張帥， 郭楊， 王仕成， 王少博

(火箭軍工程大學(xué) 精確制導(dǎo)與仿真實(shí)驗(yàn)室， 陜西 西安 710025)

0 引言

近年來(lái)，隨著飛行器動(dòng)力系統(tǒng)的不斷改善以及攔截任務(wù)的多樣化，單一飛行器相對(duì)于機(jī)動(dòng)目標(biāo)已不再具有絕對(duì)的攔截優(yōu)勢(shì)，而多飛行器協(xié)同作戰(zhàn)理念越來(lái)越受到重視。在網(wǎng)絡(luò)化、體系化作戰(zhàn)背景下，通過(guò)信息交互和共享，多飛行器協(xié)同能夠有效增強(qiáng)探測(cè)和制導(dǎo)效能。因此，多飛行器協(xié)同攔截方式對(duì)于提高攔截成功率具有重要的現(xiàn)實(shí)意義[1]。

相比于單一飛行器，多飛行器協(xié)同探測(cè)能夠更有效地獲取目標(biāo)相對(duì)運(yùn)動(dòng)信息，為制導(dǎo)控制系統(tǒng)提供更精確的量測(cè)數(shù)據(jù)。近年來(lái)，學(xué)者們基于多傳感器信息融合和濾波方法對(duì)協(xié)同探測(cè)中的數(shù)據(jù)融合問(wèn)題進(jìn)行了廣泛研究。文獻(xiàn)[2]針對(duì)單架預(yù)警雷達(dá)存在探測(cè)盲區(qū)問(wèn)題，基于累積發(fā)現(xiàn)概率準(zhǔn)則提出了多架機(jī)協(xié)同探測(cè)航線優(yōu)化方案，擴(kuò)大了探測(cè)的覆蓋區(qū)并提高了探測(cè)精度；文獻(xiàn)[3]針對(duì)多傳感器對(duì)多目標(biāo)進(jìn)行協(xié)同探測(cè)和跟蹤問(wèn)題，提出了一種改進(jìn)無(wú)跡卡爾曼濾波算法，提高了對(duì)多個(gè)目標(biāo)的跟蹤精度；文獻(xiàn)[4]針對(duì)多架預(yù)警機(jī)對(duì)目標(biāo)區(qū)域協(xié)同探測(cè)問(wèn)題，基于多源信息融合技術(shù)提出了兩種協(xié)同方案，通過(guò)實(shí)時(shí)估算兩種方案探測(cè)覆蓋區(qū)優(yōu)化了飛行航跡；文獻(xiàn)[5]針對(duì)靜止目標(biāo)，基于最優(yōu)控制理論提出了一種增強(qiáng)協(xié)同探測(cè)效能的最優(yōu)制導(dǎo)律，但該方法只定性地描述了探測(cè)效能與制導(dǎo)參數(shù)的關(guān)系，不適用于攔截機(jī)動(dòng)目標(biāo)。從公開(kāi)發(fā)表的文獻(xiàn)看，目前研究大多是將探測(cè)和制導(dǎo)環(huán)節(jié)分開(kāi)考慮，對(duì)于協(xié)同探測(cè)的研究也主要側(cè)重于基于狀態(tài)估計(jì)和濾波算法的多源信息融合[6-7]。

在協(xié)同制導(dǎo)方面，攔截時(shí)間一致、控制終端攔截角和不同通訊拓?fù)錀l件下的協(xié)同制導(dǎo)問(wèn)題受到了廣泛關(guān)注。文獻(xiàn)[8-10]針對(duì)多飛行器協(xié)同攔截時(shí)間一致性問(wèn)題，考慮到不同的通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，基于變參數(shù)比例導(dǎo)引方法提出了一種時(shí)間協(xié)同制導(dǎo)律。但該制導(dǎo)方法需要事先約定制導(dǎo)時(shí)間。此外，為實(shí)現(xiàn)對(duì)加固目標(biāo)的多角度飽和攻擊，文獻(xiàn)[11-12]將不同落角約束條件考慮到制導(dǎo)設(shè)計(jì)中，實(shí)現(xiàn)了帶有不同角度的協(xié)同攔截。為有效攔截高機(jī)動(dòng)目標(biāo)，文獻(xiàn)[13-16]采用多飛行器合作攔截方案，在制導(dǎo)設(shè)計(jì)時(shí)通過(guò)施加一個(gè)攔截角來(lái)有效增強(qiáng)協(xié)同探測(cè)效能。文獻(xiàn)[17]通過(guò)建立一對(duì)一攔截模型，基于最優(yōu)控制理論設(shè)計(jì)了一種協(xié)同探測(cè)與制導(dǎo)一體化設(shè)計(jì)方法，在單飛行器對(duì)目標(biāo)進(jìn)行攔截過(guò)程中施加攔截角，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)了穩(wěn)定探測(cè)和制導(dǎo)構(gòu)形的目的。值得一提的是，上述研究大多未考慮制導(dǎo)律有限時(shí)間收斂問(wèn)題。實(shí)際上，在進(jìn)行制導(dǎo)設(shè)計(jì)時(shí)，不僅要使所設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律實(shí)現(xiàn)預(yù)定的作戰(zhàn)意圖，還應(yīng)該考慮制導(dǎo)律有限時(shí)間收斂特性。

