(浙江省中西醫(yī)結(jié)合醫(yī)院，杭州 310003)

0 引言

目前，隨著世界人口的增長(zhǎng)和社會(huì)經(jīng)濟(jì)的飛速發(fā)展，人類社會(huì)對(duì)能源的需求越來越大，利用能源的范圍也逐步擴(kuò)大。但現(xiàn)階段，世界能源利用還是以天然氣、石油和煤等化石燃料為主，這些化石燃料的能量轉(zhuǎn)換主要是通過熱力學(xué)過程來實(shí)現(xiàn)的。然而，由于熱力學(xué)過程受卡諾循環(huán)的限制，能量轉(zhuǎn)化效率低，能源浪費(fèi)現(xiàn)象嚴(yán)重，而且會(huì)引發(fā)大氣污染和溫室效應(yīng)等一系列環(huán)境問題，使人類的生存環(huán)境日趨惡劣。同時(shí)，化石燃料屬于不可再生資源，儲(chǔ)量有限。因此，開發(fā)高效環(huán)保的可再生能源已經(jīng)成為一項(xiàng)刻不容緩的工作，各類燃料電池的研發(fā)就是在這樣的背景下展開的。氫作為可持續(xù)能源之一，以其豐富的元素儲(chǔ)存和宇宙中所有常規(guī)燃料的最高能量含量而受到研究人員的極大關(guān)注。質(zhì)子交換膜燃料電池燃料通過氫氧化合作用，直接將化學(xué)能轉(zhuǎn)化為電能，具有較高的能量密度，較快的起動(dòng)時(shí)間(≤1 s)。其發(fā)電效率高、工作溫度低、可靠性高、無污染、使用靈活等優(yōu)點(diǎn)受到世人廣泛的青睞[1-4]。為了提高PEMFC系統(tǒng)的運(yùn)行性能及效率,延長(zhǎng)電池使用壽命,保證系統(tǒng)安全、可靠地運(yùn)行,需要有效的控制系統(tǒng)對(duì)其進(jìn)行控制。模型預(yù)測(cè)控制(MPC)算法采用了多步預(yù)測(cè)、滾動(dòng)優(yōu)化和反饋校正的控制策略，具有控制效果好、魯棒性強(qiáng)、對(duì)模型精確性要求低等優(yōu)點(diǎn)，保證了系統(tǒng)在整個(gè)狀態(tài)空間內(nèi)具有較好的運(yùn)動(dòng)品質(zhì)。連續(xù)模型比離散模型更接近實(shí)際，更緊湊；連續(xù)模型預(yù)測(cè)控制(CMPC)具有快速且不定期的采樣間隔，不像離散模型預(yù)測(cè)控制(DMPC)那樣具有固定而且嚴(yán)格的采樣率；由于控制信號(hào)何時(shí)達(dá)穩(wěn)態(tài)很難精確確定，CMPC沒有精確的控制域參數(shù)；CMPC對(duì)于擾動(dòng)有更好的閉環(huán)響應(yīng)；總之，CMPC可以在連續(xù)時(shí)間下更有效的實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)地控制并在快速采樣率下提高系統(tǒng)的控制性能[1-10]。

1 質(zhì)子交換膜燃料電池(PEMFC)動(dòng)態(tài)模型介紹

質(zhì)子交換膜燃料電池的反應(yīng)是通過氧化還原反應(yīng)實(shí)現(xiàn)的：在催化劑的作用下，陽極的氫分子解離為質(zhì)子和電子,質(zhì)子通過質(zhì)子交換膜到達(dá)陽極，而電子則通過外電路到達(dá)陰極，在陰極，氧氣與質(zhì)子以及電子發(fā)生反應(yīng)，生成水并產(chǎn)生熱量。PEMFC反應(yīng)式如下[11-12]：

陽極：

H2→2H++2e-

(1)

陰極：

(2)

總：

(3)

