張芳芳， 段永川

(1. 燕山大學(xué) 機械工程學(xué)院， 河北 秦皇島 066004；2. 燕山大學(xué) 先進鍛壓成形技術(shù)與科學(xué)教育部重點實驗室， 河北 秦皇島 066004)

二維三軸編織復(fù)合材料由3個方向的纖維束在平面內(nèi)相互編織而成，這樣在不同角度下可兼顧材料的橫向力學(xué)行為，有效克服傳統(tǒng)層合板力學(xué)性能差的缺點。由于編織復(fù)合材料中纖維束相互交織，因此，編織纖維束的截面形狀在不同位置會發(fā)生畸變，構(gòu)造實際的纖維束幾何模型已十分困難，如果再對纖維束幾何模型離散網(wǎng)格構(gòu)造有限元模型更加困難。

目前多數(shù)學(xué)者都是基于一定的模型簡化來構(gòu)造編織復(fù)合材料的幾何和有限元網(wǎng)格模型。Tsai等[1]采用彈簧單元建立了簡化的單胞網(wǎng)格模型，并對彈性力學(xué)參數(shù)進行了預(yù)測。Miravete等[2]通過沿編織方向增加4條邊界線，建立了簡化的“米”字形單胞模型，雖降低了構(gòu)造模型的難度，但也降低了復(fù)合材料彈性、損傷等力學(xué)性能的預(yù)測精度。Benzley等[3]通過模擬對比得出，六面體單元具有更多的自由度和抗畸變能力，在力學(xué)性能預(yù)測時能得到更高的精度[4-5]。Kim等[6]采用一種體素單元法建立了復(fù)合材料模型，該方法在表征復(fù)合材料兩相材料的交界面時精度降低，但這種方法隨著分辨率的提高，可消除這個問題。Gao等[7]假設(shè)紗線橫截面為矩形，建立出二維三軸編織預(yù)制件的動態(tài)幾何模型。嚴雪等[8]基于傳統(tǒng)有限元建模方法建立了考慮纖維束彎曲扭轉(zhuǎn)和空間交錯特征的有限元模型，并預(yù)測了其彈性性能規(guī)律。Kier等[9]假設(shè)纖維束橫截面為橢圓形，編織纖維束路徑為正弦曲線，利用CAD軟件生動再現(xiàn)了二維三軸編織復(fù)合材料的幾何模型。張芳芳等[10-11]基于直線的纖維束路徑建立了三維編織復(fù)合材料模型，并對其進行了損傷分析，然而當纖維束路徑波動較大時預(yù)測誤差會逐漸增大。

目前學(xué)者大都利用簡化模型對材料的微觀形態(tài)進行表征，但復(fù)合材料纖維束在固化時會受到一定的擠壓變形，空間形態(tài)改變會對材料的彈性及損傷等性能造成影響?；诖?，本文提出基于力學(xué)原理考慮空間擠壓的模型快速建立方法。利用變形后纖維束空間分布及形態(tài)再形成體素單胞模型，基于該模型預(yù)測了二維三軸編織復(fù)合材料的彈性規(guī)律。

1 細觀幾何模型

1.1 編織結(jié)構(gòu)

二維三軸編織復(fù)合材料的編織結(jié)構(gòu)如圖1所示。復(fù)合材料由3個方向的纖維束組成，其中與y軸平行的為直纖維束，另外2個方向為編織纖維束，他們沿著軸向纖維束相互交織，在z軸方向上看，軸向纖維束位于2個編織纖維束中間，在厚度方向上軸向纖維束位于材料中間。圖中白色框為一個周期單元，稱為一個單胞，其寬度為W，高度為L，編織角指軸向纖維束與編織向纖維束所夾的銳角(見圖1 中α)，單胞內(nèi)編織向纖維束長Lb。在圖中所示坐標系下，y軸與復(fù)合材料軸向纖維束的軸線平行，x軸與復(fù)合材料軸向纖維束的軸向垂直。z軸與復(fù)合材料的厚度方向平行。

