喬宇杰，張鈺翔，周潤中，唐明君

(四川師范大學(xué) 物理與電子工程學(xué)院,四川 成都 610101)

涂層流動是由于在與慣性、黏度、重力、表面張力等因素相關(guān)的外力作用下，在固體表面形成液體薄膜的一種流體流動[1]，在黏性涂層流體運(yùn)動中，總是伴隨著與內(nèi)摩擦及傳熱有關(guān)的能量耗損過程，因此其運(yùn)動不可避免地將和阻力、衰減、擴(kuò)散等現(xiàn)象緊密地聯(lián)系在一起[2-3]，在許多工業(yè)過程中發(fā)揮著重要作用，如造紙工業(yè)、滾筒涂布業(yè)、液體除氣器、渦輪軸的冷卻等[4]. 因此，許多研究小組都致力于對黏性液體在水平旋轉(zhuǎn)圓柱筒內(nèi)的流動行為進(jìn)行研究[5-11]. 早期研究主要集中于對接近剛性旋轉(zhuǎn)時(shí)的流體行為的研究[5-6]；后來，有些研究團(tuán)隊(duì)又對低轉(zhuǎn)速下穩(wěn)定的二維涂層流動行為進(jìn)行實(shí)驗(yàn)探究和數(shù)值模擬[7-10]. S. T. Thoroddsen等對水平旋轉(zhuǎn)圓柱筒中部分填充黏性流體的流體行為進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究，較為全面地描述了吊墜、鯊魚齒、剛性旋轉(zhuǎn)等實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象[1]；A. E. Hosoi等研究了水平圓柱筒繞縱軸旋轉(zhuǎn)時(shí)黏性流體自由表面的軸向不穩(wěn)定性，導(dǎo)出了自由表面演化的簡化模型方程，并對此方程進(jìn)行了數(shù)值求解[7]；T. B. Benjamin等對高黏性液體部分填充時(shí)，以恒定角速度繞水平軸旋轉(zhuǎn)的圓柱筒內(nèi)液體可能發(fā)生的各種穩(wěn)態(tài)和非穩(wěn)態(tài)運(yùn)動進(jìn)行了研究[11].

本文采用自主研制的實(shí)驗(yàn)裝置對水平旋轉(zhuǎn)圓柱筒內(nèi)部分填充黏性液體的流體行為進(jìn)行了較為系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)研究. 研究內(nèi)容包括在不同參量條件下，水平圓柱筒中的黏性液體從靜止水池過渡到吊墜、吊墜消失、正弦波、鯊魚齒波、波形晃動不穩(wěn)、邊緣流和剛性旋轉(zhuǎn)等各種豐富的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象及動力學(xué)行為，并對出現(xiàn)這些實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象做了初步的定性解釋及定量研究.

1 理論基礎(chǔ)

圓柱筒旋轉(zhuǎn)時(shí)，由于黏性力的作用，流體會隨著圓柱筒內(nèi)壁一起運(yùn)動，當(dāng)運(yùn)動到圓柱筒的側(cè)壁上時(shí)，重力的作用增強(qiáng)，流體會沿側(cè)壁向下運(yùn)動. 在黏性力、重力、表面張力和慣性力的共同作用下，流體的自由表面會表現(xiàn)出不穩(wěn)定性，因此將出現(xiàn)各種不尋常的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象.

假設(shè)黏性流體在水平圓筒中，其溫度與體積不隨時(shí)間的改變而改變，根據(jù)S T Thoroddsen的描述可知[1]：實(shí)驗(yàn)中涉及的物理量有：圓筒的半徑R與長度l、黏性流體的體積Vf、流體密度ρ、流體動力黏度μ、流體表面張力系數(shù)σ、圓柱筒的轉(zhuǎn)速ω及重力加速度g，流體在圓柱筒中的行為可以用流體的自由表面到圓柱筒內(nèi)壁的高度h來描述. 根據(jù)量綱分析，選取流體黏度、表面張力系數(shù)、圓柱筒的半徑以及重力加速度為獨(dú)立量綱. 根據(jù)π定理，可以得到以下5個無量綱參量[1]：

(1)

2 實(shí)驗(yàn)方法

2.1 實(shí)驗(yàn)器材

有機(jī)玻璃圓柱筒(長40 cm，內(nèi)直徑8 cm，外直徑9 cm)，可調(diào)轉(zhuǎn)速電機(jī)，同步皮帶，軸承(內(nèi)徑9 cm)，RC43數(shù)顯轉(zhuǎn)速表，甘油，剛果紅染劑.