多飛行器協(xié)同攔截是典型的有限時(shí)間問(wèn)題，攔截器制導(dǎo)指令必須在有限時(shí)間內(nèi)完成，攔截過(guò)程中所關(guān)心的性能指標(biāo)也都在有限時(shí)間內(nèi)才有意義。在保證制導(dǎo)律有限時(shí)間收斂時(shí)，過(guò)載指令往往過(guò)大而不具有執(zhí)行性，文獻(xiàn)[18]為了解決這一問(wèn)題，設(shè)計(jì)了一種制導(dǎo)方法，不僅可以保證視線角速率在有限時(shí)間內(nèi)收斂到0 rad/s，還可以保證在制導(dǎo)過(guò)程中加速度不超過(guò)最大物理限制；文獻(xiàn)[19-21]針對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)突防問(wèn)題，基于有限時(shí)間控制理論提出了一種最優(yōu)機(jī)動(dòng)策略，該制導(dǎo)方法保證了制導(dǎo)律在有限時(shí)間內(nèi)收斂；文獻(xiàn)[22-23]針對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)，在Lyapunov穩(wěn)定理論基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了一種制導(dǎo)方法，該方法可以保證制導(dǎo)律有限時(shí)間Lyapunov穩(wěn)定?；谏鲜龀晒芍?，在有限時(shí)間框架下進(jìn)行制導(dǎo)設(shè)計(jì)更切合實(shí)際應(yīng)用。

綜上所述，由于飛行器構(gòu)形能夠影響協(xié)同探測(cè)效能進(jìn)而影響制導(dǎo)精度，而制導(dǎo)指令能夠?qū)崟r(shí)影響飛行軌跡進(jìn)而影響攔截構(gòu)形，因此協(xié)同探測(cè)和制導(dǎo)兩個(gè)環(huán)節(jié)是緊密聯(lián)系、互相影響的，在進(jìn)行制導(dǎo)設(shè)計(jì)時(shí)充分考慮協(xié)同探測(cè)效能是十分必要的。此外，一些現(xiàn)代制導(dǎo)設(shè)計(jì)方法，如最優(yōu)控制、H∞魯棒控制等，在制導(dǎo)時(shí)間趨于無(wú)窮時(shí)能夠取得較好的效果，但在有限時(shí)間內(nèi)可能存在保守性過(guò)大或者制導(dǎo)效果較差的問(wèn)題?；谏鲜龇治隹芍?)多飛行器協(xié)同探測(cè)與制導(dǎo)環(huán)節(jié)是緊密聯(lián)系的，而目前研究多數(shù)將探測(cè)和制導(dǎo)環(huán)節(jié)分開(kāi)來(lái)考慮，在進(jìn)行制導(dǎo)設(shè)計(jì)時(shí)沒(méi)有充分考慮探測(cè)效能；2)多飛行器協(xié)同探測(cè)與制導(dǎo)問(wèn)題是典型的有限時(shí)間過(guò)程，在有限時(shí)間框架下探索協(xié)同探測(cè)制導(dǎo)方法具有更強(qiáng)的針對(duì)性和實(shí)用性；3)為保證較好的探測(cè)和制導(dǎo)效果，飛行器在不斷調(diào)整機(jī)動(dòng)過(guò)載過(guò)程中必然會(huì)受最大加速度的約束，而目前研究較少將加速度抗飽和性能考慮在制導(dǎo)設(shè)計(jì)過(guò)程中。

本文基于有限時(shí)間理論，提出了一種增強(qiáng)協(xié)同探測(cè)效能的協(xié)同制導(dǎo)方法，旨在制導(dǎo)設(shè)計(jì)的有限時(shí)間內(nèi)檢驗(yàn)協(xié)同探測(cè)效能。該方法充分考慮制導(dǎo)律有限時(shí)間收斂性能，能夠保證協(xié)同制導(dǎo)律在有限時(shí)間內(nèi)收斂到預(yù)定狀態(tài)且加速度不超過(guò)最大物理限制，仿真結(jié)果驗(yàn)證了所提方法的有效性。

