)境中執(zhí)行探測(cè)任務(wù)時(shí),首先需要到達(dá)指定位置,即構(gòu)成指定的多機(jī)器人網(wǎng)絡(luò)。這里目標(biāo)網(wǎng)絡(luò)為平面上10個(gè)機(jī)器人構(gòu)成的多機(jī)器人系統(tǒng),如圖1所示。圖中節(jié)點(diǎn)表示機(jī)器人,虛線表示機(jī)器人之間的信息測(cè)量與交互關(guān)系;星號(hào)表示待定位的機(jī)器人位置;3個(gè)邊界點(diǎn)表示錨點(diǎn)機(jī)器人,其位置已知,用于確定整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的全局坐標(biāo),由圓圈標(biāo)識(shí)。根據(jù)圖論可知對(duì)于二維的網(wǎng)絡(luò),如果至少3個(gè)非共線節(jié)點(diǎn)的絕對(duì)位置已知,那么整個(gè)網(wǎng)絡(luò)有唯一拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),即多機(jī)器人網(wǎng)絡(luò)中每個(gè)機(jī)器人位置有唯一的解。因此這里選用網(wǎng)絡(luò)邊界不共線的3個(gè)點(diǎn)作為錨點(diǎn)機(jī)器人。由于該算法是一種迭代方法,需要給每個(gè)機(jī)器人一個(gè)任意初始位置估計(jì),如圖2表示,用圓圈標(biāo)識(shí)。為驗(yàn)證方法的收斂性,這里采用2種初值估計(jì)方法,第一假設(shè)初值在定位區(qū)域內(nèi)符合均勻分布,如圖2所示;第二假設(shè)初值在真實(shí)位置附近符合高斯分布。經(jīng)過該算法的運(yùn)算,任意一種分布的位置初值最終都會(huì)收斂到真實(shí)位置,即如圖3中三角表示的位置。

        假設(shè)機(jī)器人初始位置估計(jì)滿足在給定區(qū)域[1 m×1 m]內(nèi)的均勻分布,分布式步長(zhǎng)迭代次數(shù)tmax=20,每個(gè)機(jī)器人獨(dú)立采用分布式梯度方法,其位置估計(jì)誤差的收斂過程如圖4所示。每個(gè)機(jī)器人位置估計(jì)誤差收斂到給定的容忍誤差范圍之內(nèi),即οtolerance=10-12,試驗(yàn)中位置更新迭代次數(shù)τ小于80。

        圖1 多機(jī)器人的目標(biāo)網(wǎng)形狀Fig.1 Target shape of multi-robot network

        圖2 多機(jī)器人的初始估計(jì)位置Fig.2 Initial position guess of multi-robot network

        圖3 分布式梯度方法的定位結(jié)果Fig.3 Localization result of distributed gradient based method

        圖4 每個(gè)機(jī)器人的定位誤差隨時(shí)間的收斂性能Fig.4 Convergence performance of robots in the network

        實(shí)際中機(jī)器人的初值估計(jì)可能存在多種情況。這里分別考慮機(jī)器人初始位置估計(jì)在給定區(qū)域[1 m×1 m]內(nèi)的均勻分布和以目標(biāo)位置為均值、標(biāo)準(zhǔn)差為0.4 m的高斯分布2種情況,每種條件進(jìn)行100次蒙特卡洛仿真,算法性能比較結(jié)果如表1所示。設(shè)置不同的步長(zhǎng)計(jì)算迭代次數(shù)t,t=10、20、40、80。 算法性能從誤差收斂的迭代次數(shù)、定位誤差和計(jì)算時(shí)間來評(píng)價(jià)。結(jié)果表明,算法分布式計(jì)算步長(zhǎng)需要的迭代次數(shù)對(duì)定位誤差和算法誤差收斂迭代次數(shù)的影響很小。但算法的計(jì)算時(shí)間與分布式步長(zhǎng)計(jì)算的內(nèi)部迭代次數(shù)相關(guān),隨著與內(nèi)部迭代次數(shù)的增加近似成比例變化。因此,在分布式計(jì)算步長(zhǎng)過程中,t較小就可以滿足步長(zhǎng)一致的要求。

        表1 不同初始估計(jì)條件的性能比價(jià)Table 1 Algorithm performance under different initial position guesses

        圖5展示了上述對(duì)比試驗(yàn)中,機(jī)器人從初始估計(jì)的位置(圖中星號(hào))收斂到目標(biāo)網(wǎng)絡(luò)定位節(jié)點(diǎn)(圖中三角號(hào))的軌跡。圖5(a)假設(shè)初始位置為均勻分布,適合對(duì)未知環(huán)境機(jī)器人初始部署。從收斂軌跡可見,機(jī)器人移動(dòng)的步長(zhǎng)較大,而收斂有震蕩情況發(fā)生。圖5(b)假設(shè)初始位置估計(jì)為高斯分布,收斂軌跡步長(zhǎng)比較小而且速度較快,適合當(dāng)機(jī)器人定位誤差較大時(shí)重定位的情況。這也表明,初始位置估計(jì)誤差較大時(shí),算法需要較長(zhǎng)時(shí)間,但最終會(huì)收斂到全局的最優(yōu)值。

        在上述仿真試驗(yàn)中,重點(diǎn)考慮了靜態(tài)的多機(jī)器人系統(tǒng),即當(dāng)多個(gè)機(jī)器人隨機(jī)分布在給定區(qū)域,利用有限的測(cè)距信息,可以快速確定每個(gè)機(jī)器人在整個(gè)網(wǎng)絡(luò)中的定位。對(duì)移動(dòng)的多機(jī)器人網(wǎng)絡(luò)而言,如果可以保持彼此的通信暢通,利用該方法,機(jī)器人可以運(yùn)動(dòng)到指定目標(biāo)位置,形成期望的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。這樣圖5中的收斂軌跡就演變成移動(dòng)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)軌跡。

        圖5 不同初始位置估計(jì)條件下機(jī)器人位置收斂軌跡Fig.5 Convergent trajectories of robots in the network under two initial position guesses

        5 結(jié)論

        該分布式定位算法可以分為一致步長(zhǎng)迭代和機(jī)器人位置更新2個(gè)階段。仿真驗(yàn)證表明當(dāng)多機(jī)器人網(wǎng)絡(luò)拓?fù)錇閯偠葓D時(shí),該算法具有全局收斂性,即對(duì)機(jī)器人初始位置估計(jì)值不敏感。由于只需少數(shù)幾次迭代即可獲得一致步長(zhǎng),算法在滿足分布式運(yùn)算的同時(shí)還可滿足計(jì)算效率和定位精度的要求。另外,對(duì)多個(gè)移動(dòng)機(jī)器人形成指定隊(duì)列的問題,該算法從初值估計(jì)到精確定位的收斂軌跡可以作為移動(dòng)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)軌跡,因此該方法可以擴(kuò)展應(yīng)用到多移動(dòng)機(jī)器人網(wǎng)絡(luò)。

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