首先對(duì)模型做出如下假設(shè)：假設(shè)所有氣體均為理想氣體，并遵守一切理想氣體的規(guī)律；假設(shè)所有氣體的相對(duì)濕度為100%；假設(shè)電池的各個(gè)部分的溫度完全一致；質(zhì)子交換膜是完全加濕的并具有理想的質(zhì)子傳導(dǎo)性能。

鑒于質(zhì)子交換膜燃料電池的工作原理，根據(jù)文獻(xiàn)[5-6]，可以得到其數(shù)學(xué)模型：

(4)

Vact=0.9514-3.12.10-3T-7.4.10-5Tln(CO2)+

1.87.10-4Tln(i)

(5)

(6)

Vohm=I(RM+RC)

(7)

(8)

(9)

(10)

其中，ΔG(J/mol)為吉布斯自由能(237.16 KJ/mol)；R為普適氣體常數(shù)(8.314 J/K.mol)；F為法拉第常量(96.487C)；ΔS為熵變(164.025 J/mol);PH2與PO2分別為H2與O2的壓力。T為環(huán)境溫度，Tref為參考溫度(298.15 K)。Vfc為活化極化電壓，CO2為有效氧濃度，i為電流密度，Vohm為歐姆極化過電壓，Vcon為濃度極化過電壓，ρM為質(zhì)子交換膜對(duì)電子流的電阻率(Ω.cm)；RM為質(zhì)子交換膜的等效阻抗，RC為阻礙質(zhì)子通過質(zhì)子交換膜的等效阻抗，l為質(zhì)子交換膜的厚度，B(V)是由質(zhì)子交換膜燃料電池本身決定的輔助系數(shù)。

單個(gè)燃料電池的輸出電壓以及輸出功率可表示如下:

Vfc=Enernst-Vact-Vohmic-Vcon

(11)

Pfc=Vfci

(12)

圖2給出的是一個(gè)質(zhì)子交換膜燃料電池的動(dòng)態(tài)模型。其中qo2和qH2分別為輸入的氧氣摩爾流量和氫氣摩爾流量,KO2和KH2分別為氧氣和氫氣的摩爾系數(shù)。

圖2 質(zhì)子交換膜燃料電池的動(dòng)態(tài)模型

2 控制器的設(shè)計(jì)

針對(duì)質(zhì)子交換膜燃料電池反映過程特性，基于模型的傳統(tǒng)控制技術(shù)面臨極大的困難，智能控制發(fā)揮了一定的作用。為了實(shí)現(xiàn)質(zhì)子交換膜燃料電池穩(wěn)定的輸出電壓及功率，必須在其反映過程中實(shí)施先進(jìn)的過程控制策略。預(yù)測(cè)控制是一種基于模型的控制方法，其具有對(duì)模型要求低、在線計(jì)算方便、種植質(zhì)量好等特點(diǎn)。預(yù)測(cè)模型的功能是根據(jù)對(duì)象的歷史信息和未來輸入預(yù)測(cè)其未來輸出。狀態(tài)方程、傳遞函數(shù)以及階躍響應(yīng)、脈沖響應(yīng)這類非參數(shù)模型，都可以作為預(yù)測(cè)模型使用。在過去的幾十年中，模型預(yù)測(cè)控制在學(xué)術(shù)及工業(yè)領(lǐng)域都得到了廣泛的重視，由于連續(xù)的模型預(yù)測(cè)控制(CMPC)在技術(shù)上更難實(shí)現(xiàn),絕大多數(shù)的MPC技術(shù)都集中在離散的模型預(yù)測(cè)控制(DMPC)上[13]。類似DMPC的處理方式，本文通過用拉蓋爾函數(shù)辨識(shí)控制變量，從而使CMPC能夠順利的應(yīng)用于實(shí)踐中。

拉蓋爾函數(shù)如下[14-16]：

?