1 問(wèn)題描述

1.1 飛行器相對(duì)運(yùn)動(dòng)建模

2個(gè)攔截器協(xié)同攔截機(jī)動(dòng)目標(biāo)場(chǎng)景如圖1所示。圖1中：Oxy為慣性坐標(biāo)系；P1和P2表示2個(gè)攔截器；E表示目標(biāo)飛行器；vP1、vP2、vE和aP1、aP2、aE分別表示飛行器速度和視線法向加速度；qP1P2、qP2P1、qP1E、qP2E表示視線角；rP1P2、rP1E、rP2E表示飛行器之間的相對(duì)距離；與各飛行器相關(guān)的變量分別用下標(biāo)P1、P2和E表示。

圖1 2個(gè)飛行器協(xié)同攔截目標(biāo)飛行器示意圖Fig.1 Schematic diagram of two missiles cooperatively intercepting a target

在攔截過(guò)程中，攔截器與目標(biāo)飛行器之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)可以分解為沿視線方向的徑向運(yùn)動(dòng)和沿垂直視線方向的視線旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。一般情況下，在保證攔截器和目標(biāo)飛行器徑向相互接近情形下，控制末端視線角速率收斂到0 rad/s即可實(shí)現(xiàn)有效攔截。由于攔截器的任務(wù)需求和機(jī)動(dòng)優(yōu)勢(shì)，攔截器與目標(biāo)飛行器之間總能夠保持相互接近，此時(shí)成功攔截的關(guān)鍵是對(duì)視線旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)進(jìn)行制導(dǎo)控制設(shè)計(jì)。

基于坐標(biāo)變換，忽略視線角速率2階小量，在垂直視線方向可以得到攔截器1與目標(biāo)飛行器之間的視線旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)方程[24]為

(1)

同理，也可以得到攔截器2與目標(biāo)飛行器之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程為

(2)

在攔截器與目標(biāo)飛行器接近過(guò)程中，由于末制導(dǎo)時(shí)間較短，攔截器與目標(biāo)飛行器之間的徑向運(yùn)動(dòng)變化較緩，攔截器與目標(biāo)之間的攔截時(shí)間[24-25]可近似為

(3)

式中：rP1E(0)和rP2E(0)分別表示2個(gè)飛行器之間的初始相對(duì)距離；vP1E和vP2E表示接近速度。

1.2 飛行器動(dòng)力學(xué)建模

飛行器過(guò)載指令是由飛行控制系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)的。過(guò)載響應(yīng)時(shí)間決定著飛控系統(tǒng)對(duì)過(guò)載指令的響應(yīng)品質(zhì)，它是飛控系統(tǒng)最重要的性能指標(biāo)。考慮飛行器均具有1階動(dòng)力學(xué)特性：

式中：a為飛行器實(shí)際加速度；τa為過(guò)載響應(yīng)時(shí)間；aC為飛行器制導(dǎo)指令；s為頻域自變量。假設(shè)各飛行器具有1階動(dòng)力學(xué)特性，由上式可得

(4)

1.3 協(xié)同探測(cè)模型

在協(xié)同攔截過(guò)程中，假設(shè)攔截器配備有高精度的導(dǎo)航定位設(shè)備和相應(yīng)的紅外角度傳感器，2個(gè)攔截器能夠精確地獲得自身的方位信息并能夠進(jìn)行實(shí)時(shí)通訊，但不能精確獲得目標(biāo)飛行器的方位信息，即2個(gè)攔截器能夠精確地獲得彼此間的相對(duì)距離信息rP1P2和視線角度信息qP1P2、qP2P1，但對(duì)目標(biāo)的方位量測(cè)包含一定的誤差。

2個(gè)攔截器構(gòu)成了測(cè)量基準(zhǔn)線，由此可以對(duì)目標(biāo)飛行器進(jìn)行協(xié)同探測(cè)。假設(shè)攔截器對(duì)目標(biāo)的角度探測(cè)量包含量測(cè)噪聲，即PiE=qPiE+σPiE. 其中量測(cè)噪聲σPiE是相互獨(dú)立的高斯白噪聲，即期望為標(biāo)準(zhǔn)差。根據(jù)圖1所示的幾何位置關(guān)系和三角定位原理，可以解算出攔截器與目標(biāo)之間的相對(duì)距離[17]為

(5)