2.2 實(shí)驗(yàn)裝置

如圖1所示，圓柱筒兩端分別嵌套一軸承，用臺虎鉗夾持軸承外圈可固定實(shí)驗(yàn)裝置. 圓柱筒右端粘連1圈同步皮帶，用環(huán)形同步皮帶與電機(jī)的皮帶輪相連，通過皮帶驅(qū)動可使圓柱筒獲得穩(wěn)定的轉(zhuǎn)速，調(diào)節(jié)電機(jī)的轉(zhuǎn)速控制旋鈕可以改變電機(jī)轉(zhuǎn)速. 圓柱筒轉(zhuǎn)速的測量是由同側(cè)的霍爾傳感器測轉(zhuǎn)速裝置完成，該裝置由RC43數(shù)顯轉(zhuǎn)速表、霍爾傳感器[12]、圓形磁鐵(直徑1 cm)和直流電源組成. 將RC43數(shù)顯轉(zhuǎn)速表、霍爾傳感器和12 V直流電源相連接，磁鐵粘連在圓柱筒右側(cè)面，霍爾傳感器放置在距離側(cè)面約1 cm位置處，當(dāng)圓柱筒轉(zhuǎn)動時(shí)，磁鐵就會經(jīng)過傳感器的探測位置，測量出圓柱筒的轉(zhuǎn)速. 圓柱筒左端側(cè)面圓心處有直徑為6 mm的小孔，用于液體的填充與抽取. 填充液體為甘油與水的混合溶液，改變配比可得不同黏度的甘油水溶液，并使用剛果紅染劑將液體染色，便于實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象的觀察.

(a)正視圖 (b)俯視圖圖1 實(shí)驗(yàn)裝置圖

2.3 實(shí)驗(yàn)步驟

劉竹琴等利用落球法測定了不同體積分?jǐn)?shù)下甘油的黏度，并根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果給出了甘油的黏度與體積分?jǐn)?shù)(甘油與水的體積比)的關(guān)系曲線及擬合方程[13]. 為避免溫度對實(shí)驗(yàn)的影響[14]，控制實(shí)驗(yàn)室溫度為23 ℃，測得甘油密度1 261.4 kg/m3，水的密度998.2 kg/m3，由文獻(xiàn)[13]中實(shí)驗(yàn)所得的擬合方程，可知不同配比的甘油水溶液對應(yīng)的黏度，同時(shí)本文使用FB326型表面張力系數(shù)測定儀對不同配比的甘油水溶液的表面張力系數(shù)進(jìn)行測量，其結(jié)果如表1所示[15-16].

表1 甘油-水混合溶液參量

在圓柱筒中注入不同黏度和不同填充體積分?jǐn)?shù)的黏性液體：根據(jù)甘油水溶液的密度、密度與體積的關(guān)系(m=ρVf)及圓柱筒的幾何參量，可以計(jì)算出某填充體積分?jǐn)?shù)時(shí)所需的溶液質(zhì)量. 在實(shí)驗(yàn)中，采用固定參量法，首先固定液體黏度，改變圓柱筒轉(zhuǎn)速與填充體積分?jǐn)?shù)，然后固定填充體積分?jǐn)?shù)，改變圓柱筒轉(zhuǎn)速與黏度進(jìn)行實(shí)驗(yàn)探究. 觀察隨著參量的改變，水平旋轉(zhuǎn)圓柱筒內(nèi)的涂層流動的變化情況.

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

3.1 實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象

如圖2所示，在零轉(zhuǎn)速下，液體靜止，位于圓柱筒底部的靜止水池. 當(dāng)圓柱筒開始旋轉(zhuǎn)，假設(shè)為順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，液體將沿順時(shí)針方向從底部水池后端中被帶出，直至涂覆在整個圓柱的內(nèi)表面，再回到水池的前端，在底部形成再循環(huán)區(qū)域[1].