圖1 二維三軸編織復(fù)合材料的結(jié)構(gòu)示意圖

將纖維束中心線定義為空間函數(shù)，選用三次樣條曲線描述纖維束路徑，其中第i段樣條曲線pi(t)的參數(shù)方程一般形式為

pi(t)=Ai+Bit+Cit2+Dit3

(1)

式中：t為該樣條曲線的參數(shù)， 0≤t≤1,i=0,1,…,n-2，Ai、Bi、Ci、Di分別為第i段樣條曲線的冪次項系數(shù)向量。該方程是在單胞內(nèi)定義，在單胞兩端面上要滿足幾何連續(xù)性，在樣條曲線的起始點處應(yīng)滿足的連續(xù)條件為

p″0(0)=p″n-2(1)

(2)

為驗證樣條曲線建立的正確性，在空間取了5個坐標點，每個坐標點的坐標分別為(0,0,0)，(0.5,0.7,0.4)，(1,0.6,0.0)，(1.5,0.7,-0.4)和(2,1.2,0)。在邊界約束條件下生成的周期樣條曲線如圖2所示。可以看出，樣條線光滑連續(xù)，可以滿足實際要求。

圖2 周期性空間樣條曲線

參考文獻[12]中的纖維束橫截面拓撲形狀，將纖維束的橫截面假設(shè)為透鏡形，如圖3所示。透鏡形纖維束橫截面由半徑分別為r1和r2的2個圓相交而得，2個圓各自偏離圖中坐標系橫軸的距離是o1和o2。參數(shù)r1、r2、o1和o2可根據(jù)透鏡的寬度w、高度h和偏移距離d計算得到。

圖3 透鏡形纖維束截面

透鏡形橫截面的參數(shù)方程為：

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

1.2 編織結(jié)構(gòu)參數(shù)

根據(jù)圖1所示幾何關(guān)系，單胞內(nèi)編織向纖維長Lb為

(8)

式中：L為單胞高度，mm；α為編織角，(°)。

定義軸向纖維束橫截面面積為Aa及圓弧段所對圓心角為αa，其計算公式分別為：

(9)

(10)

式中：ra為圓弧段的半徑，mm；w、h分別為透鏡形截面的寬度和高度，mm。同理，可計算出編織向纖維束橫截面面積Ab和圓心角αb。從圖1可以看出，在一個矩形單胞模型中含有2根軸向纖維束和4根編織向纖維束，則編織向纖維束和軸向纖維束的體積分別為：

Va=2AaLa

(11)

Vb=4AbLb

(12)

(13)

式中：Va、Vb分別為單胞中軸線纖維束和編織向纖維束的體積，mm3；Aa、Ab分別為軸線纖維束和編織向纖維束的橫截面面積，mm2；La、Lb分別為單胞中軸線纖維束和編織向纖維束的長度，mm；Vf為單胞中的纖維體積含量，%；L、W、H分別為單胞模型的長度、寬度和高度，mm；φ為紗線填充因子，本文認為編織向纖維束與軸向纖維束的紗線填充因子相同。

2 體素法建立有限元模型

2.1 單元材料主方向計算

纖維束在空間的走向可以用其中心線在空間的走向進行描述，由于纖維束路徑的波動導(dǎo)致纖維束各個部位有著不同的材料主方向。應(yīng)用有限元方法對實體模型進行離散后，為準確地描述各單元的材料主方向，需要計算單元形心處的材料主方向，如圖4所示。令第i段曲線中某單元的形心點為P，過該點做垂直于纖維束中心線的平面，計算出該平面與纖維束中心線的交點，交點處的參數(shù)坐標為tp，該交點沿纖維束走向的切線向量P′i(tp)計算方程為：

P′i(tp)·(P-Pi(tp))=0

(14)

圖4 纖維方向求解

依據(jù)右手法則，確定單元材料坐標系與總體坐標系的變換方向和角度。本文采用ANSYS軟件對有限元模型進行建立和計算，在該軟件內(nèi)采用LOCAL命令為每個單元建立局部坐標系，該坐標系采用2個相對轉(zhuǎn)動角度θxy和θxz定義，如圖5所示。假設(shè)一個單元的纖維方向為L(x,y,z)，L(x,y,z)與圖中坐標系的z軸構(gòu)成一個平面，其法線方向為D(x,y,z)。