由(5)式可知，解算的相對(duì)距離信息包含一定的量測(cè)誤差。這里假設(shè)PiE=rPiE+σPiE,rPiE，其中σPiE,rPiE是相對(duì)距離測(cè)量誤差，且

對(duì)(5)式求導(dǎo)，可以得到相對(duì)距離探測(cè)誤差為

(6)

由圖1和(6)式可知，協(xié)同探測(cè)誤差與2個(gè)攔截器和目標(biāo)之間的視線分離角|P1E-P2E|直接相關(guān)。當(dāng)視線分離角|P1E-P2E|變小時(shí)，量測(cè)誤差將增大。考慮一種極端情況，當(dāng)視線分離角趨近于0°(即3個(gè)攔截器共線飛行)時(shí)，此時(shí)誤差非常大，進(jìn)而淹沒(méi)了真實(shí)值。因此，在協(xié)同攔截過(guò)程中設(shè)計(jì)合理的協(xié)同制導(dǎo)律以調(diào)制視線分離角，可以有效增強(qiáng)協(xié)同探測(cè)效能、減小相對(duì)距離探測(cè)誤差。

1.4 考慮探測(cè)幾何構(gòu)形的協(xié)同制導(dǎo)問(wèn)題描述

(7)

y(t)=C(t)x(t),

(8)

式中：A(t)=

G(t)為相應(yīng)的干擾傳遞矩陣，G(t)=[0 0 0 0 1/τE0 0]T；u(t)為控制輸入，u(t)=[aP1CaP2C]T，即需要設(shè)計(jì)的協(xié)同制導(dǎo)律；目標(biāo)飛行器加速度指令aEC視為外界輸入變量；x(t)為狀態(tài)變量；y(t)為系統(tǒng)評(píng)價(jià)輸出；C(t)為相應(yīng)的輸出矩陣；t為制導(dǎo)時(shí)間。

由于攔截器加速度存在最大物理過(guò)載限制，可表示為

|aPi|≤aPimax.

由此，通過(guò)狀態(tài)方程(7)式和(8)式即建立了包含相對(duì)距離、視線角等探測(cè)信息的協(xié)同攔截模型。

(9)

(10)

通過(guò)引入系統(tǒng)狀態(tài)修正量，可將視線分離角約束條件加入系統(tǒng)狀態(tài)方程中，基于探測(cè)和制導(dǎo)需求設(shè)計(jì)帶有視線分離角約束的協(xié)同制導(dǎo)律，進(jìn)而增強(qiáng)協(xié)同探測(cè)和制導(dǎo)效能。

對(duì)于系統(tǒng)方程(9)式和(10)式所描述的協(xié)同攔截模型，將目標(biāo)飛行器的機(jī)動(dòng)視為外部干擾輸入，制導(dǎo)設(shè)計(jì)的最終目標(biāo)是設(shè)計(jì)合適的協(xié)同制導(dǎo)律u(t)，使系統(tǒng)狀態(tài)和輸出滿足以下約束條件：

式中：tf為制導(dǎo)終時(shí)時(shí)刻。上述約束條件具體為：設(shè)計(jì)u(t)使視線分離角收斂到預(yù)置的值、視線角速率收斂到0 rad/s，且攔截器加速度不超過(guò)最大物理限制，從而達(dá)到增強(qiáng)協(xié)同探測(cè)效能并進(jìn)行有效攔截的目的。

2 考慮探測(cè)構(gòu)形的有限時(shí)間協(xié)同制導(dǎo)方法

由于協(xié)同探測(cè)和制導(dǎo)過(guò)程必須在有限時(shí)間內(nèi)完成，且解算的制導(dǎo)指令也是在有限時(shí)間內(nèi)才有意義，因此在有限時(shí)間框架下尋求協(xié)同制導(dǎo)設(shè)計(jì)方法更符合實(shí)際應(yīng)用。

本節(jié)首先介紹有限時(shí)間理論基本知識(shí)，然后給出有限時(shí)間有界條件下有限時(shí)間輸入輸出穩(wěn)定的充分條件，最后基于狀態(tài)反饋控制方法給出有限時(shí)間協(xié)同制導(dǎo)律設(shè)計(jì)和解算方法。

2.1 有限時(shí)間有界和輸入輸出穩(wěn)定定義

定義1有限時(shí)間有界[26]。對(duì)于系統(tǒng)狀態(tài)方程

(11)