隨著轉(zhuǎn)速的增加，從水池中拉出的水層變厚，當(dāng)轉(zhuǎn)速達(dá)某一值時(shí)，涂層變得不穩(wěn)定，由于重力作用，將在上升一側(cè)形成落波，落波開始是平行于軸的直線狀，但隨著轉(zhuǎn)速的增大，它將分解成若干單獨(dú)的近似拋物線形狀的波，將其稱作“吊墜”[如圖3(a)][1]，在一定的速度范圍內(nèi)，該現(xiàn)象是不穩(wěn)定的，即“吊墜”總是在不斷地生成與消失，且具有隨機(jī)性. 當(dāng)轉(zhuǎn)速繼續(xù)增大，在某一很小的轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)，這種“隨機(jī)吊墜”的現(xiàn)象消失，繼而出現(xiàn)“固定吊墜”的現(xiàn)象[見圖3(b)]，即“吊墜”孤立且穩(wěn)定地出現(xiàn)在上升一側(cè)的側(cè)壁上，當(dāng)角速度繼續(xù)增大時(shí)，該現(xiàn)象消失，此后，即使繼續(xù)增大轉(zhuǎn)速，側(cè)壁上都不會再出現(xiàn)“吊墜”.

圖2 再循環(huán)區(qū)域示意圖

轉(zhuǎn)速從零開始緩慢增加時(shí)，在圓柱筒底部會形成再循環(huán)區(qū)域，隨著轉(zhuǎn)速的增大，該再循環(huán)區(qū)域的前端(即液體進(jìn)入再循環(huán)區(qū)域的位置)也會出現(xiàn)某些不尋常的現(xiàn)象，其前端不再是平行于軸的直線狀，而是會出現(xiàn)波狀[見圖3(c)]，這些波的振幅會隨著角速度的增大而增大，當(dāng)轉(zhuǎn)速增加到一定值時(shí)，該現(xiàn)象會變得不穩(wěn)定[見圖3(e)]，波形會出現(xiàn)晃動，并隨著轉(zhuǎn)速的增大而晃動得越劇烈，在更高的轉(zhuǎn)速下，液體均勻地包覆著圓柱體的內(nèi)壁[見圖3(h)]，并與之一起剛性旋轉(zhuǎn).

以黏度為64.80 mPa·s、填充分?jǐn)?shù)(液體體積與圓柱筒容積之比)6.5%為例，討論改變圓柱筒轉(zhuǎn)速時(shí)出現(xiàn)的各種實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象. 當(dāng)轉(zhuǎn)速為93 r/min時(shí)，在上升一側(cè)(見圖2)的側(cè)壁上出現(xiàn) “吊墜”，此時(shí)大部分的液體在底部的再循環(huán)區(qū)域[見圖3(a)]. 此時(shí)是從正面拍攝，左端往右端看，圓柱筒順時(shí)針轉(zhuǎn)動，即后側(cè)為液體上升一側(cè)，所以拍攝的現(xiàn)象出現(xiàn)在后側(cè)壁上. 當(dāng)轉(zhuǎn)速增大為96 r/min時(shí)，出現(xiàn)“固定吊墜”，即吊墜穩(wěn)定的出現(xiàn)在某位置，直至轉(zhuǎn)速增加才消失[見圖3(b)]. 當(dāng)轉(zhuǎn)速增大為157 r/min時(shí)，在再循環(huán)區(qū)域的前端會形成正弦形狀的波紋[見圖3(c)]，且隨著轉(zhuǎn)速的增大，波長會變大，波數(shù)會減少. 此時(shí)是從上面拍攝，左端往右端看，圓柱筒逆時(shí)針轉(zhuǎn)動，拍攝的現(xiàn)象出現(xiàn)在圓柱體的底部，出現(xiàn)波紋的一端，即再循環(huán)區(qū)域的前端. 當(dāng)轉(zhuǎn)速增大為182 r/min時(shí)，前端的正弦波形變得尖銳，稱之為“鯊魚齒”[見圖3(d)][17]，即正弦波出現(xiàn)在157～182 r/min轉(zhuǎn)速范圍內(nèi). 當(dāng)轉(zhuǎn)速繼續(xù)增大到235 r/min時(shí)[見圖3(e)]，前端的鯊魚齒波形開始左右晃動，不再穩(wěn)定，且隨著轉(zhuǎn)速的增大晃動愈劇烈，即穩(wěn)定的鯊魚齒出現(xiàn)在182～235 r/min轉(zhuǎn)速范圍內(nèi). 隨著轉(zhuǎn)速的增大，波形越來越不穩(wěn)定，直到轉(zhuǎn)速為278 r/min時(shí)，開始有部分區(qū)域(指一定寬度的縱向圓柱面)的圓柱筒被均勻涂覆，看起來就像是前端的波狀的液體從后端被拉上去，涂覆在圓柱筒上，此即進(jìn)入“邊緣流模式”[見圖3(f)]. 隨著轉(zhuǎn)速的繼續(xù)增大，圓柱筒越來越多的區(qū)域被均勻涂覆，在圓柱筒內(nèi)壁上會出現(xiàn)環(huán)狀圖案[見圖3(g)]，直到轉(zhuǎn)速到達(dá)356 r/min時(shí)，側(cè)壁全部被均勻涂覆[見圖3(h)]， 此時(shí)筒內(nèi)的液體與圓柱筒不再發(fā)生相對流動，稱為“剛性旋轉(zhuǎn)”. 轉(zhuǎn)速大于356 r/min后，液體將一直保持剛性旋轉(zhuǎn).