圖5 材料主方向轉(zhuǎn)角定義

圖5中x、y和z軸與全局笛卡爾坐標系的三軸平行，其中θ為y軸與向量D所形成的銳角，β為向量L與z軸所成銳角，2個相對轉(zhuǎn)角θxy和θxz的計算公式為：

(15)

(16)

2.2 擠壓力學(xué)模型的建立

為考慮纖維束間的擠壓扭曲影響，首先建立二維三軸編織預(yù)制件模型如圖6(a)所示。因預(yù)制件未與基質(zhì)黏接固化，無法構(gòu)造固化后預(yù)制件的周期單胞，對預(yù)制件進行預(yù)壓時，采用材料的真實邊界進行約束，一個中心單胞利用其領(lǐng)域內(nèi)8個單胞進行自然邊界的約束。在預(yù)制件有限元模型中纖維上下表面分別加入接觸單元，在上下2層分別利用平面進行一定的預(yù)壓縮，將預(yù)制件模型厚度壓縮至目標單胞模型厚度，從而得到纖維束呈擠壓接觸狀態(tài)下的幾何形態(tài)。開發(fā)周期單胞提取程序，該程序基于FORTRAN語言編寫，具有與ANSYS軟件兼容的進出接口，首先將變形后的單元節(jié)點信息導(dǎo)出，給出切取單胞的邊界盒坐標，在邊界面上程序可自動細分單元，完成周期單胞單元提取。為便于后期處理，提取前對不同方位的纖維束進行集合劃分，單元切割程序可保持單元的集合和單元坐標系的繼承能力，多個單元可能由一個父單元切割再分而來，這幾個單元就要保持與父單元同樣的集合和單元坐標系方位。切割出的增強相單胞網(wǎng)格模型，如圖6(b)所示。切割出的增強相單胞模型單元坐標系方位顯示如圖6(c)所示。

圖6 二維三軸編織預(yù)制件網(wǎng)格提取

2.3 體素網(wǎng)格模型的建立

應(yīng)用上述切割算法已經(jīng)獲取了變形后纖維束單胞模型，本文利用體素模型法建立變形后的單胞模型，在該模型區(qū)域內(nèi)填充正方體素單元。根據(jù)已提取的預(yù)制件單胞單元來對所填充的正方體素單元進行集合創(chuàng)建與單元坐標系的繼承。利用預(yù)制件單胞單元在每根纖維束表面生成表面單元，然后判斷體素單元與表面單元的相對位置，當體素單元的形心坐標在表面單元的包絡(luò)區(qū)域內(nèi)時，將該體素單元納入該集合內(nèi)，其他纖維束計算方法相似，最后生成的體素模型如圖7所示。

圖7 采用體素法建立的復(fù)合材料單胞網(wǎng)格模型

該模型采用全正方六面體網(wǎng)格建立，邊界非常容易滿足邊界節(jié)點一一對應(yīng)的關(guān)系。

3 周期性邊界條件

復(fù)合材料內(nèi)部細觀結(jié)構(gòu)周期重復(fù)，在外載荷作用下其應(yīng)力應(yīng)變場同樣滿足周期重復(fù)性，為降低計算量，選取一個代表單元進行力學(xué)行為預(yù)測，在單胞2個對應(yīng)的邊界面建立周期對應(yīng)的耦合約束方程[13]，約束表達式如下:

(i,j,k=x,y,z)

(17)

圖8 編織角和纖維體積含量對二維三軸編織復(fù)合材料橫向和軸向模量的影響

4 結(jié)果分析

以文獻[12]中所提供的實驗數(shù)據(jù)進行對比驗證，模型中所采用的材料組分力學(xué)性能參數(shù)如表1所示。為驗證體素模型的收斂性，不同編織角和纖維體積含量下分別建立了3組不同網(wǎng)格密度的體素模型，進行軸向模量的預(yù)測，并與實驗結(jié)果進行對比，結(jié)果如表2所示。隨著體素模型網(wǎng)格密度的增加，預(yù)測出的軸向彈性模量變化不大，認為得到收斂解。二維三軸編織復(fù)合材料的力學(xué)行為主要受編織角和纖維體積含量影響，在不同編織角和不同纖維體積含量下材料宏觀力學(xué)行為的變化規(guī)律如圖8所示。