如果對(duì)于?t∈[0,T]，系統(tǒng)(11)式滿足以下條件：

則稱此系統(tǒng)關(guān)于(T,R,Q(t),S1)有限時(shí)間有界。式中：w(t)為外部干擾；R、Q(t)、S1分別為預(yù)先給定的適當(dāng)維數(shù)的正定度量矩陣；R用于度量初始狀態(tài)；Q(t)用于度量系統(tǒng)狀態(tài)，由系統(tǒng)狀態(tài)需求決定；[0,T]為有限時(shí)間區(qū)間。

定義1描述了在初始狀態(tài)和外界有界干擾的影響下，系統(tǒng)狀態(tài)在有限時(shí)間內(nèi)的穩(wěn)定性能。有限時(shí)間有界性能與度量矩陣R、Q(t)、S1的選取有關(guān)，是對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)在有限時(shí)間區(qū)間穩(wěn)定性的動(dòng)態(tài)描述。

定義2有限時(shí)間輸入輸出穩(wěn)定[26]。對(duì)于線性系統(tǒng)(12)式和(13)式，假設(shè)x(0)=0，

(12)

y(t)=C(t)x(t),

(13)

由定義2可知，有限時(shí)間輸入輸出穩(wěn)定是指在給定的有限時(shí)間區(qū)間內(nèi)，當(dāng)系統(tǒng)外部輸入滿足范數(shù)有界約束時(shí)，系統(tǒng)評(píng)價(jià)輸出亦范數(shù)有界。有限時(shí)間輸入輸出穩(wěn)定主要用于表征系統(tǒng)輸出在有限時(shí)間內(nèi)對(duì)外界有界干擾的鎮(zhèn)定能力，與傳統(tǒng)的無(wú)限時(shí)間框架下的Lyapunov輸入輸出穩(wěn)定是兩個(gè)獨(dú)立的概念。

2.2 有限時(shí)間有界條件下有限時(shí)間輸入輸出穩(wěn)定

基于文獻(xiàn)[27]的研究成果，本文給出系統(tǒng)滿足有限時(shí)間輸入輸出穩(wěn)定的充分條件。

引理有限時(shí)間輸入輸出穩(wěn)定充分條件[27]。對(duì)于線性時(shí)變系統(tǒng)(12)式和(13)式，在有限時(shí)間[0,T]內(nèi)，如果存在1個(gè)對(duì)稱正定的矩陣函數(shù)P(t)∈Rn×n，使得如下2個(gè)不等式同時(shí)成立：

(14a)

P(t)≥CT(t)S2(t)C(t)，

(14b)

則系統(tǒng)(12)式和(13)式關(guān)于(T,S1,S2(t))有限時(shí)間輸入輸出穩(wěn)定。

下面基于2.1節(jié)的基礎(chǔ)知識(shí)，以定理形式給出系統(tǒng)滿足有限時(shí)間有界條件下輸入輸出穩(wěn)定的充分條件。

定理1有限時(shí)間有界條件下輸入輸出穩(wěn)定。對(duì)于線性時(shí)變系統(tǒng)(12)式和(13)式，在有限時(shí)間[0,T]內(nèi)，如果存在1個(gè)對(duì)稱正定的矩陣函數(shù)P(t)∈Rn×n，使得如下3個(gè)不等式同時(shí)成立：

(15a)

P(t)≥max{2Q(t),CT(t)S2(t)C(t)}，

(15b)

P(0)

(15c)

則系統(tǒng)(12)式和(13)式關(guān)于(T,R,Q(t),S1,S2(t))有限時(shí)間有界且輸入輸出穩(wěn)定。

證明1首先證明條件(15a)式～(15c)式能夠保證系統(tǒng)有限時(shí)間有界。令V(x(t))=xT(t)P(t)x(t)，則有

(16)

根據(jù)條件(15a)式和(16)式，可得

(17)

(18)

根據(jù)(17)式和(18)式，可得

(19)

對(duì)(19)式積分，結(jié)合條件(15c)式，由

根據(jù)條件(15b)式，可得

2xT(t)Q(t)x(t)

因此，對(duì)于任意t∈[0,T]，條件(15a)式～(15c)式可以保證系統(tǒng)(12)式和(13)式關(guān)于(T,R,Q(t),S1)有限時(shí)間有界。

同時(shí)，根據(jù)引理可知，(15a)式和(15b)式可以保證系統(tǒng)關(guān)于(T,S1,S2(t))有限時(shí)間輸入輸出穩(wěn)定，因此定理得證。