(a)隨機(jī)吊墜

(b)固定吊墜

(c)正弦波形

(d)鯊魚齒波形

(f)邊緣流模式1

(g)邊緣流模式2

(h)剛性旋轉(zhuǎn)圖3 不同轉(zhuǎn)速下圓柱筒內(nèi)壁圖案

3.2 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理

選擇質(zhì)量比為2∶1、黏度μ=58.66 mPa·s的甘油水溶液，改變填充體積分?jǐn)?shù)η，以0.5%為梯度，從 3.5%增加到9.0%，如表2所示，其中m為填充質(zhì)量，Vf為填充體積，η為填充體積分?jǐn)?shù)，h0為平均液膜厚度. 各種實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象的臨界轉(zhuǎn)速將發(fā)生變化，如圖4所示，得到了改變體積分?jǐn)?shù)和臨界轉(zhuǎn)速的實(shí)驗(yàn)相圖. 隨著填充體積分?jǐn)?shù)的增加，出現(xiàn)吊墜、吊墜消失、正弦波、鯊魚齒波、邊緣流和剛性旋轉(zhuǎn)等各種實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象所對應(yīng)的臨界轉(zhuǎn)速.

從圖4中可以看出，在正弦波與晃動不穩(wěn)定過渡區(qū)域之前，隨著體積分?jǐn)?shù)的增大，出現(xiàn)吊墜和吊墜消失的臨界轉(zhuǎn)速略有減小，即在水平圓柱筒低速轉(zhuǎn)動時(shí)，隨著填充體積分?jǐn)?shù)的改變，臨界轉(zhuǎn)速的變化不夠敏感. 這表明在低速旋轉(zhuǎn)時(shí)，在圓柱筒內(nèi)加入的沒有滑移的液體圖層被拉上來出現(xiàn)圖案時(shí)，液體自由表面保持節(jié)奏穩(wěn)定的狀態(tài)，表示阻力和表面張力有助于建立與重力的平衡，在這種情況下，旋轉(zhuǎn)效應(yīng)可以不予考慮[4]. 反之，出現(xiàn)正弦波、出現(xiàn)邊緣流和剛性旋轉(zhuǎn)的臨界轉(zhuǎn)速，隨著填充體積分?jǐn)?shù)的增大而明顯升高. 剛性旋轉(zhuǎn)臨界轉(zhuǎn)速的增大是因?yàn)橐后w越多，需要使其涂覆在圓筒內(nèi)表面所需的離心力就越大[1].

表2 實(shí)驗(yàn)中各參量

圖4 黏度為58.66 mPa·s時(shí)轉(zhuǎn)速與體積分?jǐn)?shù)的實(shí)驗(yàn)相圖

對于鯊魚齒現(xiàn)象，其流動區(qū)域?yàn)殚]區(qū)域，也就是說，如果參量沿著這個區(qū)域以外的一條曲線變化，流體可能不會出現(xiàn)鯊魚齒模式而直接從前端波形過度至邊緣流模式區(qū)域. 由文獻(xiàn)[1]可知，前端波形模式和鯊魚齒模式都遵循相同的機(jī)理，它們的區(qū)別只是波形振幅的不同. 本文的實(shí)驗(yàn)結(jié)果與Hosoi A.E.等對鯊魚齒的計(jì)算模擬結(jié)果一致[7].