表1 組分材料性能參數(shù)

從圖8(a)可見，隨著纖維體積含量的升高，二維三軸編織復(fù)合材料橫向，即坐標系的x軸方向的彈性模量Ex有所升高，在材料內(nèi)部主要靠纖維束承載，當預(yù)壓縮提高纖維含量時材料的彈性性能有所升高。

表2 數(shù)值預(yù)測結(jié)果與實驗對比

從圖8(b)可以看出，隨著纖維體積含量的升高，材料軸向即坐標系的y軸方向的彈性模量Ey有所升高，其升高原因與橫向模量相似。隨著編織角的增大，材料的橫向彈性模量Ex不斷升高，當編織角升高時，軸向纖維束以外的兩軸方向不斷變化，編織角越大，纖維束軸向的性能向單胞橫向貢獻越多。而材料的軸向彈性模量Ey與橫向彈性模量Ex變化規(guī)律正好相反。

從圖8(c)可發(fā)現(xiàn)，當提高纖維體積含量時，材料的縱向彈性性能Ez有所升高，但對材料模量的提高程度較橫向和軸向小，隨著編織角的增加，3個軸的纖維束交織重疊區(qū)域減小，這樣造成了在厚度方向上彈性模量逐漸降低，但是降低的幅度很小。

從圖8(d)可以看出，當預(yù)壓縮提高纖維含量時,材料的剪切模量Gxy逐漸增大，隨著編織角的增加，剪切模量Gxy逐漸增大而后逐漸減小，當編織角在40°左右時，剪切模量Gxy達到最大值。從圖8(e)可以看出，剪切模量Gxz隨著纖維體積含量和編織角的增加均呈現(xiàn)出逐漸增大的趨勢。從圖8(f)可以看出，剪切模量Gyz對纖維體積含量和編織角變化的敏感程度均較低。

從圖8(g)可以看出，隨著編織角的增加，泊松比μxy呈線性增加，然而改變纖維體積含量對泊松比μxy影響甚微。從圖8(h)發(fā)現(xiàn)：當提高纖維體積含量時,泊松比μxz逐漸減小，編織角較小時，編織角變化對泊松比影響顯著；隨著編織角的增加，泊松比近似呈線性降低，當編織角大于40°后，編織角變化對泊松比的影響程度逐漸降低。從圖8(i)可以看出：泊松比μyz隨著編織角的增加呈現(xiàn)先減小后增大的變化趨勢，并且在編織角較小時，纖維體積含量的變化對泊松比影響很大；當編織角小于40°，預(yù)壓縮提高纖維含量時,泊松比μyz有較大幅度的增加；當編織角大于40°時，纖維體積含量變化對泊松比的影響程度逐漸降低；當編織角達到50°時，纖維體積含量變化對泊松比的影響程度幾乎為零。

5 結(jié) 論

1) 采用空間周期三次樣條曲線表述二維三軸編織復(fù)合材料中纖維束路徑周期波動現(xiàn)象，并求解出任意一點處的單元材料主方向。

2) 考慮擠壓變形建立了預(yù)制件有限元模型，預(yù)壓縮后利用單元切割程序生成了預(yù)制件單胞模型?；陬A(yù)制件單胞網(wǎng)格，利用體素法生成了考慮纖維束間相互擠壓影響的二維三軸編織復(fù)合材料的參數(shù)化單胞模型。

3) 基于參數(shù)化的體素單胞模型，預(yù)測了二維三軸編織復(fù)合材料的彈性性能規(guī)律。該方法為二維三軸編織復(fù)合材料工藝參數(shù)優(yōu)化編織復(fù)合材料設(shè)計的軟件化程序化奠定了較好的基礎(chǔ)。