2.3 考慮探測(cè)構(gòu)形的有限時(shí)間協(xié)同制導(dǎo)律

由2.1節(jié)的基礎(chǔ)知識(shí)可知，系統(tǒng)有限時(shí)間有界可用于描述系統(tǒng)狀態(tài)對(duì)外界干擾的穩(wěn)定能力，而系統(tǒng)有限時(shí)間輸入輸出穩(wěn)定可用于描述系統(tǒng)輸出對(duì)外界干擾的穩(wěn)定能力。因此，有限時(shí)間有界和輸入輸出穩(wěn)定理論可用于解決本文制導(dǎo)律有限時(shí)間收斂且過(guò)載受限問(wèn)題。

(20)

(21)

對(duì)于閉環(huán)系統(tǒng)(20)式和(21)式，為有效解算狀態(tài)反饋矩陣K(t)，可以采用狀態(tài)反饋使系統(tǒng)同時(shí)滿足有限時(shí)間有界且輸入輸出穩(wěn)定。

定理2狀態(tài)反饋控制器設(shè)計(jì)。在有限時(shí)間[0,T]內(nèi)，如果存在X(t)∈Rn×n和L(t)∈Rr×n，使得(22a)式～(22c)式成立，

(22a)

X-1(t)≥S(t)且
S(t)=max{2Q(t),CT(t)S2(t)C(t)}，

(22b)

X-1(0)>R，

(22c)

則閉環(huán)系統(tǒng)(20)式和(21)式關(guān)于(T,R,Q(t),S1,S2(t))有限時(shí)間有界且輸入輸出穩(wěn)定。此時(shí)，狀態(tài)反饋矩陣可由K(t)=L(t)X-1(t)解算得到。其中，X(t)∈Rn×n和L(t)∈Rr×n均是對(duì)稱正定的。

證明2根據(jù)(15a)式，由矩陣的Schur補(bǔ)性質(zhì)[28]可知如下矩陣不等式成立：

(23)

(24)

同理，根據(jù)逆變相關(guān)知識(shí)，(15b)式和(15c)式等價(jià)于(22b)式和(22c)式，因此定理2得證。

在上述控制器解算過(guò)程中，通過(guò)調(diào)制狀態(tài)修正量δ即可使飛行器在協(xié)同攔截過(guò)程中保持一定的視線分離角，進(jìn)而增強(qiáng)協(xié)同探測(cè)效能。通過(guò)定理2解算的控制器能夠使系統(tǒng)(20)式和(21)式同時(shí)滿足有限時(shí)間有界且有限時(shí)間輸入輸出穩(wěn)定，所設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律能夠同時(shí)保證視線分離角收斂到預(yù)置的值、視線角速率收斂到0 rad/s，且攔截器加速度不超過(guò)最大物理限制，從而在增強(qiáng)協(xié)同探測(cè)效能的同時(shí)保證攔截器實(shí)現(xiàn)有效攔截，因此1.4節(jié)提出的協(xié)同制導(dǎo)問(wèn)題可由定理2解決。

3 仿真分析

基于第2節(jié)的協(xié)同攔截模型和協(xié)同制導(dǎo)律設(shè)計(jì)方法，本節(jié)開(kāi)展仿真研究以檢驗(yàn)所提方法的有效性。根據(jù)定理2所述方法解算控制輸入u(t)，將解算的協(xié)同制導(dǎo)律加入系統(tǒng)狀態(tài)方程，進(jìn)而得到制導(dǎo)系統(tǒng)狀態(tài)和輸出變化曲線。為較全面地檢驗(yàn)所提制導(dǎo)律的性能，考慮目標(biāo)飛行器進(jìn)行常速運(yùn)動(dòng)和Weave機(jī)動(dòng)兩種情況。部分仿真參數(shù)如表1所示。

表1 仿真參數(shù)設(shè)置

3.1 目標(biāo)常速機(jī)動(dòng)

假設(shè)目標(biāo)以120 m/s常速運(yùn)動(dòng)，攔截情形為追擊攔截，取δ=[0.524 -0.524 0 0 0 0 0]為狀態(tài)變量修正量(即視線分離角φ設(shè)置為60°)，仿真參數(shù)設(shè)置如表1所示。為比較本文方法與其他方法的優(yōu)劣，在上述仿真條件下，2個(gè)攔截器分別采用本文制導(dǎo)方法、比例導(dǎo)引法以及文獻(xiàn)[25]中的最優(yōu)控制法(攔截角分別設(shè)置為-30°和30°)，后文圖例中分別用A、B、C表示本文制導(dǎo)方法、比例導(dǎo)引法、最優(yōu)控制法。在協(xié)同制導(dǎo)的有限時(shí)間[0,tf]內(nèi)開(kāi)展仿真實(shí)驗(yàn)，所得結(jié)果如圖2～圖7所示。