(13)

可進(jìn)一步得到：

L(t)=eAptL(0)

(14)

其中：L(t)=[l1(t)l2(t) …lN(t)]T，p為拉蓋爾函數(shù)的比例因子：

(15)

(16)

其中:ci為脈沖響應(yīng)系數(shù)，η=[c1c2…cN]T為系數(shù)向量。

類似DMPC的設(shè)計(jì)原則，CMPC也是建立在縮減域原則的基礎(chǔ)之上的，對(duì)于一個(gè)連續(xù)的系統(tǒng)：

(17)

(18)

在ti時(shí)刻預(yù)測(cè)ti+τ時(shí)刻系統(tǒng)的狀態(tài)以及輸出可表示為：

(19)

通過求得最優(yōu)的控制變量使得性能指標(biāo)：

(20)

通過以上算法，CMPC可以順利地施加到被控系統(tǒng)上，但是注意到其預(yù)測(cè)的系統(tǒng)矩陣含有正實(shí)部的特征根并帶有積分環(huán)節(jié)，對(duì)于具有強(qiáng)耦合、非線性比較強(qiáng)以及比較復(fù)雜的系統(tǒng)而言，TP選取的過小，系統(tǒng)很難達(dá)穩(wěn)態(tài)；TP選取的過大，系統(tǒng)的海瑟矩陣過大(海瑟矩陣表明一個(gè)系統(tǒng)的健康性)，易造成數(shù)值解病態(tài)，參照DMPC的修正策略，通過引入指數(shù)權(quán)值函數(shù)e-αt進(jìn)行修正[13-16]。

定義：

xα(ti+t|ti) =e-ατx(ti+t|ti)

(21)

(22)

聯(lián)合以上幾式可以進(jìn)一步得到：

xα(ti+τ|ti) =eAατx(ti) +

(23)

(24)

將其帶入性能指標(biāo)的表達(dá)式中便可得到新的性能指標(biāo)。

部分程序?qū)崿F(xiàn)如下:

function [Omega,Psi]=cmpc(A,B,p,N,Tp,Q,R);

[n,n_in]= size(B);

tau_del=0.001/max(p);

Tpm=max(Tp);

tau=0:tau_del:Tpm;

Np=length(tau);

N_pa=sum(N);

Omega=zeros(N_pa,N_pa);

Psi=zeros(N_pa,n);

S_in=zeros(n,N_pa);

R_L=eye(N_pa,N_pa);

kk=1;

fori=1:n_in

R_L(kk:kk-1+N(i),kk:kk-1+N(i))=R(i,i)*R_L(kk:kk-1+N(i),kk:kk-1+N(i));

kk=kk+N(i);

end

[Al,L0]=lagc(p(1),N(1));

Eae=expm(A*tau_del);

Eap=expm(Al*tau_del);

L=Eap*L0;

Y=-B(:,1)*L'+Eae*B(:,1)*L0';

X=Iint(A,p(1),Y);

S_in(:,1:N(1))=X;

In_s=1;

forjj=2:n_in;

[Al,L0]=lagc(p(jj),N(jj));

Eap=expm(Al*tau_del);

L=Eap*L0;

Y=-B(:,jj)*L'+Eae*B(:,jj)*L0';

X=Iint(A,p(jj),Y);

In_s=N(jj-1)+In_s;

In_e=In_s+N(jj)-1;

S_in(:,In_s:In_e)=X;

end

S_sum=S_in;

fori=2:Np-1;

kk=1;

[Al,L0]=lagc(p(kk),N(kk));

Eap=expm(Al*tau_del);

S_sum(:,1:N(kk))=Eae*S_sum(:,1:N(kk))+S_in(:,1:N(kk))*(Eap^(i-1))';

In_s=1;

for kk=2:n_in;

[Al,L0]=lagc(p(kk),N(kk));

Eap=expm(Al*tau_del);

In_s=N(kk-1)+In_s;

In_e=In_s+N(kk)-1;

S_sum(:,In_s:In_e)=Eae*S_sum(:,In_s:In_e)+S_in(:,In_s:In_e)*(Eap^(i-1))';

end

phi=S_sum;

Omega=Omega+phi'*Q*phi;