當(dāng)轉(zhuǎn)速增大到一定程度時(shí)，流體都會與圓柱筒一起剛性旋轉(zhuǎn)，且這個臨界轉(zhuǎn)速隨填充體積分?jǐn)?shù)的增大而增大. 這是因?yàn)閯傂孕D(zhuǎn)模式是重力與黏性力、慣性力平衡的結(jié)果[1]. 當(dāng)體積分?jǐn)?shù)增大時(shí)，液體的重力顯著增大，而黏性力的變化不明顯，此時(shí)主要是慣性力與重力的平衡，而慣性力與轉(zhuǎn)速呈正相關(guān).

圖5 臨界雷諾數(shù)隨填充體積分?jǐn)?shù)的變化

選擇不同黏度的甘油水溶液，固定每次實(shí)驗(yàn)時(shí)的填充體積分?jǐn)?shù)η=6.5%，可以得到各種現(xiàn)象的臨界轉(zhuǎn)速隨黏度增加時(shí)發(fā)生的變化，結(jié)果如圖6所示.

圖6中，橫坐標(biāo)為液體黏度，縱坐標(biāo)為圓柱筒轉(zhuǎn)速，不同黏度的液體的質(zhì)量比m甘油:m水分別為表1中2∶1,3∶1,4∶1,5∶1,6∶1的甘油水溶液，即黏度大小分別為58.66,64.80,70.35,85.00,101.84 mPa·s. 實(shí)驗(yàn)測量了隨著轉(zhuǎn)速的改變，各種黏度的液體出現(xiàn)正弦波、鯊魚齒波、邊緣流和剛性旋轉(zhuǎn)等實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象的臨界轉(zhuǎn)速. 從圖6中可以看出，隨著液體黏度的增加，各種現(xiàn)象出現(xiàn)的臨界轉(zhuǎn)速都在減小. 從圖6中可以發(fā)現(xiàn)，鯊魚齒區(qū)域與邊緣流模式區(qū)域之間的波形晃動不穩(wěn)區(qū)域隨著黏度的增大明顯減小，說明在體積分?jǐn)?shù)不變的情況下，液體的黏度越大，鯊魚齒波形越穩(wěn)定，所以波形晃動不穩(wěn)出現(xiàn)的轉(zhuǎn)速會范圍減小. 而當(dāng)黏度增大時(shí)，流體所受的黏性力顯著增加而重力幾乎不變，因此達(dá)到平衡時(shí)的慣性力就越小，出現(xiàn)剛性旋轉(zhuǎn)的臨界轉(zhuǎn)速就越小.

圖6 轉(zhuǎn)速與黏度的實(shí)驗(yàn)相圖

4 結(jié)束語

搭建了穩(wěn)定的實(shí)驗(yàn)裝置，測試了在不同參量條件下，水平圓柱筒中的黏性流體的動力學(xué)行為. 通過改變實(shí)驗(yàn)參量，發(fā)現(xiàn)各種明顯的行為模式都有明確的參量區(qū)域. 按照非線性動力學(xué)的說法，即存在不同的吸引子，且每個吸引子有明確的吸引域[18]. 根據(jù)實(shí)驗(yàn)，得到了當(dāng)液體黏度固定時(shí)，改變轉(zhuǎn)筒轉(zhuǎn)速與填充體積分?jǐn)?shù)以及固定填充體積分?jǐn)?shù)時(shí)，改變轉(zhuǎn)筒轉(zhuǎn)速與液體黏度，出現(xiàn)吊墜、吊墜消失、正弦波、鯊魚齒波、邊緣流和剛性旋轉(zhuǎn)圖案現(xiàn)象的實(shí)驗(yàn)相圖，并給出定性解釋，同時(shí)計(jì)算了吊墜、邊緣流、剛性旋轉(zhuǎn)的臨界雷諾數(shù)隨體積分?jǐn)?shù)的變化關(guān)系，結(jié)果表明：吊墜的出現(xiàn)存在與填充體積分?jǐn)?shù)無關(guān)的臨界雷諾數(shù)，而邊緣流與剛性旋轉(zhuǎn)出現(xiàn)的臨界雷諾數(shù)則與填充體積分?jǐn)?shù)成線性正相關(guān). 這對水平旋轉(zhuǎn)圓柱筒內(nèi)的黏性液體的流體動力學(xué)研究具有一定的參考價(jià)值.

致謝:四川師范大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中心為本課題提供的實(shí)驗(yàn)場地與資金支持；四川師范大學(xué)物理與電子工程學(xué)院王濤老師、段滿益老師、張?jiān)S老師為本課題的指導(dǎo)和提出的寶貴建議，在此一并表示感謝！