圖2 目標(biāo)常速運(yùn)動(dòng)時(shí)飛行器協(xié)同攔截軌跡Fig.2 Interception trajectories of interceptors for a target moving at a constant speed

圖3 視線分離角變化曲線Fig.3 Curves of line-of-sight separation angle

圖4 加速度變化曲線Fig.4 Curves of acceleration

圖5 視線角速率變化曲線Fig.5 Curves of line-of-sight angular rates

由圖2和圖3可知：當(dāng)目標(biāo)常速機(jī)動(dòng)時(shí)，本文制導(dǎo)方法能夠在協(xié)同制導(dǎo)的有限時(shí)間內(nèi)有效規(guī)劃攔截軌跡，克服初始視線分離角和視線角速率的不利影響，使攔截器保持一定的攔截構(gòu)形，同時(shí)視線分離角始終保持較大的狀態(tài)，并最終收斂到預(yù)定角度；而采用比例導(dǎo)引時(shí)，攔截器徑直飛向目標(biāo)，其飛行路徑較為固定，不能在攔截過(guò)程中有效改變攔截構(gòu)形，也不能有效調(diào)制攔截角；采用最優(yōu)制導(dǎo)時(shí)，其構(gòu)形較比例導(dǎo)引有所改善，視線分離角能夠在一定程度上收斂到預(yù)置角度附近，但比例導(dǎo)引和最優(yōu)制導(dǎo)不能保證視線角在有限時(shí)間收斂，其制導(dǎo)效果不如本文所提有限時(shí)間制導(dǎo)方法。

由圖4可知，攔截器采用本文所提制導(dǎo)律時(shí)最大加速度為166 m/s2，表明本文所提制導(dǎo)方法能夠在制導(dǎo)全程保證攔截器的需用加速度均不超過(guò)最大物理限制。圖5所示視線角速率變化曲線表明，本文所提制導(dǎo)方法能夠保證攔截器視線角速率最終收斂到0 rad/s，該性能能夠保證攔截器在制導(dǎo)末段穩(wěn)定視線角速率，進(jìn)而取得較小的攔截脫靶量。

圖6 協(xié)同探測(cè)誤差變化(rP1E)Fig.6 Curves of cooperative detection error for rP1E

圖7 協(xié)同探測(cè)誤差變化(rP2E)Fig.7 Curves of cooperative detection error for rP2E

由圖6和圖7可知，本文所提制導(dǎo)方法與比例導(dǎo)引和最優(yōu)制導(dǎo)相比，能夠保持更好的構(gòu)形，進(jìn)而在制導(dǎo)全程有效增強(qiáng)協(xié)同探測(cè)效能、有效減小相對(duì)探測(cè)誤差。

分析圖2～圖7可知：比例導(dǎo)引和最優(yōu)制導(dǎo)方法不具備有限時(shí)間收斂特性，視線角不能在有限時(shí)間內(nèi)收斂到預(yù)定值，在構(gòu)形保持和探測(cè)環(huán)節(jié)均表現(xiàn)出明顯的弊端；本文所提制導(dǎo)律能夠同時(shí)保證視線分離角收斂到預(yù)置角度、視線角速率收斂到0 rad/s，且攔截器加速度不超過(guò)最大物理限制，在協(xié)同攔截過(guò)程中能夠有效規(guī)劃協(xié)同攔截軌跡，使攔截器在制導(dǎo)全程保持較大的視線分離角，進(jìn)而降低協(xié)同探測(cè)誤差，上述仿真結(jié)果驗(yàn)證了本文所提方法的有效性。

3.2 目標(biāo)Weave機(jī)動(dòng)

當(dāng)目標(biāo)進(jìn)行更加劇烈的Weave機(jī)動(dòng)時(shí)，假設(shè)目標(biāo)加速度aEC=60sin(1.2t+π/2)，其余參數(shù)設(shè)置與3.1節(jié)相同，其仿真結(jié)果如圖8～圖13所示。

圖8 目標(biāo)Weave機(jī)動(dòng)時(shí)飛行器協(xié)同攔截軌跡Fig.8 Interception trajectories of interceptors for a target performing the Weave maneuver