Psi=Psi+phi'*Q*Eae^i;

end

Omega=Omega*tau_del+R_L;

Psi=Psi*tau_del;

3 仿真結(jié)果及分析

為驗(yàn)證所設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)有效性,在Matlab/Simulink仿真平臺(tái)上對(duì)3種控制策略下的PEMFC系統(tǒng)進(jìn)行了仿真試驗(yàn)。假定氧氣是充足的，選取氫氣的摩爾流量作為控制變量。模型預(yù)測(cè)控制系統(tǒng)通過調(diào)節(jié)氫氣摩爾流量來實(shí)現(xiàn)PEMFC電池輸出功率的恒定。為了測(cè)試氫氣摩爾流量變化的及時(shí)性以及有效性，PEMFC輸出功率在0～18S設(shè)定值為0.5 W，18～36 S設(shè)定值為0.6 W，進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。DMPC主要參數(shù)如下：NP=20，Nc=2，u∈[-0.1,0.2],Δu∈[-0.2,0.2]輸出權(quán)值矩陣為單位矩陣，控制權(quán)值矩陣為0.3倍的單位矩陣；CMPC及ICMPC主要控制參數(shù)如下：p=0.85,N=80,TP=200,u∈[-1,1],Δu∈[-0.5,0.5]，α=10.1，權(quán)值矩陣R=0.4倍的單位矩陣,三中控制策略下的輸出功率、控制變量(氫氣流量)曲線以及控制變量的增量曲線變化如圖3～5所示。其中，DMPC表示傳統(tǒng)離散模型預(yù)測(cè)控制；CMPC表示連續(xù)模型預(yù)測(cè)控制；ICMPC表示指數(shù)權(quán)值函數(shù)修正之后的連續(xù)模型預(yù)測(cè)控制。

圖3 3種控制策略下輸出功率變化曲線

圖4 3種控制策略下控制變量曲線

圖5 3種控制策略下控制變量增量曲線

由仿真曲線可以得知,3種控制策略都可以實(shí)現(xiàn)對(duì)PEMFC的有效控制，3種控制策略下質(zhì)子交換膜燃料電池的輸出功率達(dá)到設(shè)定值的時(shí)間基本一致。DMPC雖然有較好的快速性但是卻有相對(duì)較大的超調(diào)，DMPC控制策略下氫氣流量變化幅度較大，CMPC以及修正之后的CMPC算法嵌入了積分環(huán)節(jié)，雖然犧牲了一定的快速性，但是其魯棒性更強(qiáng)，對(duì)于更惡劣的環(huán)境能起到跟好的調(diào)控作用，而且DMPC是建立在離散的采樣點(diǎn)之上而CMPC建立在實(shí)際的連續(xù)時(shí)間基礎(chǔ)上，CMPC更具有加現(xiàn)實(shí)的意義。

4 結(jié)論

質(zhì)子交換膜燃料電池因其具有能量轉(zhuǎn)化效率高、效率隨輸出變化特性好、無污染、構(gòu)造簡(jiǎn)單、便于維護(hù)、運(yùn)行噪聲低、可靠性高等一系列的優(yōu)點(diǎn)，使其得到了廣泛的研究與應(yīng)用。在過去的幾十年中，模型預(yù)測(cè)控制在學(xué)術(shù)及工業(yè)領(lǐng)域都得到了廣泛的重視，由于連續(xù)的模型預(yù)測(cè)控制(CMPC)在技術(shù)上更難實(shí)現(xiàn),絕大多數(shù)的MPC技術(shù)都集中在離散的模型預(yù)測(cè)控制(DMPC)上。本文通過對(duì)質(zhì)子交換膜燃料電池施加CMPC控制器,并進(jìn)行了簡(jiǎn)單的修正,不僅使系統(tǒng)具有較好的響應(yīng)特性，而且還具有良好的魯棒性和快速性,得到了較理想的控制效果，實(shí)現(xiàn)了質(zhì)子交換膜燃料電池輸出功率的恒定。