圖9 視線分離角變化曲線Fig.9 Curves of line-of-sight separation angle

由圖8和圖9可知，當(dāng)目標(biāo)飛行器進(jìn)行更劇烈的Weave機(jī)動(dòng)時(shí)，3種方法均能夠保證攔截器有效攔截目標(biāo)飛行器，三者的不同在于：本文所提方法能夠有效規(guī)劃和調(diào)制攔截軌跡，保持較好的探測(cè)構(gòu)形；而且在目標(biāo)進(jìn)行大幅機(jī)動(dòng)情況下也能有效調(diào)制視線分離角，使其保持在較大的狀態(tài)，并最終收斂到預(yù)置角度；采用比例導(dǎo)引時(shí)，攔截器在制導(dǎo)指令作用下直接飛向目標(biāo)，不能有效調(diào)制視線分離角；采用最優(yōu)制導(dǎo)時(shí)，其視線角收斂效果較差，遠(yuǎn)不如目標(biāo)進(jìn)行勻速運(yùn)動(dòng)的情況。

圖10所示的加速度變化曲線表明，在目標(biāo)進(jìn)行劇烈的Weave機(jī)動(dòng)情況下，本文所提制導(dǎo)方法能夠保證加速度不超過(guò)最大物理限制，并最終跟上目標(biāo)機(jī)動(dòng)。對(duì)比圖5和圖11可知：在目標(biāo)進(jìn)行劇烈運(yùn)動(dòng)時(shí)，本文所提制導(dǎo)方法仍能夠確保視線角速率收斂到0 rad/s，實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定跟蹤；采用比例導(dǎo)引和最優(yōu)制導(dǎo)時(shí)，攔截器不能有效跟蹤目標(biāo)飛行器，視線角速率最終也不能收斂到0 rad/s，表明本文所提方法在有限時(shí)間內(nèi)具有較強(qiáng)的魯棒性和適應(yīng)性。由圖11可知，攔截器在有效攔截目標(biāo)的同時(shí)其加速度亦不超過(guò)最大物理載荷，表明本文協(xié)同制導(dǎo)方法在攔截大幅機(jī)動(dòng)目標(biāo)時(shí)也具有較好的實(shí)用價(jià)值。

圖10 加速度變化曲線Fig.10 Curves of acceleration

圖11 視線角速率變化曲線Fig.11 Curves of line-of-sight angular rate

圖12 協(xié)同探測(cè)誤差變化(rP1E)Fig.12 Curves of cooperative detection error for rP1E

由圖12和圖13可知：在目標(biāo)進(jìn)行劇烈機(jī)動(dòng)情況下，攔截器采用本文所提制導(dǎo)方法時(shí)，其相對(duì)距離協(xié)同探測(cè)誤差穩(wěn)定在6 m以內(nèi)；而采用比例導(dǎo)引和最優(yōu)制導(dǎo)時(shí)，其誤差明顯增大。

圖13 協(xié)同探測(cè)誤差變化(rP2E)Fig.13 Curves of cooperative detection error for rP2E

綜上所述，在目標(biāo)進(jìn)行常速運(yùn)動(dòng)和較劇烈的Weave機(jī)動(dòng)情況下，本文所提制導(dǎo)方法均能夠保證攔截器在有限時(shí)間內(nèi)以預(yù)置的分離角有效攔截目標(biāo)，保證視線角速率收斂到0 rad/s且加速度不超過(guò)最大物理限制。而由于比例導(dǎo)引和最優(yōu)制導(dǎo)律在有限時(shí)間內(nèi)具有較大的保守性，其效果不如本文所提方法。

4 結(jié)論

針對(duì)多飛行器協(xié)同攔截機(jī)動(dòng)目標(biāo)問(wèn)題，本文在進(jìn)行制導(dǎo)設(shè)計(jì)時(shí)充分考慮協(xié)同探測(cè)效能，基于有限時(shí)間控制理論提出了一種考慮探測(cè)構(gòu)形的協(xié)同制導(dǎo)方法。所得主要結(jié)論如下：

1)基于相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程、飛行器1階動(dòng)力學(xué)特性和協(xié)同探測(cè)原理，建立了協(xié)同攔截模型。

2)建模過(guò)程中將目標(biāo)機(jī)動(dòng)視為外界干擾輸入，選取攔截器加速度指令為系統(tǒng)中間狀態(tài)變量，以視線分離角和視線角速率變化為系統(tǒng)評(píng)價(jià)輸出，基于系統(tǒng)有限時(shí)間有界和輸入輸出穩(wěn)定定理設(shè)計(jì)了協(xié)同制導(dǎo)律。

3)本文所提設(shè)計(jì)方法可以同時(shí)保證系統(tǒng)評(píng)價(jià)輸出有限時(shí)間穩(wěn)定且中間狀態(tài)不超過(guò)最大界限，能夠在物理過(guò)載受限時(shí)有效增強(qiáng)協(xié)同探測(cè)和制導(dǎo)效果，仿真結(jié)果驗(yàn)證了所提方法的有效性。